Chapitre NOMBRES COMPLEXES Ⅰ- Géneralités : a- Définition : On appelle Ensemble des nombres complexes noté avec : 2 = z / z = a + ib avec a , b , et i = − 1 * z (a, b) 2 / z= a + i b, cette écriture s’appelle Forme algébrique de z, Le réel a s'appelle la partie réelle de z noté Re (z) Le réel b s'appelle la parie imaginaire de z noté Im(z) * Soient z et z deux nombres complexes : On a : z = 0 e( z) = m( z) = 0 z = z e( z) = e( z) et m( z) = m( z) z m( z) = 0 z i e( z) = 0 * Soient Z et Z' deux complexes / Z = a + ib et Z = a '+ ib ' Z+Z' = (a+a’) +i(b+b’) ( l'addition dans ) Z.Z' = (aa'-bb') + i (ab'+a’b) ( la multiplication dans ) * Ces deux lois internes dans ont les propriétés suivantes : - L'addition est associative, commutative, admet un élément neutre Tout complexe admet un opposé dans . - La multiplication est associative, commutative, admet un élément neutre, Tout complexe non nul admet un inverse dans . - L'addition est distributive par rapport à la multiplication dans * La formule du binôme de Newton est encore valable dans : n n! ou à partir du triangle de Pascal . n , ( z + z ) n = Cnk z k z n−k avec Cnk = k !( n − k )! k =0 EXERCICE Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants : 4 (1 + 2i )(2 − 3i ) Z1 = (1 − 2i )( 3 + 5i ) Z2 = Z3 = 2+i 3 1− i Ⅱ- CONJUGUE , MODULE ET RACINE CARREE D UN COMPLEXE ( ) 1)- Soit z donc (a,b) 2 / Z = a + i b , Le nombre ( a - i b ) s'appelle le conjugué de z qu'on note z z=a+ib z =a–ib Exemple 2=2 3i = −3i 1+ i 2 = 1− i 2 3 − 4i = 3 + 4i Propriétés 1- (z , z ') 2 , z = z , z + z ' = z + z ' et z z ' = z z ' En général : Pour tous nombres complexes z1 , z2 ,..., zn : z1 + z2 + ... + zn = z1 + z2 + ... + zn 2- z , Re (z)= 3- z est réel z = z z +z 2 et et z1 z2 ... zn = z1 z2 ... zn z −z 2i z est imaginaire pure z = − z et Im (z) = 1 2)- z , !(a, b ) Le nombre z = 2 / z = a + ib a ² + b ² es appelé module de z qu'on note z a ² + b ² = z .z Exemple −2i = 2 1+ i = 2 Propriétés 1- (z , z ') 2 , 1− i 3 = 2 , z = −z = z , .z = . z , z .z ' = z . z ' , z + z ' z + z ' 2- z , z =0z =0 3- z , z 0 4- z z Re(z ) et z Im(z ) 3)- Le complexe z est une racine carrée du complexe Z si et seulement si z² = Z Tout nombre complexe admet deux racines carrées opposés Exemple. (1+i)² =2i donc (1+i) et –(1+i) deux racines carrée de 2i (1-i)² = -2i donc 1-i et –(1-i) deux racines carrée de -2i (1-2i)² = -3-4i donc (1-2i) et –(1-2i) deux racines carrée de -3-4i EXRCICE Déterminer les racines carrées des nombres suivants : -5 , 6i ,-5+12i , -3+4i 4)-RESOLUTION DES EQUATIONS DE 2iémé DEGRES DANS Soit à résoudre dans l’équation az 2 + bz + c = 0 , où a, b et c sont trois complexes avec a 0 . On pose : = b2 − 4ac . Soit une racine carrée de , alors l’équations admet deux solutions qui sont : −b − −b + et z2 = z1 = 2a 2a Exemples : 1) ( E ) : z 2 + 2(1 − i) z − 2i = 0 2) ( E ) : z 2 + 2(1 + i) z + i = 0 Cas particulier : a, b et c sont réels. Soit à résoudre dans l’équation az 2 + bz + c = 0 , où a, b et c sont trois réels avec a 0 . On pose : = b2 − 4ac . −b − −b + - Si Soit 0 alors l’équation admet deux solutions réelles : z1 = et z2 = 2a 2a −b - Si Soit = 0 alors l’équation admet une solution réelle : z = 2a - Si Soit 0 alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : −b − i − −b + i − et z2 = z1 = z1 = 2a 2a Exemple : ( E ) : 4 z 2 −12 z + 25 = 0 ( E ') : z 2 + z + 1 = 0 z²+z+1=0 2 Propositions : Soient a, b et c trois nombres complexes, avec a 0 . Deux nombres complexes z1 et z2 (éventuellement égaux) vérifient les relations : b c et z1 z2 = si et seulement si ce sont les racines de l’équation : az 2 + bz + c = 0 . z1 + z2 = − a a Toutes équations de 2iémé degrés dans admet deux solutions égales ou distincts Exercice Résoudre dans les équations suivantes : z²+3z+4 =0 , z²+4z+13 = 0 , z²-(5-14i)z-2(12+5i) = 0 Ⅲ - REPRESENTATION GEOMETRIQUE D’UN COMPLEXE Le plan P munit d'un repère orthonormé (0, e1 , e 2 ) z , !(a, b ) L'application 2 / z = a + ib →P z M(z)(a,b) est une bijection de vers P z= a+ib M(z)(a,b) OM = a e1 +b e 2 z est appelé affixe de M ou du vecteur OM M est appelé point image de z OM est appelé vecteur image de z REMARQUES 1- M (z) et z =a+ib OM = a e1 +b e 2 et OM = a ² + b ² = z 2- L’affixe du vecteur MM ' avec M(z) et M'(z') est z'-z et d(M,M')= MM ' = z − z ' = d (z , z ') Ⅳ- ARGUMENT D’UN COMPLEXE NON NUL P munit d'un repère orthonormé direct (O, OA , OB ) L'argument d'un complexe non nul z est la mesure de l'angle ( OA , OM ) Avec z l'affixe du point M qu'on note arg (z) Arg(z) = 2 (OA ,OM ) = 2 3 REMARQUES 1-Si arg(z) = − , on le note Arg (z) 2- Si arg(z) = 2 et arg(z) = 2 alors k / − = 2k 3-z=z' z = z ' et arg(z) =arg(Z') 2 4- Soient z,z' z" trois complexes /A(z), B(z') et C(z") z '− z ) = (AC , AB ) 2 z "− z z '− z AB = z "− z AC donc z 0 / z 0 = 1 et z= z z0 Arg ( Soit z * Si M0 (z0) M0 C(O,1) cercle trigonométrique D’où les coordonnées de M0 est le couple (Cos , Sin ) avec Arg (z) = c.à.d z0 = Cos +i Sin on a z= z z0 = z (Cos +i Sin ) Cette forme est appelé forme trigonométrique On écrit z = ( z , ) REMARQUES a b et Sin = a² + b ² a² + b ² 2- Si z = ( R, ) =(R' , ') alors R=R' et = ' 2 1- Z = a+ib z = a ² + b ² , Cos = Exemple : 3 Z= 1+i = ( 2, ) , 2 Z= 1-i 3 = (2, ) , Z =-3i = (3 , - ) 4 PROPRIETES 1- Si Z = (R, ) et Z' = (R' , ') alors ZZ' = (RR', + ') 1 = (R , − ) Z n 2- On peut généraliser n n k =1 k =1 et Z R = ( , − ') Z ' R' z k = ( z k , k ) k =1 cas particulier Z = ( z , n ) 3-FORMULE DE MOIVRE : p ,(cos ( ) + i sin ( )) p = cos ( p ) + i sin ( p ) n n 4 5 (1+i)5 = 2, = 4 2, = −4 2 1, 4 4 4 5 Exemple : REMARQUE Si Z=Cos +i Sin et p alors Z = Cos -iSin p Z Z =1 , Z p Z = 1 , Z+ Z =2Cos , Z- Z =2i Sin p p Z p + Z = 2Cosp et Z p − Z = 2i Sin p 4-On sait que a , e ia = Cosa + iSina Donc z = z (Cos + i Sin )= z e i avec arg z = Cette forme est appelée forme exponentielle de z Exemple : Z = 1+i = 2e REMARQUE i 4 , Z = 3-i 3 = 2 3 e −i 6 eit − e−it eit + e−it On a: cos ( t ) = et sin ( t ) = 2 2i ces formules s'appellent formules d'EULER t , p (Cost)p = ( e it + e −it p e it − e −it p ) et (Sint)p = ( ) 2 2i eipt + e−ipt eipt − e−ipt et sin ( pt ) = cos ( pt ) = 2 2i EXERCICE Donner en fonction de cos ( nt ) et sin ( nt ) les expressions suivantes : A ( t ) = cos3 ( t ) et B ( t ) = sin 4 ( t ) .cos2 ( t ) Ⅳ- RACINE Niéme D UN COMPLEXE Z = Rei ; z = R'ei ' avec Z On dit que z est une racine n z = R'ei et ' c.à.d. 0 ,n un entier naturel non nul iéme de Z ssi zn = Z zn = Z R '= n R R = R et n '= 2 'n 2 k '= + n , k 0,..., n − 1 n Corollaire Tout complexe non nul Z avec Z = ( Z , ) admet n racine niéme. z k = ( n Z ,k ) avec k = + 2k n , k 0,..., n − 1 Exemple : Déterminer les racines 5iéme de Z avec Cas particulier Z = 1+i Les racines n de l'unité sont (1, k ) avec k = 2k , k 0,..., n − 1 n EXERCICE Représenter graphiquement l'ensemble des complexe tel que Z6 = 1 et Z8 = 1 5
