Arithmétique

DM n°11 – 1èreS1
Exercice 1
1) a) 𝒖𝟏 = 1000 × 1,02 − 100 = 𝟗𝟐𝟎 €, 𝒖𝟐 = 920 × 1,02 − 100 = 𝟖𝟑𝟖, 𝟒𝟎 €.
b) En calculant les différences 𝑢1 − 𝑢0 et 𝑢2 − 𝑢1 on peut constater que la suite n’est pas
arithmétique. De même, en effectuant les quotients : ce n’est pas non plus une suite géométrique.
c) La traduction de l’énoncé donne la formule 𝒖𝒏+𝟏 = 𝟏, 𝟎𝟐𝒖𝒏 − 𝟏𝟎𝟎.
2) a) 𝒗𝟎 = 𝑢0 − 5000 = −𝟒𝟎𝟎𝟎.
b) 𝒗𝒏+𝟏 = 𝑢𝑛+1 − 5000 = 1,02𝑢𝑛 − 5100 = 1,02𝑢𝑛 − 1,02 × 5000 = 1,02(𝑢𝑛 − 5000) = 𝟏, 𝟎𝟐𝒗𝒏
c) Donc (𝑣𝑛 ) est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme 𝑣0 = −4000, donc :
𝒗𝒏 = −𝟒𝟎𝟎𝟎 × 𝟏, 𝟎𝟐𝒏 .
3) a) 𝑢𝑛 = 𝑣𝑛 + 5000 donc d’après c) 𝒖𝒏 = −𝟒𝟎𝟎𝟎 × 𝟏, 𝟎𝟐𝒏 + 𝟓𝟎𝟎𝟎.
b) 𝒖𝟏𝟎 = −4000 × 1,0210 + 5000 ≈ 𝟏𝟐𝟒, 𝟎𝟐
c) On calcule 𝑢11 et 𝑢12 , et on voit que 𝑢12 < 0 donc le solde sera négatif pour la première fois au 1er
janvier 2016.
Remarque : une suite du type 𝒖𝒏+𝟏 = 𝒂𝒖𝒏 + 𝒃 est appelée suite arithmético-géométrique.
Exercice 2
1
1
𝒗𝒏+𝟏 𝑢𝑛+1 − 3 3 𝑢𝑛 − 1 3 (𝑢𝑛 − 3) 𝟏
a)
=
=
=
= .
𝒗𝒏
𝑢𝑛 − 3
𝑢𝑛 − 3
𝑢𝑛 − 3
𝟑
Donc (𝒗𝒏 ) est une suite géométrique de raison 1/3 et de premier terme 𝒗𝟎 = 𝑢0 − 3 = 6 − 3 = 𝟑
𝟏
𝟏
b) Donc 𝒗𝒏 = 𝟑 × 𝒏 et 𝒖𝒏 = 𝑣𝑛 + 3 = 𝟑 × 𝒏 + 𝟑
𝟑
𝟑
1
c) ∈ ]−1 ; 1[ donc 𝐥𝐢𝐦 𝒗𝒏 = 𝟎 et 𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏 = lim 𝑣𝑛 + 3 = 𝟑
𝒏→+∞
𝒏→+∞
𝑛→+∞
3
1
𝑛+1 − 1
3 1 − 3𝑛+1
9 1
3
d) 𝑆𝑛 =
× 𝑣0 = − ×
×
3
=
−
(
− 1)
1
2
3𝑛+1
2 3𝑛+1
−
1
3
1
1
𝟗 𝟏
9
𝟗
lim 𝑛+1 = 0 donc lim 𝑛+1 − 1 = −1 et 𝐥𝐢𝐦 − ( 𝒏+𝟏 − 𝟏) = − × (−1) =
𝑛→+∞ 3
𝑛→+∞ 3
𝒏→+∞
𝟐 𝟑
2
𝟐
Exercice 3
3un +2
un +2 -2
un+1 -2 3un +2
un -2
vn+1 un+1 +1
un -2
un +1 1
un +2 +1
un +2 un +1
a)
=
=
=
×
=
×
= .
un -2
un -2
4un +4 un -2 4un +4 un -2 4
vn
un +1
un +1
un +2
Donc (vn ) est une suite géométrique de raison 1/4 et de premier terme v0=-2
1
b) Donc vn =-2× n
4
un -2
-vn -2
c) vn =
⟺vn (un +1)=un -2⟺...⟺un (vn -1)=-vn -2⟺un =
.
un +1
vn -1
1
2× 4n -2 𝟐 − 𝟐 × 4n
Donc un =
=
1
−𝟐 − 4n
-2× 4n -1
1
d) ∈]-1 ;1[ donc lim vn =0
n→+∞
4
1
2× 4n -2
1
1
un =
et : lim (2× n -2) =-2 , lim (-2× n -1) =-1≠0 donc d'après les règles de calculs
1
n→+∞
n→+∞
4
4
-2× 4n -1
sur la limite d' un quotient lim un =2
n→+∞
Exercice 4
Déterminer les limites éventuelles des suites suivantes :
3 1
3 1
n² (2- n + )
(2- n + ) 2
2n²-3n+1
n² = lim
n² = ;
a) lim un = lim
= lim
5
5
n→+∞
n→+∞ 3n²+5
n→+∞
n→+∞
3
n² (3+ )
(3+ )
n²
n²
n4 -2n²+1
b) lim vn = lim
=+∞ (même méthode) ;
n→+∞
n→+∞ n3 +6n
n²+2n+7
c) lim wn = lim
=0 (même méthode) ;
n→+∞
n→+∞
n3 +5
(-1)n n²+4n-2
d) xn =
diverge (même méthode).
4n²+1
Exercice 5
L’équation admet deux racines réelles si et seulement le discriminant est strictement positif, autrement
dit, si et seulement si p²-4q>0.
Et on construit un très classique ( !!!) tableau à double entrée, dans lequel est indiqué la valeur du
discriminant en fonction des tirages de p et q :
p
1
2
3
4
5
6
1
-3
0
5
12
21
32
2
-7
-4
1
8
17
28
3
-11
-8
-3
4
13
24
4
-15
-12
-7
0
9
20
5
-19
-16
-11
-4
5
16
6
-23
-20
-15
-8
1
12
q
La probabilité que l'équation admette deux racines réelles est donc :
17
p=
36
C’était facile….non ???