Exercices - Sommes, produits, coefficients binomiaux

SOMMES, PRODUITS, COEFFICIENTS BINOMIAUX
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Soient (ak )1¶k¶n , (bk )1¶k¶n et (zi j )1¶i¶m deux fa-
1
milles de nombres complexes, λ ∈ C et p ∈ N.
1) Sans justification, les relations suivantes sontelles vraies ou fausses en général ?
n
n
n
X
X
X
a)
(ak + bk ) =
ak +
bk .
k=1
b)
c)
n
X
a k bk =
k=1
n
X
n
X
k=1
ak ×
k=1
n
X
λak = λ
k=1
n
X
k=1
ak .
d)
k=1
ak
k=1
Œp
=
n
X
xk = . . .
k=0
— dériver des deux côtés,
— évaluer en 2 et conclure.
Cette technique de calcul est importante, nous
en aurons souvent besoin au deuxième semestre.
À retenir dès maintenant !
Retrouver le résultat de la question 1) en
2)
calculant
de deux façons différentes la somme
X
2j.
k=1
bk .
‚ n
X
n
X
— compléter d’abord l’égalité :
1¶ j¶n
p
ak .
0¶i< j¶n
3)
k=1
2) X
Reprendre laY
question 1) en remplaçant tous les
par des
.
n
X
3) Transformer
ln ak sous l’hypothèse que ak > 0
Adapter la technique de la question 1)
n
X
au calcul de la somme
k 2 3k .
k=0
————————————–
k=1
pour tout k ∈ ¹1, nº.
m
n Y
n
m X
X
Y
zi j ?
zi j =
4) Est-il vrai que :
6
Étudier la monotonie des suites (un )n∈N∗ et (vn )n∈N∗
définies pour tout n ∈ N∗ par :
j=1 i=1
i=1 j=1
2n
X
1
un =
k
k=n+1
————————————–
1
Simplifier les sommes suivantes :
n+1
n
n
X
X
X
2i
1)
(2 j − 1).
i(i
−
1).
3)
.
2)
32i−1
i=1
j=1
i=0
X
X
X
i
x i+ j . 6)
(i+ j). 5)
.
4)
j+1
1¶i¶ j¶n
0¶i, j¶n
1¶i< j¶n
X
X
X i2
7)
( j−i). 8)
(i+ j)2 . 9)
.
j
1¶i¶ j¶n
1¶i, j¶n
1¶i¶ j¶n
‹

n
X
X
¦ ©
1
max i, j . 11)
ln 1 − 2 .
10)
k
1¶i, j¶n
k=2
k=1
k
2n
X
(−1)k−1
k
k=1
9
ainsi l’expression de
2) Adapter au calcul de
n
X
1
¶ 2.
k2
k=1
n ∈ N∗ :
1)
Montrer par récurrence que pour tout
n
X
3n
1
.
¾
2
k
2n + 1
k=1
————————————–
2
PRODUITS
2
k pour tout n ∈ N.
10
————————————–
5
1)
Simplifier les produits suivants :
n
Y
Y
Y
2
i j.
x i+ j . 3)
(−5)k −k . 2)
4)
2k k en suivant pas à pas les
n
Y
k=1
k=0
indications suivantes :
1¶i, j¶n
1¶i, j¶n
k=1
Simplifier
k=1
1
.
n+k
En déduire que pour tout n ∈ N∗ :
b)
k=0
n
X
n
X
1
1
1
¶
− .
k2
k−1 k
k vue en cours.
k=0
n
X
=
Montrer que pour tout k ¾ 2 :
1) a)
1) Pour tout n ∈ N, simplifier de deux façons diffén €
X
Š
rentes la somme
(k + 1)2 − k2 et retrouver
n
X
n
.
2
————————————–
2)
k=0
¾
Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N∗ :
8
Montrer que pour tout n ∈ N :

‹
n
X
n(n + 1) 2
1)
k3 =
.
2
k=0
n
X
n(n + 1)
.
2)
(−1)k k2 = (−1)n
2
k=0
Soit n ∈ N.
.
————————————–
————————————–
4
k
Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N :
2n
X
1
————————————–
3
k=n
————————————–
SOMMES
7
2
vn =
et
2n
X
1
4k2 − 1 .
5)
Y
i j.
6)
1¶i, j¶n
————————————–
1
p
n−1 X
Y
p=0 k=0
2 p!k .
SOMMES, PRODUITS, COEFFICIENTS BINOMIAUX
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
11
3
Montrer SANS RÉCURRENCE que pour tout n ∈ N∗ :
2
n−1
¶ n! ¶ n
n−1
.
————————————–
12
P=
Soient z ∈ C et n ∈ N. On pose :
18
n €
Y
Š
k
1 + z2 .
k=0
19
Calculer (1 − z)P et en déduire une expression simple
de P.
Montrer par récurrence, puis sans récurrence, que pour
tout n ∈ N∗ :
n
Y
(2n + 1)!
(2k + 1) =
1)
.
2n n!
k=0
n
n−1
Y
n! Y k
=
k .
2)
k! k=1
k=0
1+
20
1) Simplifier pour tout n ∈ N la somme
2)
n ∈ N∗ :
1
k2
.
¶
k2
(k − 1)(k + 1)
21
22
1) Montrer que pour tout n ∈ N :
23
(2k + 1)! ¾ (n!)n .
k=0
∗
Montrer que pour tous n ∈ N et x 1 , . . . , x n ∈ [0, 1] :
k=1
n
X
24
Montrer par récurrence sur n que pour tous
‹
‹ 
n 
X
p+n+1
p+k
.
n, p ∈ N :
=
p+1
p
k=0
Montrer que pour tous a, b ∈ R∗+ et n ∈ N :
‹

a n
b n
1+
¾ 2n+1 .
+ 1+
b
a
xk.
k=1
————————————–
17
∗
Simplifier
‹ pour tous n ∈ N et k ∈ ¹0, n − 1º le

n
k+1
quotient  ‹ , puis le comparer à 1. Qu’en déduitn
k
on ?
————————————–
————————————–
(1 − x k ) ¾ 1 −
 ‹
n
X
(−1)k n
.
k+1 k
k=0
————————————–
2) En déduire par récurrence que pour tout n ∈ N∗ :
n
Y
Simplifier pour tout n ∈ N la somme
————————————–
(2n + 1)!
¾ (n + 1)n .
(n + 1)!
16
k:
————————————–
Montrer par récurrence que pour tout
‹
n 
Y
1
1
1+ 3 ¶ 3− .
k
n
k=1
n−1
Y
k
a) au moyen de la formule d’absorption.
b) en dérivant de deux façons différentes la fonction x 7−→ (x + 1)n .
2) En utilisant au choix l’une des stratégies de la
question 1), simplifier pour tout n ∈ N la somme
n  ‹
X
n 2
k .
k
k=0
————————————–
15
n  ‹
X
n
k=0
En déduire que pour tout n ∈ N∗ :
‹
n 
Y
1
1 + 2 ¶ 4.
k
k=1
b)
En considérant (1+1)n et ‹
(1−1)n , calculer
pour
X n‹
X n
∗
, que
et
tout n ∈ N les sommes
k
k
1¶k¶n
1¶k¶n
————————————–
Montrer que pour tout k ¾ 2 :
1) a)
‹
2n
est pair pour tout n ∈ N∗ .
Montrer que
n
————————————–

k impair
X n‹
X  n ‹
l’on note aussi respectivement
et
.
2k
2k + 1
0¶2k¶n
0¶2k+1¶n
————————————–
14
BINOMIAUX
k pair
————————————–
13
COEFFICIENTS
————————————–
1) Factoriser k3 −1 par k −1 et k3 +1 par k +1 pour
tout k ¾ 2.
n
Y
k3 − 1
2) En déduire une simplification du produit
k3 + 1
k=2
pour tout n ¾ 2. On pourra s’efforcer de faire apparaître une simplification télescopique.
n
Y
k3 − 1
,
3) En déduire l’existence et la valeur de lim
n→+∞
k3 + 1
k=2
+∞ 3
Y
k −1
.
que l’on note aussi
k3 + 1
k=2
————————————–
2