TD9. Convergence en loi. - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3
UE LM345 – Probabilités élémentaires Année 2014–15
TD9. Convergence en loi.
1. Supposons que E[X2]=1et E[X4]≤K < ∞. Montrer que pour chaque y < 1il
existe une constante cy,K >0telle que P[|x|> y]≥cy,K .
2. Soient Ynune suite de variables aléatoires. Supposons que E[Yn]→1et E[Y2
n]→1.
Montrer que Yn→1en loi.
3. Soient (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires réelles définies sur un espace
(Ω,F,P)et fune application continue de Rdans R. On suppose que (Xn)n∈Nconverge
en loi vers une variable aléatoire X.
Montrer que la suite (f(Xn))n∈Nconverge en loi vers f(X).
4. a. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires réelles qui converge en loi vers une
variable aléatoire réelle constante a. Montrer que la convergence a lieu aussi en probabilité.
b. Soit (Xn)n≥1une suite indépendante de variables aléatoires réelles de même loi de
Cauchy de paramètre 1. Soit Sn=Pn
k=1 Xk. Etudier les convergences en probabilité et
en loi des suites (1
√nSn)n≥1,(1
nSn)n≥1et (1 n2Sn)n≥1.
Indication : la fonction caractéristique de la loi de Cauchy est donnée par φ(t) = e−|t|.
5. Soient Xune variable aléatoire réelle, (Xn)n∈Net (Yn)n∈Ndeux suites de v.a.r.
a. Montrer que pour tout t∈R,a > 0et n∈N,
|φXn+Yn(t)−φXn(t)| ≤ 2P(|Yn|> a) + E[]−∞,a](|Yn|)|eitYn−1|].
b. Montrer que si (Xn)n∈Nconverge en loi vers Xet (Yn)n∈Nconverge en loi vers 0,
alors la suite (Xn+Yn)n∈Nconverge en loi vers X.
c. Montrer que la convergence en loi de (Xn)n∈Nvers Xn’implique pas la convergence
en loi de (Xn−X)n∈Nvers 0.
1