Suites arithmétiques et géométriques www.mathmaurer.com – Cours – 1ère ES-L I - Les suites arithmétiques Définition 1: On appelle suite arithmétique une suite définie par son premier terme et la relation de récurrence : Vocabulaire : Le nombre r est appelé raison de la suite arithmétique. Suite arithmétique On considère la suite définie par : . est une suite arithmétique de premier terme et de raison . Remarque : Elle décrit bien les phénomènes dont la variation absolue est constante au cours du temps, comme l'évolution d'un compte bancaire à intérêts simples, c’est-à-dire lorsque les intérêts sont calculés uniquement sur le capital. Intérêts simples Je place 100 € sur mon livret A au taux annuel de 2,25 % . • 1er cas : Je retire mon argent au bout de 9 mois. La banque calcule alors les intérêts (simples) que j'ai accumulés au cours de ces 9 mois. La banque me versera 1,69 € d'intérêts au bout de 1 an (3 mois après le retrait de mon capital de 100 €). • 2ème cas : Je retire mon argent au bout de 2 ans. La banque calcule les intérêts (composés) que j'ai accumulés au cours de ces 2 ans. La 1ère année : donc au début de la 2ème année, mon capital est : 100 + 2,25 = 102,25 € La 2ème année : donc à la fin de la 2ème année, mon capital est : 102,25 + 2,30 = 104,55 € La banque me versera 4,55 € d'intérêts au bout de 2 ans. Propriété 1: • Soit une suite arithmétique de raison r alors • Une suite Démonstration . de terme général • u1 u0 r u2 u1 r ligne1 ligne 2 u3 u2 r ligne 3 + un 1 un 2 r ligne n 1 un un 1 r est une suite arithmétique. • Si alors et Donc est une suite arithmétique de premier terme et de raison . ligne n u n u0 n r Conséquence : Si (un ) est une suite arithmétique alors les points (n ; un ) sont alignés. Représentation graphique d'une suite arithmétique r 0 Soit une suite arithmétique de premier terme et de raison . donc n un Les points 0 2 1 3 est strictement croissante. 2 4 3 5 4 6 5 7 appartiennent à la droite d'équation . Remarque : Une suite arithmétique caractérise une évolution linéaire. Propriété 2: Soit une suite arithmétique de raison r . II - Les suites géométriques Définition 2: On appelle suite géométrique une suite définie par son premier terme et la relation de récurrence : Vocabulaire : Le nombre q est appelé raison de la suite géométrique. Suite géométrique On considère la suite définie par : est une suite géométrique de premier terme Propriété 3: Soit une suite géométrique de raison . et de raison alors . . Démonstration Remarque : Elle décrit bien les phénomènes dont la variation relative est constante au cours du temps, comme l'évolution d'un compte bancaire à intérêts composés, c’est-à-dire lorsque les intérêts sont calculés sur un capital dont la valeur change au cours du temps. Intérêts composés Je place 100 € sur un compte épargne au taux annuel de 5 % . • Je retire mon argent au bout de 4 ans. La banque calcule les intérêts (composés) que j'ai accumulés au cours de ces 4 ans. La 1ère année : donc au début de la 2ème année, mon capital est : 100 + 5 = 105 € La 2ème année : donc à la fin de la 3ème année, mon capital est : 105 + 5,25 = 110,25 € La 3ème année : donc au début de la 4ème année, mon capital est :115,7625 € La 4ème année : donc à la fin de la 4ème année, mon capital est :121,550625 € La banque me versera 121,55 € au total au bout de 4 ans. • Avec une suite géométrique. On considère la suite géométrique de premier terme et de raison . ou bien, on a directement Représentation graphique d'une suite géométrique (q > 0) Soit n vn telle que 0 1 1 2 2 4 et 3 8 4 16 . 5 32 Soit n wn telle que 0 24 q 1 La suite 1 12 et 2 6 3 3 . 4 5 1,5 0,75 1 q 0 est croissante. La suite est décroissante. Remarque : Une suite géométrique caractérise une évolution exponentielle. Propriété 4: Soit une suite géométrique de raison alors .