CY - THEOREME DE DINI Théorème Soit une suite décroissante (fn ) de fonctions numériques continues définies sur un compact K. Si la suite converge simplement vers 0 sur K, alors elle converge uniformément vers 0 sur K. En particulier les fonctions fn sont positives. Supposons qu’il existe ε > 0, tel que pour tout entier N , on puisse trouver un nombre xN de K vérifiant fN (xN ) ≥ ε . On peut extraire de la suite (xN ) une suite convergente (xϕ(N ) ). Notons ℓ sa limite. Soit n un entier. Alors, si N ≥ n, on a ϕ(N ) ≥ N ≥ n, et puisque la suite (fn ) décroit, on en déduit fn (xϕ(N ) ) ≥ fϕ(N ) (xϕ(N ) ) , et il en résulte que fn (xϕ(N ) ) ≥ ε . Puisque la fonction fn est continue en ℓ, on en déduit que, pour tout entier n, lim fn (xϕ(N ) ) = fn (ℓ) ≥ ε . N →+∞ Alors la suite (fn (ℓ)) ne converge pas vers 0, d’où une contradiction, puisque la suite (fn ) converge simplement vers 0. L’hypothèse initiale est donc fausse. Cela signifie que, pour tout ε > 0, il existe un entier N , tel que pour tout x de K. fN (x) < ε . Mais comme la suite (fn ) est décroissante, on a, si n ≥ N , fn (x) ≤ fN (x) < ε . Donc, pour tout ε > 0, il existe un entier N , tel que, pour tout n ≥ N et tout x ∈ K, on ait |fn (x)| < ε . Cela signifie que la suite (fn ) converge uniformément vers 0 sur K. On en déduit immédiatement le résultat général suivant. CY 2 Corollaire Si une suite monotone de fonctions continues converge simplement vers une fonction continue f sur un compact, elle converge uniformément vers f . Il suffit d’appliquer le résultat précédent à la suite (|fn − f |). Remarques - Le résultat est pris en défaut si la limite n’est pas continue, puisque la convergence ne peut être uniforme dans ce cas. Par exemple, si l’on pose, fn (x) = 1 − nx 0 si 0 ≤ x ≤ 1/n , si 1/n < x ≤ 2 la suite (fn ) est décroissante, mais la limite simple f définie par 1 si x = 0 f (x) = 0 si 0 < x ≤ 2 n’est pas continue en 0. - Le résultat peut être également pris en défaut si l’intervalle n’est pas compact. Par exemple, si l’on pose, 0 fn (x) = x−n 1 si 0 ≤ x ≤ n si n < x ≤ n + 1 , si n + 1 < x la suite (fn ) est décroissante et converge simplement vers 0 sur [ 0, +∞ [ , mais la convergence n’est pas uniforme, puisque sup fn (x) = 1. Par contre, on a convergence uniforme sur tout compact. x≥0