Contrôle continu Sans documents ni calculatrices 1) Question de

Mat242 http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/ marin/Manuscripts/Mat242V/Mat242V.html 16/03/2009
Contrôle continu
Sans documents ni calculatrices
[Le barême tiend compte de la clareté de la rédaction, ne reportez sur la copie que des calculs et des raisonnements aboutis.]
1) Question de cours [sur 5 points]
Soit I un intervalle réel et fn : I → R une suite de fonctions continues convergeant
uniformément vers f : I → R. Prouver que f est continue.
2) [ sur 7 points]
(a) Soit a ∈ C et r ∈]0, 1[. Décrire et faire la figure dans le cas a = 1.
Ha = {z ∈ C | |z| < |2a + z|},
Da (r) = {z ∈ C | |z| ≤ r|2a + z|}
.
∞
X
z 2l
converge si z ∈ Ha et calculer sa somme.
l=0 2a + z
La convergence est-elle uniforme dans Ha ? est-elle uniforme dans Dr (a) ?
(b) Prouver que la série
On suppose désormais a = 1 et note I = H1 ∩ R.
n
s
4
(c) Déterminer I, vérifier 0 ∈ I et si t ∈ I, n ∈ N calculer
ds.
2 + s (2 + s)2
0
∞
X
2 x − 1 2l+1
(d) Déduire de ce qui précède que si x ∈]0, +∞[ la série
converge
l=0 2l + 1 x + 1
et déterminer sa somme.
∞
X
1
(e) Que vaut
3−(2l+1) ? Donner en une approximation à 10−4 près.
l=0 2l + 1
Z t
3) [sur 8 points]
Soit a ∈]0, 21 [ et x ∈ I = [a, 1 − a] et J = [a − 1, 1 − a]
1
(a) La famille
est-elle sommable ?
x + n n∈Z
N
X
1
(b) Soit N ∈ N. La suite
converge-t-elle ?
x
+
n
n=−N
(c) Si n ∈ N \ {0} on note fn : J → R, fn (x) =
i. Prouver que la série
∞
X
1
1
2x
−2x
+
= 2
= 2
.
2
x−n x+n
x −n
n − x2
fn converge normalement dans J.
n=1
ii. Calculer, si t ∈ J,
Z t
0
fn
(d) déduire de ce qui précède et du résultat suivant démontré en cours : si x ∈ R \ {0}
alors
N Y
sin(πx)
x2
= lim
1− 2
N →∞
πx
n
n=1
la valeur, si x ∈ I de lim
N →∞
N
X
n=−N
∞
X
1
3
3
, puis celle de 3 +
+
x+n
1 − 3n
n=1 1 + 3n