Compacité

#161
Compacité
Khôlles - Classes prépa
Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel.
Exercice 1.
Graphe fermé
Exercice 2.
Application presque contractante
Exercice 3.
Application presque contractante (Mines MP 2003)
Soient E, F deux espaces vectoriels normés et f : E −→ F. On note Gr(f ) = {(x, y) ∈ E × F tq y =
f (x)}.
1) Montrer que si f est continue, alors Gr(f ) est fermé dans E × F .
2) Prouver la réciproque lorsque f (E) est inclus dans un compact de F .
3) Donner un contrexemple si f (E) n'est pas inclus dans un compact.
Soit A une partie compacte d'un evn E et f : A −→ A telle que : ∀ x, y ∈ A, x 6= y ⇒ d(f (x), f (y)) <
d(x, y).
1) Montrer que f admet un point xe unique, a.
2) Soit (xn ) une suite d'éléments de A telle que xn+1 = f (xn ). Montrer qu'elle converge vers a.
Soit C un compact convexe d'un evn E . Soit f : C −→
C, 1-lipschitzienne. Montrer que f admet un
1
a point xe. On pourra utiliser la fonction fn : x 7−→ + 1 − f (x) avec a ∈ C .
n
Exercice 4.
Fonction bicontinue sur un compact
Exercice 5.
Isométries d'un compact
Exercice 6.
Partie dense dans un compact
Exercice 7.
Intersection emboitée
n
Soit A une partie compacte d'un evn E et f : A −→ F une fonction continue et injective (F = evn).
1) Montrer que f −1 : f (A) −→ A est aussi continue.
2) Donner un exemple où A n'est pas compact et f −1 n'est pas continue.
Soit A une partie compacte d'un evn E et f : A −→ A telle que : ∀ x, y ∈ A, d(f (x), f (y)) ≥ d(x, y).
1) Soit a ∈ A et (an ) la suite dénie par : a0 = a, an+1 = f (an ). Montrer que a est valeur d'adhérence
de la suite (an ).
2) Soient a, b ∈ A. Montrer que d(f (a), f (b)) = d(a, b).
3) Montrer que f (A) = A.
Soit A une partie compacte d'un evn E . Montrer qu'il existe une suite (ak ) d'éléments de A qui est
dense dans A.
T Soit E un espace vectoriel normé, (Kn ) une suite décroissante de compacts non vides de E et K =
Kn .
n
1)
2)
3)
Montrer que K 6= ∅.
Soit U un ouvert contenant K . Montrer qu'il existe n tel que Kn ⊂ U .
Montrer que δ(K) = lim δ(Kn ) (δ est le diamètre).
Exercice 8.
n→∞
Image d'une intersection
Soient E, F deux espaces vectoriel normés
T et f : E −→ F continue. Soit (Kn ) une suite décroissante
de compacts de E . Montrer que f (∩ Kn ) = f (Kn ).
n
14 septembre 2015
n
1
Thierry Sageaux
Compacité
Exercice 9.
Recouvrement ouvert
Soit A une partie compacte d'un evn E et (Oi )i∈I un recouvrement ouvert de A. Montrer qu'il existe
r > 0 tel que toute partie de A de diamètre inférieur ou égal à r soit incluse dans l'un des Oi .
Exercice 10.
Ensemble compact de suites
Soit E = B(N, R) = {suites u = (un ) bornées}. On munit E de la norme : kuk =
que A = {u ∈ E tq ∀ n ∈ N, 0 ≤ un ≤ 1} est compact.
Exercice 11.
Boule unité non compacte
Exercice 12.
Plus petite boule contenant une partie
Exercice 13.
Polytechnique MP
Exercice 14.
Thm. de Riesz, Stival 2003
∞ |u |
P
n
. Montrer
n
2
n=0
Soit E = C([0, 2π]) muni de la norme k.k2 . Pour n ∈ N, on pose fn (x) = cos(nx).
1) Calculer kfn − fp k2 pour n, p ∈ N.
2) En déduire que B(0, 1) n'est pas compacte.
Soit k.k une norme sur R2 , A ⊂ R2 une partie non vide et bornée.
1) Montrer qu'il existe une boule fermée de rayon minimum contenant A.
2) Montrer que cette boule n'est pas nécessairement unique (on prendra k.k = k.k∞ ).
3) Montrer que si k.k est une norme euclidienne, alors la boule précédente est unique.
∗
2000
Soit E un espace vectoriel normé, K un compact convexe de E , f une application de K dans K ,
1-lipchitzienne. Montrer que f a un point xe.
Soit E un evn de dimension innie.
1) Soit F un sev de dimension nie et a ∈ E \ F .
a) Montrer qu'il existe b ∈ F tel que ka − bk = d(a, F ).
b) En déduire qu'il existe c ∈ E tel que kck = 1 = d(c, F ).
2) Montrer que la boule unité de E n'est pas compacte.
2
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Solutions des exercices
Exercice 2.
2) d(xn , a)
décroit, donc tend vers d. Il existe une sous-suite (xnk ) convergeant vers ` et d(`, a) = d.
La suite (f (xnk )) converge vers f (`) et d(f (`), a) = d, donc ` = a. Il y a une seule valeur d'adhérence,
donc la suite converge.
Exercice 3.
1
C est stable par fn qui est 1 −
-lipschitzienne. Donc il existe xn ∈ C tel que fn (xn ) = xn ; toute
n
valeur d'adhérence de (xn ) est point xe de f .
Exercice 7.
3) Soit ` = lim δ(Kn ).
Il existe xn , yn ∈ Kn tels que d(xn , yn ) = δ(Kn ). Après extraction de soussuites, on peut supposer que xn > x et yn > y . Pour ε > 0, (B(x, ε) ∩ Kn ) et (B(y, ε) ∩ Kn ) forment
des suites décroissantes de compacts non vides, donc B(x, ε) ∩ K et B(y, ε) ∩ K sont non vides. Par
conséquent, δ(K) ≥ ` − 2ε.
n→∞
Exercice 9.
Ui,n = {x ∈ E tq B(x, 1/n) ⊂ Oi } est ouvert et les Ui,n recouvrent E . On extrait un recouvrement
ni ⇒ r = min(1/n).
Exercice 10.
Soit (un ) une suite de suites éléments de A : un = (unk ). On peut trouver une sous-suite (unp0 )
n
n
n
telle que (u0 p0 ) converge vers u0 ∈ [0, 1], puis une sous-suite (unp1 ) telle que (u0 p1 , u1 p1 ) converge vers
2
(u0 , u1 ) ∈ [0, 1] , etc. Alors la suite (unpk )k converge dans A vers (u0 , u1 , . . . ).
Exercice 13.
1
1
a+ 1−
f (x). fn est une
n
n
1
-contraction de K donc admet un point xe xn . Si x est une valeur d'adhérence de la suite (xn )
1−
n
alors f (x) = x.
On choisit a ∈ K et on considère pour n ≥ 1 la fonction fn : x 7−→
3
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