Séries de Fourier 1. Définitions et notations. Premières propriétés

C(2π)CR2π
||f||= sup
R
|f|= sup
[0,2π]
|f| C
T f 2π ϕ(x) = f(T
2πx)
Lp
(2π)1p < +2πR
C|f|p(0,2π)||f||p=¡1
2πR2π
0|f|pdt¢1/p
(f|g) = 1
2πR2π
0f¯gdt L2
(2π)
nZent7→ eint
(en)nZL2
(2π)
P= Vect(en,nZ) = {P
finie
anen,anC}
fL1
(2π)nZieme cn(f)(en)n
cn(f) = 1
2πZ2π
0
f(t)eintdt = 1
2πZa+2π
a
f(t)eintdt ,aR.
fL2
(2π)cn(f) = (f|en)
fL1
(2π)P
−∞ cn(f)eint f
SN=P+N
Ncn(f)eint f x0
[a, b] (SN)Nx0
[a, b]
SN=a0
2+PN
n=0(ancos nx +bnsin nx)
an=an(f) = cn(f) + cn(f) = 1
πR2π
0f(t) cos ntdt bn=i(cn(f) + cn(f) = 1
πR2π
0f(t) sin ntdt
f n Z7→ cn(f)bn(f) = 0 ,n1
an(f) = 0 ,n0
cn(f) = cn(f)
fL2
(2π)cn(f) = (f|en)0|n| → +
fL1
(2π)
fL1(a, b)−∞ ≤ a < b ≤ ∞ λ
lim
|λ|→+Zb
a
f(t)eiλtdt = lim
|λ|→+Zb
a
f(t) cos λt dt = lim
|λ|→+Zb
a
f(t) sin λt dt = 0
fL1
(2π)=cn(f)0|n| → +
f, g L1
(2π)cn(f) = cn(g),nZfpp
=g
(en)nZL2
(2π)
fL2
(2π)P
−∞ cn(f)eint f L2
||f||2
2=P
nZ
|cn(f)|2
fL1
L1f
f2πsup
N
|SN(0)|= +
n0Dn:= Pn
k=nek
n1Fn=D0+... +Dn1
n
σn(f)σn(f) = S0+... +Sn1
n
Dn1
2πRπ
πDn(t)dt = 1 Dn(x) = sin((n+1
2)x)
sin(x/2) Sn(f) = fDn, f L1
2π
Fn1
2πRπ
πFn(t)dt = 1 Fn(x) = 1
n¡sin(nx/2)
sin(x/2) ¢2σn(f) = f∗ Fn, f L1
2πn1
f∈ C(2π)(σn(f))nfR
fLp
(2π)1p < (σn(f))nf||.||p
f∈ C(2π)aRsi Sn(f)(a)` ` =f(a)
f∈ C(2π)C1f=P
−∞ cn(f)en
Dn
fL1
(2π)aR
lim
t0+f(a+t) := f+lim
t0+f(at) := f
lim
t0+
f(a+t)f+
tlim
t0+
f(at)f+
t
(Sn(f)(a))n1
2(f++f)
1 / 2 100%

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