Nombres Complexes : Cours Complet

1
Chapitre NOMBRES COMPLEXES
: Géneralités -Ⅰ a- Définition : : avec On appelle Ensemble des nombres complexes noté
2
/ , , = 1 z z a ib avec a b et i= = +   −
*
z
(a, b)
2
/ z= a + i b, cette écriture s’appelle Forme algébrique de z,
Le réel a s'appelle la partie réelle de z noté Re (z)
Le réel b s'appelle la parie imaginaire de z noté Im(z)
: : On a nombres complexesdeux
et zz
Soient *
0 ( ) ( ) 0z e z m z=   =  =
( ) ( ) et ( ) ( )z z e z e z m z m z =   =   = 
( ) 0z m z   =
( ) 0z i e z   =
* Soient Z et Z' deux complexes /
Z a ib=+
et
''Z a ib=+
Z+Z' = (a+a’) +i(b+b’) ( l'addition dans )
Z.Z' = (aa'-bb') + i (ab'+a’b) ( la multiplication dans )
* Ces deux lois internes dans ont les propriétés suivantes :
- L'addition est associative, commutative, admet un élément neutre
Tout complexe admet un opposé dans .
- La multiplication est associative, commutative, admet un élément neutre,
Tout complexe non nul admet un inverse dans .
- L'addition est distributive par rapport à la multiplication dans
* La formule du binôme de Newton est encore valable dans :
0
, ( )
nk
n
nk n k
k
n z z C z z −
=
  + = 
avec
( )
!
!!
k
nn
Ck n k =−
ou à partir du triangle de Pascal .
EXERCICE
Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :
Z1 =
( )( )
1 2 3 5ii−+
Z2 =
(1 2 )(2 3 )
1
ii
i
+−
−
Z3 =
( )
4
23i+
Ⅱ- CONJUGUE , MODULE ET RACINE CARREE D UN COMPLEXE
1)- Soit z
donc
(a,b)
2
/ Z = a + i b ,
Le nombre ( a - i b ) s'appelle le conjugué de z qu'on note
z
z = a + i b
z
= a – i b
Exemple
22=
33ii=−
1 2 1 2ii+ = −
3 4 3 4ii− = +
Propriétés
1-
2
( , ')zz
,
zz=
,
''z z z z+ = +
et
' 'z z z z=
En général : Pour tous nombres complexes
12
, ,..., :
n
z z z
1 2 1 2 1 2 1 2
... ... et ... ...
n n n n
z z z z z z z z z z z z+ + + = + + +    =   
2-
,z
Re (z)=
2
zz+
et Im (z) =
2
zz
i
−
3-
est réel z z z=
et
est imaginaire pure z z z = −

2
2)-
2
, !( , ) /z a b z a ib    = +
Le nombre
²²ab+
es appelé module de z qu'on note
z
z
=
²²ab+
=
.zz
Exemple
22i−=
12i+=
1 3 2i−=
Propriétés
1-
2
( , ') ,zz
,
z z z= − =
,
..zz =
,
. ' . 'z z z z=
,
''z z z z+  +
2-
z
,
00zz=  =
3-
z
,
0z
4-
z
Re( )zz
et
Im( )zz
3)- Le complexe z est une racine carrée du complexe Z si et seulement si z² = Z
Tout nombre complexe admet deux racines carrées opposés
Exemple.
(1+i)² =2i donc (1+i) et –(1+i) deux racines carrée de 2i
(1-i)² = -2i donc 1-i et –(1-i) deux racines carrée de -2i
(1-2i)² = -3-4i donc (1-2i) et –(1-2i) deux racines carrée de -3-4i
EXRCICE
Déterminer les racines carrées des nombres suivants : -5 , 6i ,-5+12i , -3+4i
4)-RESOLUTION DES EQUATIONS DE 2iémé DEGRES DANS
Soit à résoudre dans l’équation
20az bz c+ + =
, où
, et a b c
sont trois complexes avec
0a
.
On pose :
24b ac = −
.
Soit
une racine carrée de
, alors l’équations admet deux solutions qui sont :
12
b
za
−−
=
et
22
b
za
−+
=
Exemples :
1)
2
( ): 2(1 ) 2 0E z i z i+ − − =
2)
2
( ): 2(1 ) 0E z i z i+ + + =
Cas particulier :
, et a b c
sont réels.
Soit à résoudre dans l’équation
20az bz c+ + =
, où
, et a b c
sont trois réels avec
0a
.
On pose :
24b ac = −
.
- Si Soit
0
alors l’équation admet deux solutions réelles :
12
b
za
− − 
=
et
22
b
za
− + 
=
- Si Soit
0=
alors l’équation admet une solution réelle :
2b
za
−
=
- Si Soit
0
alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :
12
bi
za
− − −
=
et
21 2
bi
zz a
− + −
==
Exemple :
2
( ):4 12 25 0E z z− + =
2
( '): 1 0E z z+ + =
z²+z+1=0

3
Propositions :
Soient
, et a b c
trois nombres complexes, avec
0a
.
Deux nombres complexes
12
t z e z
(éventuellement égaux) vérifient les relations :
12 b
zz a + = −
et
12c
zz a =
si et seulement si ce sont les racines de l’équation :
20az bz c+ + =
.
Toutes équations de 2iémé degrés dans admet deux solutions égales ou distincts
Exercice
Résoudre dans les équations suivantes :
z²+3z+4 =0 , z²+4z+13 = 0 , z²-(5-14i)z-2(12+5i) = 0
Ⅲ - REPRESENTATION GEOMETRIQUE D’UN COMPLEXE
Le plan P munit d'un repère orthonormé (0,
1
e
,
2
e
)
2
, !( , ) /z a b z a ib    = +
L'application
→
P
z M(z)(a,b) est une bijection de vers P
z= a+ib
M(z)(a,b)
OM a=
1
e
+b
2
e
z est appelé affixe de M ou du vecteur
OM
M est appelé point image de z
OM
est appelé vecteur image de z
REMARQUES
1- M (z) et z =a+ib
OM a=
1
e
+b
2
e
et OM =
²²ab+
=
z
2- L’affixe du vecteur
'MM
avec M(z) et M'(z') est z'-z
et d(M,M')=
'MM
=
' ( , ')z z d z z−=
Ⅳ- ARGUMENT D’UN COMPLEXE NON NUL
P munit d'un repère orthonormé direct (O,
OA
,
OB
)
L'argument d'un complexe non nul z est la mesure de l'angle (
OA
,
OM
)
Avec z l'affixe du point M qu'on note arg (z)
Arg(z) =
2
( , )OA OM =
2

4
REMARQUES
1-Si arg(z) =
, −
on le note Arg (z)
2- Si arg(z) =
2
et arg(z) =
2
alors
/2kk   − =
3-z=z'
'zz=
et arg(z) =arg(Z')
2
4- Soient z,z' z" trois complexes /A(z), B(z') et C(z")
Arg (
'
"
zz
zz
−
−
) =
( , )AC AB
2
'
"
z z AB
z z AC
−=
−
Soit z
*
donc
00
/1zz  =
et z=
z
z0
Si M0 (z0)
M0
C(O,1) cercle trigonométrique
D’où les coordonnées de M0 est le couple (Cos
, Sin
) avec Arg (z) =
c.à.d z0 = Cos
+i Sin
on a z=
z
z0 =
z
(Cos
+i Sin
)
Cette forme est appelé forme trigonométrique
On écrit z =
( , )z
REMARQUES
1- Z = a+ib
²²z a b=+
,
²²
a
Cos ab =+
et
²²
b
Sin ab =+
2- Si z = ( R,
) =(R' ,
') alors R=R' et
=
'
2
Exemple :
Z= 1+i = (
2, 4
) , Z= 1-i
3
= (2,
3
) , Z =-3i = (3 , -
2
)
PROPRIETES
1- Si Z = (R,
) et Z' = (R' ,
') alors
ZZ' = (RR',
+
')
1( , )R
Z
=−
et
( , ')
''
ZR
ZR
=−
2- On peut généraliser
11
1
( , )
n
nn
k k k
kk
k
zz
==
=
=
cas particulier
( , )
n
n
Z z n =
3-FORMULE DE MOIVRE :
( ) ( ) ( ) ( )
,(cos sin ) cos sin
p
p i p i p   + = +

5
Exemple : (1+i)5 =
55
2, 4 2, 4 2 1,
4 4 4
= = −
REMARQUE
Si Z=Cos
+i Sin
et p
alors
Z
= Cos
-iSin
Z
Z
=1 ,
p
p
ZZ
= 1 , Z+
Z
=2Cos
, Z-
Z
=2i Sin
p
p
ZZ+
= 2Cosp
et
p
p
ZZ−=
2i Sin p
4-On sait que
,ia a e Cosa iSina  = +
Donc z =
z
(Cos
+ i Sin
)=
z
i
e
avec arg z =
Cette forme est appelée forme exponentielle de z
Exemple :
Z = 1+i =
4
2i e
, Z = 3-i
3
= 2
3
6
i
e
−
REMARQUE
On a:
( )
cos 2
it it
ee
t−
+
=
et
( )
sin 2
it it
ee
ti
−
−
=
ces formules s'appellent formules d'EULER
t
,
p
(Cost)p = (
2
it it
ee
−
+
)p et (Sint)p = (
2
it it
ee
i
−
−
)p
( )
cos 2
ipt ipt
ee
pt −
+
=
et
( )
sin 2
ipt ipt
ee
pt i
−
−
=
EXERCICE
Donner en fonction de
( )
cos nt
et
( )
sin nt
les expressions suivantes :
( ) ( )
3
cosA t t=
et
( ) ( ) ( )
42
sin .cosB t t t=
Ⅳ- RACINE Niéme D UN COMPLEXE
i
Z Re =
;
''i
z Re =
avec Z
0 ,n un entier naturel non nul
On dit que z est une racine niéme de Z ssi zn = Z
c.à.d.
'
'i
z Re =
et
n
zZ=
'n
RR=
et n
'=
2
'2
', 0,..., 1
n
RR
k
nn
kn
=
=+
−
Corollaire
Tout complexe non nul Z avec Z = (
,Z
) admet n racine niéme.
( , )
n
kk
zZ =
avec
2, 0,..., 1
kkkn
n
+
=  −
Exemple :
Déterminer les racines 5iéme de Z avec Z = 1+i
Cas particulier
Les racines n de l'unité sont (1,
)
k
avec
k
=
2k
n
, k
0,..., 1n−
EXERCICE
Représenter graphiquement l'ensemble des complexe tel que
Z6 = 1 et Z8 = 1