Contrôle continu Sans documents ni calculatrices 1) Question de

Mat242 http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/ marin/Manuscripts/Mat242V/Mat242V.html 16/03/2009
Contrôle continu
Sans documents ni calculatrices
[Le barême tiend compte de la clareté de la rédaction, ne reportez sur la copie que des calculs et des raisonnements aboutis.]
1) Question de cours [sur 5 points]
Soit Iun intervalle réel et fn:I→Rune suite de fonctions continues convergeant
uniformément vers f:I→R. Prouver que fest continue.
2) [ sur 7 points]
(a) Soit a∈Cet r∈]0,1[. Décrire et faire la figure dans le cas a= 1.
Ha={z∈C| |z|<|2a+z|}, Da(r) = {z∈C| |z| ≤ r|2a+z|}
.
(b) Prouver que la série
∞
X
l=0z
2a+z2lconverge si z∈Haet calculer sa somme.
La convergence est-elle uniforme dans Ha? est-elle uniforme dans Dr(a)?
On suppose désormais a= 1 et note I=H1∩R.
(c) Déterminer I, vérifier 0∈Iet si t∈I, n ∈Ncalculer Zt
0s
2 + sn4 (2 + s)2ds.
(d) Déduire de ce qui précède que si x∈]0,+∞[la série
∞
X
l=0
2
2l+ 1x−1 x+ 12l+1 converge
et déterminer sa somme.
(e) Que vaut
∞
X
l=0
1
2l+ 13−(2l+1) ? Donner en une approximation à 10−4près.
3) [sur 8 points]
Soit a∈]0,1
2[et x∈I= [a, 1−a]et J= [a−1,1−a]
(a) La famille 1
x+nn∈Z
est-elle sommable ?
(b) Soit N∈N. La suite
N
X
n=−N
1
x+nconverge-t-elle ?
(c) Si n∈N\ {0}on note fn:J→R, fn(x) = 1
x−n+1 x+n=2x x2−n2=−2x n2−x2.
i. Prouver que la série
∞
X
n=1
fnconverge normalement dans J.
ii. Calculer, si t∈J, Zt
0
fn
(d) déduire de ce qui précède et du résultat suivant démontré en cours : si x∈R\ {0}
alors
sin(πx)
πx = lim
N→∞
N
Y
n=11−x2
n2
la valeur, si x∈Ide lim
N→∞
N
X
n=−N
1
x+n, puis celle de 3 +
∞
X
n=13
1+3n+3 1−3n