7/1 12/1 Notions de topologie des evn: Voisinages. Ouverts

Semaine :
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ne pas retirer SVP sous peine de défénestration aggravée
Notions de topologie des evn:
Voisinages. Ouverts = voisinages de chaque point;
Fermés = complémentaires d'ouverts. Caractérisation par les limites de suites.
Cas des boules ouvertes et fermées (savoir le redémontrer).
Intérieur, adhérence, frontière : def. Parties denses.
Points intérieurs; pts adhérents : caractérisation par d(x, A)=0 ou, mieux
encore, limite d'une suite de pts de A.
Pts isolés, points d'accumulation sont hors programme. Sans parler d'ensemble
dérivés, parfaits, etc.
Continuité.
L'image inverse d'un ouvert (resp. d'un fermé) par une app. continue est ouverte
(resp. fermée) (on s'en sert pour montrer qu'une partie est ouverte ou fermée)
Comparaison des fonctions au voisinage d'un point : o (ou <<), equiv, O.
Applications linéaires continues
Norme d'opérateur |||u||| : elle est sous-multiplicative.
Savoir rechercher explicitement des normes d'applications linéaires continues.
Algèbre normée, def.
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Complètude :
Critère de Cauchy. Ptés des suites de Cauchy. partie complète.
Espace de Banach, ses fermés.
Compacité. (nb: définition séquentielle; Borel-Lebesgue est hors-programme).
Les compacts inclus dans un autre sont ses fermés. Un compact est fermé et
borné. Produit de deux compacts.
Image continue d'un compact, avec le cas particulier des applications à valeurs
dans IR, et thm de Heine.
Topologie en dim. finie: équivalence des normes (admise).
Tout evn de dim finie est complet.
Continuité des applications linéaires et multilinéaires.
Bolzano Weierstrass: les compacts sont en dim finie les fermés bornés.
Le thm du point fixe (contraction d'un complet) est hors-programme.
Connexité par arcs : définition.
Un convexe est cpa, thm des valeurs intermédiaires : l'image continue d'un cpa
est encore cpa.