Cours de maths - 1ère ES-L - Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques et géométriques
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I - Les suites arithmétiques
Définition 1: On appelle suite arithmétique
une suite définie par son premier terme et la relation de
récurrence :
Vocabulaire : Le nombre r est appelé raison de la suite arithmétique.
Suite arithmétique
On considère la suite
définie par :
.
est une suite arithmétique de premier terme
et de raison
.
Remarque : Elle décrit bien les phénomènes dont la variation absolue est constante au cours du temps,
comme l'évolution d'un compte bancaire à intérêts simples, c’est-à-dire lorsque les intérêts sont
calculés uniquement sur le capital.
Intérêts simples
Je place 100 € sur mon livret A au taux annuel de 2,25 % .
• 1er cas : Je retire mon argent au bout de 9 mois.
La banque calcule alors les intérêts (simples) que j'ai accumulés au cours de ces 9 mois.
La banque me versera 1,69 € d'intérêts au bout de 1 an (3 mois après le retrait de mon capital de 100 €).
• 2ème cas : Je retire mon argent au bout de 2 ans.
La banque calcule les intérêts (composés) que j'ai accumulés au cours de ces 2 ans.
La 1ère année :
donc au début de la 2ème année, mon capital est :
100 + 2,25 = 102,25 €
La 2ème année :
donc à la fin de la 2ème année, mon capital est :
102,25 + 2,30 = 104,55 €
La banque me versera 4,55 € d'intérêts au bout de 2 ans.
Propriété 1: • Soit
une suite arithmétique de raison r alors
• Une suite
Démonstration
.
de terme général
• u1  u0  r
u2  u1  r
ligne1
ligne 2
u3  u2  r
ligne 3
+   
un 1  un 2  r ligne n  1
un  un 1  r
est une suite arithmétique.
• Si
alors
et
Donc
est une suite arithmétique de
premier terme
et de raison
.
ligne n
u n  u0  n  r
Conséquence : Si (un ) est une suite arithmétique alors les points (n ; un ) sont alignés.
Représentation graphique d'une suite arithmétique
r 0
Soit
une suite arithmétique de premier terme
et de raison
.
donc
n
un
Les points
0
2
1
3
est strictement croissante.
2
4
3
5
4
6
5
7
appartiennent à la droite d'équation
.
Remarque : Une suite arithmétique caractérise une évolution linéaire.
Propriété 2: Soit
une suite arithmétique de raison r .
II - Les suites géométriques
Définition 2: On appelle suite géométrique
une suite définie par son premier terme et la relation de
récurrence :
Vocabulaire : Le nombre q est appelé raison de la suite géométrique.
Suite géométrique
On considère la suite
définie par :
est une suite géométrique de premier terme
Propriété 3: Soit
une suite géométrique de raison
.
et de raison
alors
.
.
Démonstration
Remarque : Elle décrit bien les phénomènes dont la variation relative est constante au cours du temps,
comme l'évolution d'un compte bancaire à intérêts composés, c’est-à-dire lorsque les intérêts sont
calculés sur un capital dont la valeur change au cours du temps.
Intérêts composés
Je place 100 € sur un compte épargne au taux annuel de 5 % .
• Je retire mon argent au bout de 4 ans.
La banque calcule les intérêts (composés) que j'ai accumulés au cours de ces 4 ans.
La 1ère année :
donc au début de la 2ème année, mon capital est : 100 + 5 = 105 €
La 2ème année :
donc à la fin de la 3ème année, mon capital est : 105 + 5,25 = 110,25 €
La 3ème année :
donc au début de la 4ème année, mon capital est :115,7625 €
La 4ème année :
donc à la fin de la 4ème année, mon capital est :121,550625 €
La banque me versera 121,55 € au total au bout de 4 ans.
• Avec une suite géométrique.
On considère la suite géométrique
de premier terme
et de raison
.
ou bien, on a directement
Représentation graphique d'une suite géométrique (q > 0)
Soit
n
vn
telle que
0
1
1
2
2
4
et
3
8
4
16
.
5
32
Soit
n
wn
telle que
0
24
q 1
La suite
1
12
et
2
6
3
3
.
4
5
1,5 0,75
1 q  0
est croissante.
La suite
est décroissante.
Remarque : Une suite géométrique caractérise une évolution exponentielle.
Propriété 4: Soit
une suite géométrique de raison
alors
.