Licence 3 Mathématiques

Université de Caen
Année universitaire 2005-2006
U.F.R. Sciences
semestre 5
Licence 3 Mathématiques
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Espaces métriques, TD n
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Exercice I
On munit R2 de la norme euclidienne. Donner la nature topologique (ouvert, fermé, compact) des
ensembles suivants :
1. A := {(x, y) ∈ R2 | x2 − y 2 − 2xy ≤ 1}
2. B := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 + exy ≤ 36}
3. C := {(x, y) ∈ R2 | 2x2 + 3y 2 < 1}
Exercice II
1. Soit (E, d) un espace métrique et (xn )n≥0 une suite d'éléments de E qui converge vers a ∈ E .
Montrer que K = {xn | n ≥ 0} ∪ {a} est un compact de E .
2. Soit (E, d) un espace métrique compact et (xn )n≥0 une suite d'éléments de E qui possède une
seule valeur d'adhérence a dans E . Montrer que cette suite converge vers a.
Exercice III
Soient (E, k · k) un espace vectoriel normé et A et B deux parties de E . On note :
A + B := {a + b | (a, b) ∈ A × B}.
1. Montrer que si A est ouvert, alors A + B est ouvert.
2. Montrer que si A est compact et B fermé, alors A + B est fermé.
3. Montrer que si A et B sont compact, alors A + B est compact.
4. On munit R × R de la norme euclidienne et on pose :
A := {(a, b) ∈ R × R | a > 0, et ab = 1} et B := {(a, b) ∈ R × R | a = 0, et b ≤ 0}.
Déterminer la nature topologique de A, B et A + B .
Exercice IV
Soit E et F deux R-espaces vectoriels normés, on note B̄E la boule unité fermée de E . Soit u une
application de E dans F telle que u(B̄E ) soit bornée dans F et vériant
∀x, y ∈ E, u(x + y) = u(x) + u(y).
1. Pour tout x ∈ E et tout r ∈ Q, calculer u(rx).
2. Montrer qu'il existe un réel M strictement positif tel que
∀x ∈ E,
ku(x)k ≤ M kxk.
3. Montrer que u est continue et linéaire.
Exercice V
Soient (E, k · k) un espace vectoriel normé et A une partie compacte de E . Soit a ∈ A un point non
isolé, c'est-à-dire que pour tout ε > 0 on a B(a, ε) ∩ A 6= {a}. On considère une fonction continue
f : E → E telle que f (A) ⊆ A et vériant :
∀x ∈ A \ {a}, kf (x) − ak < kx − ak.
1. Montrer que f (a) = a.
2. Soit x0 ∈ A ; pour tout n ∈ N on pose xn+1 = f (xn ). Montrer que la suite (xn )n∈N ainsi
dénie converge vers a.
Exercice VI
Soient n un entier naturel, d la distance usuelle sur Rn , et F un fermé non vide de Rn .
1. On considère un élément x0 de Rn .
(a) Montrer qu'il existe une suite (fk )k∈N d'éléments
de la boule fermée de centre x0 et de
rayon d(x0 , F ) + 1 telle que la suite d(x0 , fk ) k∈N converge vers d(x0 , F ).
(b) En déduire que la distance d(x0 , F ) est atteinte.
2. On rappelle que l'application dénie sur Rn par x 7→ d(x, F ) est continue. Soit U un ouvert
non vide de Rn . On suppose que pour tout x ∈ U , la distance d(x, F ) n'est atteinte qu'en un
seul point, que l'on notera P (x). Le but ici est de montrer que l'application P : U → F ainsi
dénie est continue.
Soient x ∈ U et (xk )k∈N ∈ U N une suite convergente vers x.
(a) Montrer que la suite d xk , P (xk )
k∈N
n
converge vers d x, P (x) .
n
n
(b) Montrer que l'application d : Rn × R → R
est continue (où le
produit R × R est muni
de la distance δ (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = max d(x1 , y1 ), d(x2 , y2 ) ).
(c) En raisonnant par l'absurde, montrer que la suite P (xk )
k∈N
converge vers P (x).