devoir surveille logique

R
1E
BAC SM
G S : Alfallah 3
Devoir surveillé N°1
22 / 10 / 2018
Prof : M-ALLAT
2h
Exércice 1 : 7 pts
1) Exprimer les propositions suivantes en utilisant les connécteurs logiques et les quantificateurs :
a) l’équation
21 0x x  
admet au moins une solution réelle supérieure à
3
2
.
b) pour qu’un nombre réel
x
soit supérieur à
1
il suffit que son cube soit superieur à
2
.
c) on peut trouver un nombre rationnel compris entre
5
et
7
.
2) soit
P
la proposition :
2 2
" 0 "x y x xy y       
a) Détérminer
P
la négation de la proposition
P
.
b) En déduire que la proposition
P
est fausse .
3) montrer en utilisant un raisonnement par contraposée que :
2
" , : 0 2 2 "x y xy x y x y        ou
Exércice 2 : 8 pt
1) soit
P
la proposition :
"x 
:
2
3 3
1 5 6 2"
2 4
x x x
a) montrer que la proposition
P
est vraie .
b) détérminer
P
la négation de la proposition
P
.
2) montrer en utilisant un raisonnement par disjonction des cas que :
4 2
4 16n divise n n   
. ( on pourra discuter les cas :
n
pair et impair )
3) montrer en utilisant un raisonnement par équivalences succéssives que :
2
2
* * 1
1y x
x y x y
x y
4) a) Résoudre dans
:
1 2 7x x  
b) Résoudre dans
:
1 2 7x x  
Exércice 3 : 6 pts
1) Montrer par récurrence que :
2
1
1 2 1 2 3
2 1 3
n
k
nnn
n k
2) a) montrer que
3 2
3, 2 3 3 1 0x x x x       
.
( Indication :
3 2 3
2 3
3 3 1
2 3 3 1 2x x x x x x x
)
b) en déduire que pour tout entier naturel
3n
on a
3
3
3 1n n 
.
c) montrer par récurrence que :
3
3 : 3n n n  
.
3) Soient
p
et
q
et
r
trois propositions .
Montrer par l’absurde que
p ou q p q q  
est une loi logique .