Exercices - Sommes, produits, coefficients binomiaux

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI SOMMES,PRODUITS,COEFFICIENTS BINOMIAUX
1Soient (ak)1¶k¶n,(bk)1¶k¶net (zi j )1¶i¶m
1¶j¶n
deux fa-
milles de nombres complexes, λ∈Cet p∈N.
1) Sans justification, les relations suivantes sont-
elles vraies ou fausses en général ?
a)
n
X
k=1
(ak+bk) =
n
X
k=1
ak+
n
X
k=1
bk.
b)
n
X
k=1
akbk=
n
X
k=1
ak×
n
X
k=1
bk.
c)
n
X
k=1
λak=λ
n
X
k=1
ak.d) n
X
k=1
akp
=
n
X
k=1
ap
k.
2) Reprendre la question 1) en remplaçant tous les
Xpar des Y.
3) Transformer
n
X
k=1
ln aksous l’hypothèse que ak>0
pour tout k∈¹1, nº.
4) Est-il vrai que :
m
Y
i=1
n
X
j=1
zi j =
n
X
j=1
m
Y
i=1
zi j ?
————————————–
1 SOMMES
2Simplifier les sommes suivantes :
1)
n+1
X
i=1
2i
32i−1.2)
n
X
i=0
i(i−1).3)
n
X
j=1
(2j−1).
4) X
1¶i<j¶n
(i+j).5) X
0¶i,j¶n
xi+j.6) X
1¶i¶j¶n
i
j+1.
7) X
1¶i¶j¶n
(j−i).8) X
1¶i,j¶n
(i+j)2.9) X
1¶i¶j¶n
i2
j.
10) X
1¶i,j¶n
max ¦i,j©.11)
n
X
k=2
ln1−1
k2.
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3Montrer que pour tout n∈N:
1)
n
X
k=0
k3=n(n+1)
22
.
2)
n
X
k=0
(−1)kk2= (−1)nn(n+1)
2.
————————————–
41) Pour tout n∈N, simplifier de deux façons diffé-
rentes la somme
n
X
k=0(k+1)2−k2et retrouver
ainsi l’expression de
n
X
k=0
kvue en cours.
2) Adapter au calcul de
n
X
k=0
k2pour tout n∈N.
————————————–
5Soit n∈N.
1) Simplifier
n
X
k=0
2kken suivant pas à pas les
indications suivantes :
— compléter d’abord l’égalité :
n
X
k=0
xk=...
— dériver des deux côtés,
— évaluer en 2 et conclure.
Cette technique de calcul est importante, nous
en aurons souvent besoin au deuxième semestre.
À retenir dès maintenant !
2) Retrouver le résultat de la question 1) en
calculant de deux façons différentes la somme
X
0¶i<j¶n
2j.
3) Adapter la technique de la question 1)
au calcul de la somme
n
X
k=0
k23k.
————————————–
6Étudier la monotonie des suites (un)n∈N∗et (vn)n∈N∗
définies pour tout n∈N∗par :
un=
2n
X
k=n+1
1
ket vn=
2n
X
k=n
1
k.
————————————–
7Montrer par récurrence que pour tout n∈N:
2n
X
k=1
1
k¾n 2.
————————————–
8Montrer par récurrence que pour tout n∈N∗:
2n
X
k=1
(−1)k−1
k=
n
X
k=1
1
n+k.
————————————–
91) a) Montrer que pour tout k¾2 :
1
k2¶1 k−1−1 k.
b) En déduire que pour tout n∈N∗:
n
X
k=1
1
k2¶2.
2) Montrer par récurrence que pour tout
n∈N∗:
n
X
k=1
1
k2¾3n 2n+1.
————————————–
2 PRODUITS
10 Simplifier les produits suivants :
1)
n
Y
k=1
(−5)k2−k.2) Y
1¶i,j¶n
xi+j.3) Y
1¶i,j¶n
ij.
4)
n
Y
k=14k2−1.5) Y
1¶i,j¶n
i j.6)
n−1
Y
p=0
p
X
k=0
2p!k.
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1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI SOMMES,PRODUITS,COEFFICIENTS BINOMIAUX
11 Montrer SANS RÉCURRENCE que pour tout n∈N∗:
2n−1¶n!¶nn−1.
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12 Soient z∈Cet n∈N. On pose : P=
n
Y
k=01+z2k.
Calculer (1−z)Pet en déduire une expression simple
de P.
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13 Montrer par récurrence, puis sans récurrence, que pour
tout n∈N∗:
1)
n
Y
k=0
(2k+1) = (2n+1)!
2nn!.
2)
n−1
Y
k=0
n!
k!=
n
Y
k=1
kk.
————————————–
14 1) a) Montrer que pour tout k¾2 :
1+1
k2¶k2 (k−1)(k+1).
b) En déduire que pour tout n∈N∗:
n
Y
k=11+1
k2¶4.
2) Montrer par récurrence que pour tout
n∈N∗:
n
Y
k=11+1
k3¶3−1 n.
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15 1) Montrer que pour tout n∈N:
(2n+1)!
(n+1)!¾(n+1)n.
2) En déduire par récurrence que pour tout n∈N∗:
n−1
Y
k=0
(2k+1)!¾(n!)n.
————————————–
16 Montrer que pour tous n∈N∗et x1,...,xn∈[0,1]:
n
Y
k=1
(1−xk)¾1−
n
X
k=1
xk.
————————————–
17 1) Factoriser k3−1 par k−1 et k3+1 par k+1 pour
tout k¾2.
2) En déduire une simplification du produit
n
Y
k=2
k3−1
k3+1
pour tout n¾2. On pourra s’efforcer de faire ap-
paraître une simplification télescopique.
3) En déduire l’existence et la valeur de lim
n→+∞
n
Y
k=2
k3−1
k3+1,
que l’on note aussi
+∞
Y
k=2
k3−1
k3+1.
————————————–
3 COEFFICIENTS BINOMIAUX
18 Montrer que 2n
nest pair pour tout n∈N∗.
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19 En considérant (1+1)net (1−1)n, calculer pour
tout n∈N∗les sommes X
1¶k¶n
kpair n
ket X
1¶k¶n
kimpair n
k, que
l’on note aussi respectivement X
0¶2k¶nn
2ket X
0¶2k+1¶nn
2k+1.
————————————–
20
1) Simplifier pour tout n∈Nla somme
n
X
k=0n
kk:
a) au moyen de la formule d’absorption.
b) en dérivant de deux façons différentes la fonc-
tion x7−→ (x+1)n.
2) En utilisant au choix l’une des stratégies de la
question 1), simplifier pour tout n∈Nla somme
n
X
k=0n
kk2.
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21 Simplifier pour tout n∈Nla somme
n
X
k=0
(−1)k
k+1n
k.
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22 Simplifier pour tous n∈N∗et k∈¹0, n−1ºle
quotient n
k+1
n
k, puis le comparer à 1. Qu’en déduit-
on ?
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23 Montrer par récurrence sur nque pour tous
n,p∈N:
n
X
k=0p+k
p=p+n+1
p+1.
————————————–
24 Montrer que pour tous a,b∈R∗
+et n∈N:
1+a
bn
+1+b
an
¾2n+1.
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2