Suites arithmétiques et géométriques - Cours 1ère ES-L

I - Les suites arithmétiques
Vocabulaire : Le nombre r est appelé raison de la suite arithmétique.
Remarque : Elle décrit bien les phénomènes dont la variation absolue est constante au cours du temps,
comme l'évolution d'un compte bancaire à intérêts simples, c’est-à-dire lorsque les intérêts sont
calculés uniquement sur le capital.
Conséquence : Si
()
n
u
est une suite arithmétique alors les points
( ; )
n
nu
sont alignés.
Démonstration
1
u0
2
ligne1ur
u
1
u
3
ligne2r
u
2
u ligne3r
1n
u2n u
1
ligne 1
nn
rn
uu
0
ligne
n
rn
u u n r
Suites arithmétiques et géométriques
www.mathmaurer.com – Cours – 1ère ES-L
Définition 1: On appelle suite arithmétique une suite définie par son premier terme et la relation de
récurrence :
Suite arithmétique
On considère la suite définie par : .
est une suite arithmétique de premier terme et de raison .
Intérêts simples
Je place 100 € sur mon livret A au taux annuel de 2,25 % .
• 1er cas : Je retire mon argent au bout de 9 mois.
La banque calcule alors les intérêts (simples) que j'ai accumulés au cours de ces 9 mois.
La banque me versera 1,69 € d'intérêts au bout de 1 an (3 mois après le retrait de mon capital de 100 €).
• 2ème cas : Je retire mon argent au bout de 2 ans.
La banque calcule les intérêts (composés) que j'ai accumulés au cours de ces 2 ans.
La 1ère année : donc au début de la 2ème année, mon capital est :
100 + 2,25 = 102,25 €
La 2ème année : donc à la fin de la 2ème année, mon capital est :
102,25 + 2,30 = 104,55 €
La banque me versera 4,55 € d'intérêts au bout de 2 ans.
Propriété 1: • Soit une suite arithmétique de raison r alors .
• Une suite de terme général est une suite arithmétique.
+
• Si alors
et
Donc est une suite arithmétique de
premier terme et de raison .
•

Remarque : Une suite arithmétique caractérise une évolution linéaire.
II - Les suites géométriques
Vocabulaire : Le nombre q est appelé raison de la suite géométrique.
Remarque : Elle décrit bien les phénomènes dont la variation relative est constante au cours du temps,
comme l'évolution d'un compte bancaire à intérêts composés, c’est-à-dire lorsque les intérêts sont
calculés sur un capital dont la valeur change au cours du temps.
Représentation graphique d'une suite arithmétique
Soit une suite arithmétique de premier terme
et de raison .
donc est strictement croissante.
n
0
1
2
3
4
5
un
2
3
4
5
6
7
Les points appartiennent à la droite d'équation .
Propriété 2: Soit une suite arithmétique de raison r .
0r
Définition 2: On appelle suite géométrique une suite définie par son premier terme et la relation de
récurrence :
Suite géométrique
On considère la suite définie par : .
est une suite géométrique de premier terme et de raison .
Propriété 3: Soit une suite géométrique de raison alors .
Démonstration

Remarque : Une suite géométrique caractérise une évolution exponentielle.
Représentation graphique d'une suite géométrique (q > 0)
Soit telle que et .
n
0
1
2
3
4
5
vn
1
2
4
8
16
32
La suite est croissante. La suite est décroissante.
Intérêts composés
Je place 100 € sur un compte épargne au taux annuel de 5 % .
• Je retire mon argent au bout de 4 ans.
La banque calcule les intérêts (composés) que j'ai accumulés au cours de ces 4 ans.
La 1ère année : donc au début de la 2ème année, mon capital est : 100 + 5 = 105 €
La 2ème année : donc à la fin de la 3ème année, mon capital est : 105 + 5,25 = 110,25 €
La 3ème année : donc au début de la 4ème année, mon capital est :115,7625 €
La 4ème année :
donc à la fin de la 4ème année, mon capital est :121,550625 €
La banque me versera 121,55 € au total au bout de 4 ans.
• Avec une suite géométrique.
On considère la suite géométrique de premier terme et de raison .
ou bien, on a directement
Propriété 4: Soit une suite géométrique de raison alors .
Soit telle que et .
n
0
1
2
3
4
5
wn
24
12
6
3
1,5
0,75
1q
10q