TD9. Convergences de v.a. et Théorèmes limites.

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L2
UE LM231 – Probabilités-Statistiques Année 2012–13
TD9. Convergences de v.a. et Théorèmes limites.
Convergences en probabilités et en loi
Exercice 1. Pour n≥1, on définit la fonction fnpar
fn(x) = n
π(1 + n2x2), x ∈R.
a) Montrer que fnest la densité d’une v.a. Xn. Que peut-on dire de E[Xn]et Var(Xn)?
b) Montrer que Xnconverge en probabilité vers 0 lorsque n→+∞.
Exercice 2. On considère une suite (Xn)n≥1de variables aléatoires réelles indépendantes et de même
loi uniforme sur l’intervalle [0, θ], avec θ > 0. Pour tout n≥1, on pose Mn= max(X1, . . . , Xn).
a) Pour ε > 0, calculer P(Mn< θ −ε).
b) En déduire que Mnconverge en probabilité vers θquand n→+∞.
Exercice 3. Soit Xnune variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p/n. Après avoir
calculé la fonction caractéristique de Xn, montrer que la suite (Xn/n)n≥0converge en loi vers une v.a.
que l’on déterminera.
Exercice 4. Soient {Xn}n≥0des variables aléatoires telles que pour tout entier naturel n,Xn∼
N(µn, σ2
n)où µn∈Ret σ2 n∈R? +. On suppose qu’il existe µ∈Ret σ2∈R? +tels que lim
n→+∞µn=µet
lim
n→+∞σ2
n=σ2. Montrer que Xnconverge en loi vers Xquand n→+∞où X∼ N µ, σ2.
Exercice 5. Loi des événements rares
Soit (Xn)n≥1une suite de v.a. telle que pour n≥1,Xnest de loi binomiale de paramètres net pn.
On suppose qu’il existe λ > 0tel que lim
n→+∞npn=λ. Soit Xune v.a. de Poisson de paramètre λ.
a) Calculer les fonctions caractéristiques de Xnet de X.
b) En déduire que Xnconverge en loi vers Xquand n→+∞.
Loi des grands nombres, TCL
Exercice 6. On lance un dé à 6 faces non truqué et pour i≥1, on appelle Xila v.a. donnant le
numéro obtenu au i-ème lancer.
a) Déterminer la limite lim
n→+∞
X1+· · · +Xn
n.
b) Quelle est la limite, quand n→+∞, de la proportion de faces paires obtenues en nlancers ?
Exercice 7. Soit (Xi)i≥1une suite de v.a. i.i.d. de loi normale N(0,1). Montrer que
X2
1+· · · +X2
n
n
converge en probabilité vers 1 quand n→+∞.
1

Exercice 8. Soit (Xn)n≥1une suite de v.a. i.i.d. suivant la loi normale N(1,3). Montrer que la suite
de terme général
1
n
n
X
i=1
XieXi
converge en probabilités et déterminer sa limite.
Exercice 9. Soient {Xn}n≥1une suite de variables aléatoires i.i.d telles que X1∼ P(1). Pour tout
entier naturel non nul non pose Sn=Pn
k=1 Xk.
a) Déterminer la limite en loi de nSn−n
√non≥1.
b) Montrer que
e−n
n
X
k=0
nk
k!−→
n→+∞
1
2.
Exercice 10. On dispose de deux dés équilibrés : le premier a deux faces noires et quatre faces rouges,
le second a deux faces rouges et quatre noires. On choisit un dé au hasard, avec même probabilité 1/2
de choisir l’un ou l’autre, puis on effectue une suite infinie de lancers indépendants avec ce dé. Pour
tout n≥1, on définit
Xn=1si le n-ème lancer donne une face noire
0sinon.
a) Montrer que les variables aléatoires (Xn)nont même loi, de moyenne 1/2. Sont-elles indépen-
dantes ?
b) Montrer que l’on n’a pas
lim
n→+∞
P
X1+· · · +Xn
n−1 2
> ε= 0.
2