1ère ST2S SUITES 3/6 1) Suite numérique Une suite numérique est une liste de nombres réels appelés termes, ceux-ci étant donnés dans un ordre précis donné par un entier naturel appelé rang. Le rang débute en général à 0 ou à 1. Exemples : La température d’un patient est mesurée et les résultats dans l’ordre sont : 37,2 ° ; 37,3° ; 37,5° ; 37,5° ; 37,4 °. On peut alors définir une suite des températures que l’on note u dont les termes sont notés : u0 = 37,2 ° ; u1 = 37,3° ; u2 = 37,5° ; u3 = 37,5° ; u4 = 37,4 °. Attention, dans ce cas, le terme de rang 3 est le quatrième terme puisque la numérotation débute à 0. (u0 est le terme initial) La présence d’un médicament a été mesurée heure par heure ; les résultats sont exprimés en pourcentage : 0,5 % ; 0,49 % ; 0,48 % ; 0,475 % ; 0,4 % ; 0,02 %. On peut alors définir une suite des pourcentages que l’on note v dont les termes sont notés : v1 = 0,5 % ; v2 = 0,49 % ; v3 = 0,48 % ; v4 = 0,475 % ; v5 = 0,4 % ; v6 = 0,02 %. Dans ce cas, le terme de rang 3 est le troisième terme : la numérotation commence à 1. (u1 est le terme initial) 2) Suites arithmétiques Soit a, u0 et u1 des nombres réels. Une suite u de premier terme u0 est arithmétique de raison a lorsque pour tout entier naturel n, on a : un+1 = un + a. Une suite u de premier terme u1 est arithmétique de raison a lorsque pour tout entier naturel n ≠ 0, on a : un+1 = un + a. Autrement dit : le terme suivant est obtenu en additionnant a au précédent. u0 +a u1 +a u2 +a u3 +a u4 Exemple : Anthony a 200 € sur son compte courant, chaque mois, ses parents lui virent 20 €. Les montants successifs constituent alors une suite arithmétique : u0 = 200 ; u1 = u0 + 20 = 200 + 20 = 220 ; u2 = u1 + 20 = 240 ; u3 = 260 ; u4 = 280 etc… . La suite arithmétique u a pour raison 20 et pour premier terme u0 = 200. (cas des intérêts simples) On peut exprimer directement le terme d’une suite arithmétique en fonction de son premier terme, de sa raison, et de n (ce qui permet de calculer le « n-ième » terme sans calculer tous les précédents) : Lorsque le premier terme est u0 alors : un = u0 + n a. Lorsque le premier terme est u1 alors : un = u1 + (n – 1) a. 1 1ère ST2S SUITES 3/6 3) Représentation graphique Pour représenter une suite définie par le terme un, on place les points de coordonnées (n ; un). Si une suite est arithmétique alors les points la représentant sont situés sur une même droite de coefficient directeur la raison a et d’ordonnée à l’origine le premier terme de cette suite. Réciproquement, lorsque tous les points représentant une suite sont situés sur une même droite alors cette suite est arithmétique. Lorsque a est positif alors la droite « monte » et on a une croissance linéaire. Lorsque a est négatif alors la droite « descend » et on a une décroissance linéaire. Lorsque a = 0 alors la droite est horizontale : la suite est constante. Exemple : La suite arithmétique u qui a pour raison 2 et premier terme u0 = – 1. y 6 Equation de la droite : 5 u3 y = 2x – 1 4 3 u2 2 u1 -4 -3 -2 1 -1 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x u0 -2 2 1ère ST2S SUITES 3/6 4) Suites géométriques Soit q, u0 et u1 des nombres réels. Une suite u de premier terme u0 est géométrique de raison q lorsque pour tout entier naturel n, on a : un+1 = q un. Une suite u de premier terme u1 est arithmétique de raison a lorsque pour tout entier naturel n ≠ 0, on a : un+1 = q un. Autrement dit : le terme suivant est obtenu en multipliant le précédent par q. u0 ×q u1 ×q u2 ×q u3 ×q u4 Exemple : Anthony a 200 € sur son livret d’épargne, chaque année, ses parents lui virent 10 % de la somme présente sur le livret. Les montants successifs constituent alors une suite géométrique de raison q qui est le coefficient multiplicatif (voir chapitre sur les pourcentages) : q = 1 + t = 1 + 10/100 = 1,1 : u0 = 200 ; u1 = u0 × 1,1 = 200 × 1,1 = 220 ; u2 = u1 × 1,1 = 220 × 1,1 = 242 ; u3 = 242 × 1,1 = 266,2 ; u4 = 292,82 etc… . La suite géométrique u a pour raison 1,1 et pour premier terme u0 = 200 (cas des intérêts composés) On peut exprimer directement le terme d’une suite géométrique en fonction de son premier terme, de sa raison q, et de n (ce qui permet de calculer le « n-ième » terme sans calculer tous les précédents) : Lorsque le premier terme est u0 alors : un = u0 × q n . Lorsque le premier terme est u1 alors : un = u1 × q n–1. 5) Représentation graphique Soit une suite u géométrique de raison q et de premier terme u0 tous deux positifs. Si 0 < q < 1 alors les points la représentant sont situés sur une courbe dite « exponentielle décroissante». Si q = 1 alors les points la représentant sont situés sur une droite horizontale. Si q > 1 alors les points la représentant sont situés sur une courbe dite « exponentielle croissante». 3 1ère ST2S SUITES 3/6 Exemple : La suite géométrique u qui a pour raison 2 et premier terme u0 = 1. y u3 8 7 6 5 u2 4 3 u1 2 1 u0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x -1 4