cy - theoreme de dini

CY - THEOREME DE DINI
Théorème Soit une suite décroissante (fn)de fonctions numériques continues définies sur un
compact K. Si la suite converge simplement vers 0 sur K, alors elle converge uniformément vers 0
sur K.
En particulier les fonctions fnsont positives.
Supposons qu’il existe ε > 0, tel que pour tout entier N, on puisse trouver un nombre xNde Kvérifiant
fN(xN)≥ε .
On peut extraire de la suite (xN)une suite convergente (xϕ(N)). Notons ℓsa limite.
Soit nun entier. Alors, si N≥n, on a ϕ(N)≥N≥n, et puisque la suite (fn)décroit, on en déduit
fn(xϕ(N))≥fϕ(N)(xϕ(N)),
et il en résulte que
fn(xϕ(N))≥ε .
Puisque la fonction fnest continue en ℓ, on en déduit que, pour tout entier n,
lim
N→+∞fn(xϕ(N)) = fn(ℓ)≥ε .
Alors la suite (fn(ℓ)) ne converge pas vers 0, d’où une contradiction, puisque la suite (fn)converge
simplement vers 0. L’hypothèse initiale est donc fausse. Cela signifie que, pour tout ε > 0, il existe un
entier N, tel que pour tout xde K.
fN(x)< ε .
Mais comme la suite (fn)est décroissante, on a, si n≥N,
fn(x)≤fN(x)< ε .
Donc, pour tout ε > 0, il existe un entier N, tel que, pour tout n≥Net tout x∈K, on ait
|fn(x)|< ε .
Cela signifie que la suite (fn)converge uniformément vers 0sur K.
On en déduit immédiatement le résultat général suivant.

CY 2
Corollaire Si une suite monotone de fonctions continues converge simplement vers une fonction
continue fsur un compact, elle converge uniformément vers f.
Il suffit d’appliquer le résultat précédent à la suite (|fn−f|).
Remarques
- Le résultat est pris en défaut si la limite n’est pas continue, puisque la convergence ne peut être
uniforme dans ce cas.
Par exemple, si l’on pose,
fn(x) = 1−nx si 0≤x≤1/n
0si 1/n < x ≤2,
la suite (fn)est décroissante, mais la limite simple fdéfinie par
f(x) = 1si x= 0
0si 0< x ≤2
n’est pas continue en 0.
- Le résultat peut être également pris en défaut si l’intervalle n’est pas compact.
Par exemple, si l’on pose,
fn(x) = 
0si 0≤x≤n
x−nsi n < x ≤n+ 1
1si n+ 1 < x
,
la suite (fn)est décroissante et converge simplement vers 0sur [ 0,+∞[, mais la convergence n’est
pas uniforme, puisque sup
x≥0
fn(x) = 1. Par contre, on a convergence uniforme sur tout compact.