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Nombres complexes (1)

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Chapitre
NOMBRES COMPLEXES
Ⅰ- Géneralités :
a- Définition :
On appelle Ensemble des nombres complexes noté
avec :
2
=  z / z = a + ib avec a  , b  , et i = − 1 
*  z   (a, b)  2 / z= a + i b, cette écriture s’appelle Forme algébrique de z,
Le réel a s'appelle la partie réelle de z noté Re (z)
Le réel b s'appelle la parie imaginaire de z noté Im(z)
* Soient z et z deux nombres complexes : On a :
z = 0  e( z) = m( z) = 0
z = z  e( z) = e( z) et m( z) = m( z)
z
 m( z) = 0
z  i  e( z) = 0
* Soient Z et Z' deux complexes / Z = a + ib et Z = a '+ ib '
Z+Z' = (a+a’) +i(b+b’) ( l'addition dans
)
Z.Z' = (aa'-bb') + i (ab'+a’b) ( la multiplication dans )
* Ces deux lois internes dans
ont les propriétés suivantes :
- L'addition est associative, commutative, admet un élément neutre
Tout complexe admet un opposé dans
.
- La multiplication est associative, commutative, admet un élément neutre,
Tout complexe non nul admet un inverse dans .
- L'addition est distributive par rapport à la multiplication dans
* La formule du binôme de Newton est encore valable dans
:
n
n!
ou à partir du triangle de Pascal .
n  , ( z + z ) n =  Cnk z k z n−k avec Cnk =
k !( n − k )!
k =0
EXERCICE
Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :
4
(1 + 2i )(2 − 3i )
Z1 = (1 − 2i )( 3 + 5i )
Z2 =
Z3 =
2+i 3
1− i
Ⅱ- CONJUGUE , MODULE ET RACINE CARREE D UN COMPLEXE
(
)
1)- Soit z  donc  (a,b)  2 / Z = a + i b ,
Le nombre ( a - i b ) s'appelle le conjugué de z qu'on note z
z=a+ib  z =a–ib
Exemple
2=2
3i = −3i
1+ i 2 = 1− i 2
3 − 4i = 3 + 4i
Propriétés
1- (z , z ')  2 , z = z , z + z ' = z + z ' et z z ' = z z '
En général : Pour tous nombres complexes z1 , z2 ,..., zn :
z1 + z2 + ... + zn = z1 + z2 + ... + zn
2- z  ,
Re (z)=
3- z est réel  z = z
z +z
2
et
et
z1  z2  ...  zn = z1  z2  ...  zn
z −z
2i
z est imaginaire pure  z = − z
et Im (z) =
1
2)- z  , !(a, b ) 
Le nombre
z =
2
/ z = a + ib
a ² + b ² es appelé module de z qu'on note z
a ² + b ² = z .z
Exemple
−2i = 2
1+ i = 2
Propriétés
1- (z , z ') 
2
,  
1− i 3 = 2
, z = −z = z
,  .z =  . z ,
z .z ' = z . z ' , z + z '  z + z '
2- z 
, z =0z =0
3- z 
, z  0
4- z 
z  Re(z ) et z  Im(z )
3)- Le complexe z est une racine carrée du complexe Z si et seulement si
z² = Z
Tout nombre complexe admet deux racines carrées opposés
Exemple.
(1+i)² =2i donc (1+i) et –(1+i) deux racines carrée de 2i
(1-i)² = -2i donc 1-i et –(1-i) deux racines carrée de -2i
(1-2i)² = -3-4i donc (1-2i) et –(1-2i) deux racines carrée de -3-4i
EXRCICE
Déterminer les racines carrées des nombres suivants :
-5 , 6i ,-5+12i , -3+4i
4)-RESOLUTION DES EQUATIONS DE 2iémé DEGRES DANS
Soit à résoudre dans
l’équation az 2 + bz + c = 0 , où a, b et c sont trois complexes avec a  0 .
On pose :  = b2 − 4ac .
Soit  une racine carrée de  , alors l’équations admet deux solutions qui sont :
−b − 
−b + 
et z2 =
z1 =
2a
2a
Exemples :
1) ( E ) : z 2 + 2(1 − i) z − 2i = 0
2) ( E ) : z 2 + 2(1 + i) z + i = 0
Cas particulier : a, b et c sont réels.
Soit à résoudre dans
l’équation az 2 + bz + c = 0 , où a, b et c sont trois réels avec a  0 .
On pose :  = b2 − 4ac .
−b − 
−b + 
- Si Soit   0 alors l’équation admet deux solutions réelles : z1 =
et z2 =
2a
2a
−b
- Si Soit  = 0 alors l’équation admet une solution réelle : z =
2a
- Si Soit   0 alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :
−b − i −
−b + i −
et z2 = z1 =
z1 =
2a
2a
Exemple :
( E ) : 4 z 2 −12 z + 25 = 0
( E ') : z 2 + z + 1 = 0 z²+z+1=0
2
Propositions :
Soient a, b et c trois nombres complexes, avec a  0 .
Deux nombres complexes z1 et z2 (éventuellement égaux) vérifient les relations :
b
c
et z1  z2 = si et seulement si ce sont les racines de l’équation : az 2 + bz + c = 0 .
z1 + z2 = −
a
a
Toutes équations de 2iémé degrés dans admet deux solutions égales ou distincts
Exercice
Résoudre dans
les équations suivantes :
z²+3z+4 =0
, z²+4z+13 = 0 ,
z²-(5-14i)z-2(12+5i) = 0
Ⅲ - REPRESENTATION GEOMETRIQUE D’UN COMPLEXE
Le plan P munit d'un repère orthonormé (0, e1 , e 2 )
z  , !(a, b ) 
L'application
2
/ z = a + ib
→P
z M(z)(a,b) est une bijection de vers P
z= a+ib  M(z)(a,b)  OM = a e1 +b e 2
z est appelé affixe de M ou du vecteur OM
M est appelé point image de z
OM est appelé vecteur image de z
REMARQUES
1- M (z) et z =a+ib OM = a e1 +b e 2 et OM = a ² + b ² = z
2- L’affixe du vecteur MM ' avec M(z) et M'(z') est z'-z
et d(M,M')= MM ' = z − z ' = d (z , z ')
Ⅳ- ARGUMENT D’UN COMPLEXE NON NUL
P munit d'un repère orthonormé direct (O, OA , OB )
L'argument d'un complexe non nul z est la mesure de l'angle ( OA , OM )
Avec z l'affixe du point M qu'on note arg (z)
Arg(z) =   2   (OA ,OM ) =   2 
3
REMARQUES
1-Si arg(z) =  − ,   on le note Arg (z)
2- Si arg(z) =   2  et arg(z) =   2  alors k  /  − = 2k 
3-z=z'  z = z ' et arg(z) =arg(Z')  2 
4- Soient z,z' z" trois complexes /A(z), B(z') et C(z")
z '− z
) = (AC , AB )  2 
z "− z
z '− z
AB
=
z "− z
AC
donc z 0  / z 0 = 1 et z= z z0
Arg (
Soit z *
Si M0 (z0)  M0  C(O,1) cercle trigonométrique
D’où les coordonnées de M0 est le couple (Cos  , Sin  ) avec Arg (z) = 
c.à.d z0 = Cos  +i Sin 
on a z= z z0 = z (Cos  +i Sin  )
Cette forme est appelé forme trigonométrique
On écrit z = ( z , )
REMARQUES
a
b
et Sin =
a² + b ²
a² + b ²
2- Si z = ( R,  ) =(R' ,  ') alors R=R' et  =  '  2 
1- Z = a+ib  z = a ² + b ² , Cos =
Exemple :


3
Z= 1+i = ( 2, ) ,

2
Z= 1-i 3 = (2, ) , Z =-3i = (3 , - )
4
PROPRIETES
1- Si Z = (R,  ) et Z' = (R' ,  ') alors
ZZ' = (RR',  +  ')
1
= (R , − )
Z
n
2- On peut généraliser
n
n
k =1
k =1
et
Z
R
= ( , −  ')
Z ' R'
 z k = ( z k , k )
k =1
cas particulier
Z = ( z , n )
3-FORMULE DE MOIVRE : p  ,(cos ( ) + i sin ( )) p = cos ( p ) + i sin ( p )
n
n
4

5

(1+i)5 =  2,  = 4 2,  = −4 2 1, 
4
4 


 4
5
Exemple :
REMARQUE
Si Z=Cos  +i Sin  et p alors Z = Cos  -iSin 
p
Z Z =1 , Z p Z = 1 , Z+ Z =2Cos  , Z- Z =2i Sin 
p
p
Z p + Z = 2Cosp  et Z p − Z = 2i Sin p 
4-On sait que a  , e ia = Cosa + iSina
Donc z = z (Cos  + i Sin  )= z e i  avec arg z = 
Cette forme est appelée forme exponentielle de z
Exemple :
Z = 1+i = 2e
REMARQUE
i
4
, Z = 3-i 3 = 2 3 e
−i 
6
eit − e−it
eit + e−it
On a: cos ( t ) =
et sin ( t ) =
2
2i
ces formules s'appellent formules d'EULER
t 
, p  (Cost)p = (
e it + e −it p
e it − e −it p
) et (Sint)p = (
)
2
2i
eipt + e−ipt
eipt − e−ipt
et sin ( pt ) =
cos ( pt ) =
2
2i
EXERCICE
Donner en fonction de cos ( nt ) et sin ( nt ) les expressions suivantes :
A ( t ) = cos3 ( t ) et B ( t ) = sin 4 ( t ) .cos2 ( t )
Ⅳ- RACINE Niéme D UN COMPLEXE
Z = Rei ; z = R'ei ' avec Z
On dit que z est une racine n
z = R'ei et
'
c.à.d.

 0 ,n un entier naturel non nul
iéme
de Z ssi zn = Z
zn = Z
 R '= n R
R = R et n  '=   2   
'n

 2 k
 '= +
n
, k  0,..., n − 1
n
Corollaire
Tout complexe non nul Z avec Z = ( Z , ) admet n racine niéme.
z k = ( n Z ,k ) avec  k =
 + 2k 
n
, k  0,..., n − 1
Exemple :
Déterminer les racines 5iéme de Z avec
Cas particulier
Z = 1+i
Les racines n de l'unité sont (1,  k ) avec  k =
2k 
, k 0,..., n − 1
n
EXERCICE
Représenter graphiquement l'ensemble des complexe tel que
Z6 = 1 et Z8 = 1
5
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