Espaces vectoriels normés

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NORMES ET DISTANCES
NORMES
Définition 1 (Norme)
on appelle norme sur Eune application :
→N:E→R+(existence et positivité),
→N(x)=0⇒x=0 (définie),
→N(λx)=|λ|N(x) (homogénéité),
→N(x+y)ÉN(x)+N(y) (inégalité triangulaire).
On notera ∥·∥ à la place de N.
Proposition 1 (Différentes normes)
→si 〈·|·〉 est un produit scalaire sur E, alors l’application x7→ p〈x|x〉est une norme. Une norme provenant d’un
produit scalaire est appelée norme euclidienne.
→si Fest un sev de E, l’application x7→∥x∥Edéfinit une norme sur F, appelée norme induite sur Fpar ∥·∥.
→si (Ei,Ni)1ÉiÉpsont des K-ev, on munit E=E1×... ×Epd’une norme par ∥(x1,..., xp)∥ = sup
i∈J1;pK
Ni(xi).
Définition 2 (Algèbre normée)
on dit qu’une algèbre Eest une algèbre normée, lorsque Eest un evn et que la norme vérifie ∥x.y∥ É ∥x∥∥y∥pour tout
x,y∈E. On dit que c’est une algèbre normée unitaire si, de plus, ∥1E∥ =1.
DISTANCES
Proposition 2 (Distance associée à une norme)
L’application (x,y)7→ ∥x−y∥est une distance sur E, appelée distance associée à la norme ∥·∥. Elle est invariante pas
translation.
Propriété 3 (Distance à une partie)
si A⊂Enon vide, on peut définir la distance à Apar d(x,A)=inf
a∈A∥x−a∥.
→elle est 1-lipschitzienne : ¯¯d(x,A)−d(y,A)¯¯É∥x−y∥.
→d(x,A)=0⇔x∈A
NORMES ÉQUIVALENTES
Définition 3 (Domination, équivalence)
soit N1et N2deux normes sur E. On dit que
→N1domine N2lorsqu’il existe α>0 tel que N2ÉαN1.
→N1et N2sont équivalentes lorsqu’il existe α,β>0 tels que βN1ÉN2ÉαN1.
Théorème 1 (Dimension finie)
si Eest un espace vectoriel de dimension finie, alors toutes les normes sur Esont équivalentes.
Propriété 4 (normes équivalentes)
si N1et N2sont équivalentes, alors
→elles conservent la nature des suites et la valeur des limites (suites), les valeurs d’adhérence
→elles conservent les propriétés de limites et continuité (fonctions), le fait d’être lipschitzien,
→elles ont les mêmes ouverts, fermés, bornés, compacts (mais les boules sont différentes), les adhérences et inté-
rieurs sont conservés.
1 année 2016/2017
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Méthode (Méthode pour la non-équivalence)
Pour prouver qu’une norme N1n’est pas dominée par N2, on essaie de construire une suite de vecteurs telle que N1(xn)
N2(xn)
est de limite infinie - pour cela on peut essayer de construire une suite de vecteurs unitaires pour l’une des normes (et de
limite nulle ou infinie - suivant le sens - pour les normes de l’autre).
SUITES
LIMITE
Définition 4 (Convergence, limite)
→une suite (un)n∈N∈ENconverge vers ℓ∈Elorsque ∀ε>0,∃n0∈N,∀nÊn0,∥un−ℓ∥ <ε.
→si la limite existe, elle est unique et on la limite lim
n→+∞un.
Propriété 5 (suites convergentes)
→une suite convergente est bornée.
→on dispose des opérations usuelles sur les limites (combinaison linéaire, produit dans une algèbre normée).
→dans un espace produit muni de la norme infinie produit, une suite converge si et seulement si, chaque suite
composante converge.
Proposition 6 (Dimension finie)
si {e1,...,ep} est une base de l’evn de dimension finie E, on peut écrire, pour n∈N,un=
p
∑
k=1
u(k)
nek. Si ℓ=
p
∑
k=1
ℓkek, alors
lim
n→+∞un=ℓ⇔lim n→+∞u(k)
n=ℓkpour tout k∈J1;pK.
VALEURS D’ADHÉRENCE
Définition 5 (valeur d’adhérence)
on dit que ℓest une valeur d’adhérence de (un)n∈Nlorsqu’il existe une suite extraite (uφ(n))n∈Nqui converge vers ℓ.
Proposition 7 (lien avec la limite)
soit (un) une suite de E.
→si (un) converge vers ℓ, alors la suite n’admet qu’une valeur d’adhérence ℓ- si une suite admet deux valeurs d’adhé-
rence, elle diverge.
→une suite n’admettant qu’une seule valeur d’adhérence n’est pas forcément convergente.
→une suite d’un compact avec une seule valeur d’adhérence converge vers cette valeur d’adhérence (c’est le cas des
suites bornées de Kou d’une K-ev de dimension finie).
Proposition 8 (fermeture (hors.prog.))
l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite est un fermé, plus précisément +∞
∩
n=0
{xk,kÊn}.
2 année 2016/2017

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TOPOLOGIE
OUVERTS
Définition 6 (ouvert, voisinage)
→une partie Ode Eest ouverte lorsque, pour tout x∈O, il existe r>0 tel que B(x,r)⊂O.
→une partie Ade Oest un voisinage de xlorsqu’il existe r>0 tel que B(x,r)⊂A(Acontient une boule ouverte
centrée en x).
Propriété 9 (ouverts)
→E,;, les boules ouvertes sont ouverts.
→une union quelconque d’ouvert, une intersection finie d’ouverts sont des ouverts.
Définition 7 (intérieur)
→xest intérieur à Alorsqu’il existe r>0 tel que B(x,r)⊂A.
→l’intérieur de A, noté ˚ A, est l’ensemble des points intérieurs à A- c’est le plus grand ouvert contenu dans A, à
savoir la réunion de tous les ouverts de Econtenus dans A:
˚
A=∪
Oouvert ⊂A
O.
→Aest ouvert si et seulement si, A=˚ A.
FERMÉS
Définition 8 (fermé)
une partie Fde Eest fermée lorsque E\Fest ouvert.
Propriété 10 (fermés)
→E,;, les boules fermées sont fermés.
→une union finie de fermés, une intersection quelconque de fermés sont des fermés.
Définition 9 (adhérence)
→On dit que xest adhérent à Alorsque, pour tout r>0, B(x,r)∩A̸=;.
→L’adhérence de A, notée Aest l’ensemble des points adhérents à A. C’est le plus petit fermé qui contient A, à savoir
¯
A=∩
A⊂Ffermé
F.
→Aest fermé si et seulement si A=A
Propriété 11 (caractérisations séquentielles)
1. x∈Asi et seulement si il existe une suite d’éléments de Aqui converge vers x.
2. Fest fermé si et seulement si, pour toute suite (xn) de Fqui converge vers x∈E, on a x∈F.
Méthode (montrer qu’une partie est fermée)
soit Adans E, on veut montrer que Fest un fermé. On peut
→montrer que son complémentaire est un ouvert,
→montrer qu’elle peut s’écrire comme intersection, réunions de fermés
→choisir une suite quelconque de vecteurs (xn) de Aqui converge vers xdans Eet montrer que x∈A,
→montrer que c’est l’image réciproque d’un fermé par une application continue
3 année 2016/2017
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Définition 10 (et propriétés)
→une partie Aest dense dans Elorsque A=E.
→on appelle frontière de Ale fermé FrA=¯ A\˚ A.
→si A⊂E,E\˚ A=E\A.
Méthode (partie dense)
Pour montrer que Xest dense dans A:
→montrer que A⊂X,
→montrer que pour tout a∈A, il existe une suite (xn) d’éléments de Xqui converge vers a,
→montrer que pour tout a∈Aet varepsil on >0, il existe x∈Xtel que ∥x−a∥ <ε.
TOPOLOGIE RELATIVE
Définition 11 (toplogie relative)
soit Aune partie de E, un partie B⊂Aest
→un ouvert relatif de Alorsqu’il existe Oouvert de Etel que B=A∩O,
→un fermé relatif de Alorsqu’il existe Ffermé de Etel que B=A∩F,
COMPACTS
Définition 12 (compact)
soit Kune partie de E. On dit que Kest compact lorsque toute suite d’éléments de Kadmet une valeur d’adhérence dans
K(i.e. admet une suite extraite convergente dans K).
Théorème 2 (Bolzano-Weierstrass)
soit (un) une suite bornée de réels, alors on peut en extraire une suite convergente. Ce résultat se généralise pour les
suites complexes et les suites dans un evn de dimension finie.
Propriété 12 (propriétés topologiques)
→si Kest une partie compacte de Ealors Kest fermée et bornée
→si K′est une partie d’un compact Kalors K′est compact si et seulement si K′est fermé
→si Eest de dimension finie alors les compacts sont exactement les fermés bornés
→un produit fini de compacts est encore compact (dans l’ev produit avec la norme infini produit)
→une suite d’un compact avec une unique valeur d’adhérence converge vers cette valeur d’adhérence
LIMITE ET CONTINUITÉ
DÉFINITIONS
Dans cette partie, Eet Fsont deux evn et A⊂Enon vide.
Définition 13 (limite)
soit f:A→Fet aadhérent à A. On dit que fadmet ℓpour limite en alorsque
∀ε>0,∃α>0,∀x∈A,∥x−a∥E<α⇒∥f(x)−ℓ∥F<ε.
Cette limite est alors unique. Elle est notée lim
x→af(x). L’existence d’une limite revient à
∀ε>0,∃α>0,∀x∈A∩B(a,α),∥f(x)−ℓ∥F<ε.
4 année 2016/2017

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Définition 14 (continuité)
→soit f:A→Fet a∈A. On dit que fest continue en alorsque lim
x→af(x)=f(a).
→On dit que fest continue sur Alorsqu’elle est continue en tout point de A.
Définition 15 (applications lipschitziennes)
→f:A→Eest K-lipschitzienne lorsque, ∀x,y∈A,∥f(x)−f(y)∥FÉK∥x−y∥E.
→Une telle application lipschitzienne est continue sur A.
→Une somme, une composée d’applications lipschitziennes est lipschitzienne.
Proposition 13 (Caractérisations de la limite)
→par les suites : on a lim
x→af(x)=ℓsi et seulement si, pour tout suite (un) d’éléments de Aqui converge vers a, (f(un))
converge vers ℓ,
→par les voisinages : on a lim
x→af(x)=ℓsi et seulement si, pour tout voisinage Vde ℓ, il existe Uun voisinage de a
tel que f(U∩A)⊂V.
OPÉRATIONS
Propriété 14 (opérations sur les limites)
soit f,g:A→Fqui admettent une limite, respectivement ℓet ℓ′en a∈¯ A.
→pour tout λ∈K, lim
x→a(f(x)+λg(x)) =ℓ+λℓ′,
→si Fest une algèbre normée, alors lim
x→af(x)g(x)=ℓ.ℓ′,
soit f:A→Fet g:B→Gavec f(A)⊂B. Soit a∈¯ A. Si lim
x→af(x)=bet lim
y→bg(y)=ℓ, alors b∈Bet lim
x→ag◦f(x)=ℓ.
Exemple (applications continues)
→les applications polynomiales en plusieurs variables,
→les applications A7→ Aksur Mn(K) (avec k∈N), A7→det A,A7→χA,
→les applications linéaires et multi-linéaires sur des espaces de dimension finie, notamment M7→ M X ,X7→ M X ,
M7→P−1MP (où M∈Mn(K), X∈Mn,1(K), P∈GLn(K)), trace et transposition.
CONTINUITÉ UNIFORME
Définition 16 (continuité uniforme)
soit f:A→F. On dit que fest uniformément continue sur Alorsque
∀ε>0,∃α>0,∀x,y∈A,∥x−y∥ < α⇒∥f(x)−f(y)∥ <ε.
LIEN AVEC LA TOPOLOGIE
Proposition 15 (images réciproques)
soit f:A→F, alors on a l’équivalence entre
→fest continue sur A,
→pour tout ouvert Ode F,f−1(O) est un ouvert relatif de A.
→pour tout fermé F′de F,f−1(F′) est un fermé relatif de A.
Proposition 16 (compacts)
→si fest continue sur A, si Kest un compact de Einclus dans A, alors f(K) est un compact de F.
→si fest continue sur Aà veleurs réelles, si Kest un compact de Einclus dans A, alors fest bornée sur Kest elle
atteint ses bornes.
→si f:K→Eest continue et Kcompact, alors fest uniformément continue sur K.
5 année 2016/2017
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CONNEXITÉ PAR ARCS
On se place dans le cas où Eest un evn de dimension finie.
Définition 17 (connexité par arcs)
on dit que A⊂Eest connexe par arcs, lorsque, pour tout a,b∈A, il existe f: [0,1] →Acontinue telle que f(0) =aet
f(1) =b.
Propriété 17 (connexes par arcs)
→les parties convexes sont connexes par arcs, les parties étoilés également,
→l’image d’un connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs,
→dans R, les connexes par arcs sont les intervalles
APPLICATIONS LINÉAIRES,BILINÉAIRES
Propriété 18 (Continuité des applications linéaires)
soit f: (E,) →(F,∥·∥F) une application linéaire. Cette application est continue sur Esi et seulement si, il existe KÊ0 tel
que ∀x∈E,∥f(x)∥FÉK∥x∥E.
Propriété 19 (application bilinéaire)
Soit f:E×F→Gune application bilinéaire. L’espace E×Fest muni de la norme produit infinie. Si Eet Fsont de
dimension finie, alors il existe K∈R+tel que ∀(x,y)∈E×F,∥f(x,y)∥GÉK∥x∥E∥y∥F. L’application est alors continue sur
E×F.
Définition 18 (Norme subordonnée)
Soit f∈L(E,F) une application linéaire continue. On note |∥f|∥=sup
x̸=0
∥f(x)∥
∥x∥=sup
∥x∥=1∥f(x)∥.
→cela définit une norme sur l’ensemble des applications linéaires continues de Edans F, noté Lc(E,F)
→pour tout x∈E,∥f(x)∥ É |∥f|∥∥x∥,
→elle vérifie |∥g◦f|∥É|∥g|∥|∥f|∥ (lorsqu’on peut composer),
→c’est une norme d’algèbre sur Lc(E)
EN DIMENSION FINIE
Soit Eest un K-evn de dimension finie, muni d’une base B=(e1,...,ep)
Propriété 20 (dimension finie)
→toutes les normes sur Esont équivalentes (et ont donc mêmes fermés, ouverts, compacts et définissent les mêmes
notions de limite),
→les compacts sont les fermés bornés,
→une suite converge si et seulement si elle converge coordonnée par coordonnée,
→une fonction de Avers E(arrivée de dimension finie) admet une limite en a(resp. est continue en a) si et seule-
ment si ses applications composantes admettent une limite en a(resp. est continue en a),
→toutes les applications linéaires, bilinéaires, multilinéaires de E(de dimension finie) vers F(dimension quel-
conque) sont continues,
→l’application |∥···|∥ est une norme sur L(E,F), notamment c’est une norme d’algèbre de L(E).
6 année 2016/2017