Espaces vectoriels normés II
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Exercices de Khôlle. PSI. Ev. N.
Exercice 1 Soit n ∈ N∗ .
1. A tout n-uplet (a0 , . . . , an−1 ) ∈ Cn , on associe le polynôme P (X) = X n +an−1 X n−1 +
. . . + a0 . Montrer que pour toute racine z ∈ C de P , on a
( n−1
)
X
|z| 6 max 1,
|ai | .
i=0
2. On note Sn l'ensemble des polynômes de R[X] unitaires, et scindés sur R. Montrer
que Sn est fermé dans Rn [X].
Exercice 2
1. Soit G un sous-groupe additif de R. Montrer que
soit il existe a ∈ Z tel que G = aZ,
soit G est dense dans R.
2. Application : montrer que si θ ∈ R \ Q, alors {e2iπnθ , n ∈ Z} est dense dans S1 .
(Rappel : S1 est le cercle unité dans le plan complexe.)
Exercice 3 Soit E un evn et soit A ⊂ E , A 6= ∅.
1. Montrer que x ∈ A ssi il existe une suite (xn ) de points de A qui converge vers x.
2. Montrer que A est fermé ssi toute suite d'éléments de A qui converge converge vers
A.
3. Application : Soit E = {f ∈ C 0 (R) / f est bornée} muni de la norme innie et soit
A = {f ∈ E / lim+∞ (f ) = 0}. Montrer que A est fermé dansE .
1
Exercice 4 Soit E euclidien, f ∈ L(E). On suppose que
∀ (x, y) ∈ E 2 , < x, y >= 0 ⇒< f (x), f (y) >= 0.
Montrer qu'il existe k ∈ R+ tel que ∀x ∈ E , ||f (x)|| = k||x||. (Ind : trouver k ∈ R+ tel que
l'endomorphisme k1 f soit orthogonal.)
Exercice 5 Soit
Φ : R[X]2 → RR[X]
.
∞
(P, Q) 7→ 0 e−t P (t)Q(t)dt
1. Montrer que Φ est un produit scalaire.
R
2. Déterminer inf (a,b)∈R2 R+ e−t (t2 − at − b)2 dt.
Exercice 6
◦
1. Q est-il ouvert, fermé dans R ? Déterminer Q, Q.
◦
2. Soit E = {1/n, n ∈ N∗ }. E est-il ouvert, fermé dans R ? Déterminer E , E .
3. Montrer que GLn (C) est dense dans Mn (C) (ind : montrer que toute matrice de
Mn (C) est semblable à une matrice triangulaire supérieure).
Exercice 7 Soit E = C 0 ([0, 1], R). On dénit les applications N1 et N2 sur E par :
Z
N1 (f ) = sup |f (x)|,
N2 (f ) =
x∈[0,1]
1
et |f (t)|dt.
0
1. Montrer que N1 et N2 sont des normes sur E .
2. Soit (fn )n∈N la suite d'éléments de E dénie par
1 − nx si 0 6 x 6 1/n
fn (x) =
0 sinon.
Étudier cette suite pour les N1 et N2 . Que peut-on en conclure ?
2
