Le cours - Playmaths

Suites numériques Partie 2
Ex 1 à 5 p.174
Ex 25-26-30-31-35-37 p.175-176
I.
Suites arithmétiques
1) Définition
Une suite (un) est arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que, pour tout nombre entier
naturel n, on ait :
un+1 = un + r.
r est appelé la raison de la suite arithmétique.
Exemples :
 Soit (un) la suite arithmétique de premier terme 7 et de raison –2.
Ses premiers termes sont tels que :
u0 = 7 ; u1 = 7 – 2 = 5 ; u 2 = 5 – 2 = 3 ; …
 La suite des nombres entiers naturels ( 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; …) est une suite arithmétique,
son premier terme est 0, sa raison est 1.
 La suite des nombres entiers impairs ( 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; … ) est une suite arithmétique de
premier terme 1, et de raison 2.
Remarque :
Une suite arithmétique est déterminée par la donnée de son premier terme u0
(éventuellement u1) et de sa raison r.
2) Calcul de un en fonction de n
Propriété :
Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r est :
un = u0 + n r
Remarques :
 Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1 + ( n - 1 ) r.
 Soient m et n deux entiers : un = um + (n – m) r.
Exemple :
 Si ( un) est la suite de premier terme u0 avec u0 = 7 et de raison –2, on a :
un = 7 – 2n
On retrouve ainsi : u4 = 7 – 4  2 = 7 – 8 = -1.
On a rapidement : u50 = 7 – 100 = - 93.
 Si (vn) désigne la suite des nombres impairs ( v0 = 1 ; v1 = 3 ; v2 = 5 ; … ).
Son premier terme étant 1 et sa raison 2, on a :
vn = 1 + 2n pour le (n+1)ième nombre impair.
Ex 40-41- …- 46 p.177
Ex 48 p.177
3) Variations
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
Si r > 0, la suite est croissante.
Si r < 0, la suite est décroissante.
Si r = 0, la suite est constante.
Dem :
Un+1 – un = r
4) Représentation graphique
Les points de la représentation graphique d’une suite arithmétique sont alignés.
Ex 47-49-50 p.177
II. Suites géométriques
1) Définition
Une suite (un) est géométrique s’il existe un nombre réel q tel que, pour tout nombre entier
naturel n, on ait :
un+1 = q un.
q est appelé la raison de la suite géométrique.
Remarque :
Une suite géométrique est déterminée par la donnée de son premier terme u0
( éventuellement u1) et de sa raison q.
Exemples :
 Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 avec u0 = 12 et de raison Error!. Ses
1
1
1
premiers termes sont u0 = 12 ; u1 =  12 = 6 ; u2 =  6 =3 ; u3 =  3 =Error!; …
2
2
2
 La suite géométrique (vn) de premier terme v0 tel que v0 = 12 et de raison –Error! est
telle que : v0 = 12 ; v1 = -6 ; v3 = 3 ; v4 = - Error!; …
 La suite des puissances entières de 2 : ( 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; … ; 2n ; … ) est une suite
géométrique de premier terme 1 et de raison 2.
2) Calcul de un en fonction de n
Propriété :
Le terme général d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q est :
un = u0  qn
Remarques :
Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1  qn 1 .
Soient m et n deux entiers : um = un  qmn .
Exemple :
Si (un) est la suite de premier terme u0 avec u0 = 12 et de raison Error!, on a :
1
un = 12   
2
n
3
1
1
On retrouve ainsi : u3 = 12    = 12  = Error!
8
2
Ex 54-55- …. P.177
Ex 61-62-65 p.177
3) Sens de variation
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme strictement positif.
Si q > 1, la suite est strictement croissante.
Si 0 < q < 1, la suite est strictement décroissante.
Ex 63 p.177
4) Représentation graphique
Exemples :
Ex 60-66 p.177
Algorithmes et calculatrice ex 14 à 19 p.175
Sujets bac avec algorithmes