suite-exercice-series-numeriques

1
TP
MATHEMATIQUES SERIES NUMERIQUES
www.tifawt.com
Exercices
Exercice n°1 :
u1 = 1/ 3
un

∗
On considère la suite définie pour tout n ∈ N , par 
n + 1 . On pose, pour tout n ∈ N , vn =
n
un +1 = 3n un

∗
1) Montrer que ( vn ) est une suite géométrique.
2) Exprimer vn en fonction de n .
3) En déduire l’expression de un en fonction de n .
n
4) Soit la série Sn = ∑ vk . Calculer Sn en fonction de n et montrer que la suite Sn est convergente.
k =1
Exercice 2 :
On considère la suite définie pour tout n ∈ N ∗ , par un =
an
où a une constante réelle quelconque.
nα
Etudier la convergence de la suite (un ) .
Exercice 3 :
Soit n un entier naturel, n ≥ 2 , on considère la série de terme général un =
4
n −1
2
1) Montrer que cette série est convergente.
2) Déterminer les réels a et b tels que :
n
3) En déduire que : ∑ uk = 3 −
k =2
4
a
b
=
+
n −1 n −1 n +1
2
4n + 2
n(n + 1)
4) En déduire la somme S de la série ( un ).
Exercice 4 :
Soit n un entier naturel, n ≥ 2 , on considère la série de terme général un =
2
n −1
2
1) Montrer que cette série est convergente.
2) Déterminer les réels a et b tels que :
n
3) En déduire que : ∑ uk=
k =2
2
a
b
=
+
n −1 n −1 n +1
2
3 2n + 1
. En déduire la somme S de la série ( un ).
−
2 n(n + 1)
Exercice 5 :
Soit la suite ( un ) définie par : un =
1
n(n + 1)
a
b
+
n n +1
2. On pose Sn = u1 + u2 + u3 + ........... + un −1 + un . Calculer Sn et la limite S de Sn quand n tend vers +∞ .
1. Déterminer les réels a et b tels que : un=
www.tifawt.com
2
Exercice 6 :
k=2n
Soit (un) la suite définie sur N * par un =
∑ k = n + n + 1 + ... + 2n .
1
1
1
1
k= n
−3n − 2
.
1. Montrer que pour tout n de N * , un+1 − un =
n( 2n + 2 )( 2n + 1 )
2. En déduire le sens de variation de la suite (un).
3. Établir alors que (un) est une suite convergente.
Exercice 7 :
+∞
1. Etudier la convergence de la série
∑2
=1 + 2 + 22 + ......... + 2n
n
;
n =0
n
2. Etudier la convergence de la série
1
∑2
p
p= 0
3. Etudier la convergence des séries de terme général : a) un =
+∞
4. Etudier la convergence de la série
1
∑
( 2n + 1) )
n =0
+∞
5. Etudier la convergence de la série
(−1) n
n =1 n
∑
( −1)
+∞
6. Etudier la convergence de la série
n
∑ 2n + 1
∞
8. Etudier la convergence de la série
∑
(−1) n +1
2
n =1
n
+∞
n2
de terme général un =
de terme général un =
n =0
7. Etudier la convergence de la série
2
3
n +1
2
∑ 2n + n
n =0
de terme général un
1
( 2n + 1) )
2
.
(−1) n
n
( −1)
=
n
2n + 1
de terme général un =
.
(−1) n +1
de terme général un =
n2
.
n2
.
2n + n
Exercice 8 :
+∞
7. Etudier la convergence de la série
1
 2nπ 
 de terme général
 3 
∑ n2 sin 
n =1
un =
+∞
8. Etudier la convergence de la série
2
arctan n
arctan n
de terme général un =
.
2
n
n2
n =1
∑
4. Etudier la convergence de la série de terme général : un =
www.tifawt.com
 2nπ 
sin 

n
 3 
1
n +1
n!
; vn =
1
n!
3
Correction
Exercice n°1
n +1
un
un +1
1 un 1
1) Pour tout entier n ∈ N ∗ , =
= 3n = =
vn +1
vn
n +1
n +1
3 n 3
2) ( vn ) est donc une suite géométrique de raison 1/ 3 et de premier terme v=
1
n −1
u1 1
=
1 3
n
1
1
1
3) Pour tout n ∈ N =
, vn =
vn −1 v1  =

  .
3
3
3
∗
1
u
Puisque pour tout n ∈ N , vn = n , on aura =
un nv
=
n 
n
n
3
n
∗
Exercice 2
un =
 an 
ln n 
an

n
α
.posons
,
v
=
ln
u
v
ln
=
 α  = ln a − ln n = n ln a − α ln n = n  ln a − α
n
n
n

α
n 
n

n 
ln n 

 ln n 
ln a
lim 
= 0 , lim  ln a − α
=

n →+∞ 
n →+∞  n 
n 
Donc : 2 cas :
Si a > 1 , ln a > 0 et lim vn = +∞ d’où : lim un = lim evn = +∞
n →+∞
n →+∞
Si a < 1 , ln a < 0 et lim vn = −∞ d’où : =
lim un
n →+∞
n →+∞
n →+∞
lim
=
evn 0 .
n →+∞
On conclut que lorsque n tend vers l’infini , le comportement de un =
Exercice 3
www.tifawt.com
an
est celui de a n pour a ≠ 1 .
α
n
4
4
=
a
+
b
=
a (n + 1) + b(n − 1)
=
( a + b) n + ( a − b)
2
2
2
n2 − 1 n − 1 n + 1
n2 − 1
n2 − 1
n=2
− =2 −
2 −1 3
3
0
a + b =
2
2
1
et a = 2 ; b = −2

n=
3
−
=
1−
4
a − b =
3 −1 3 +1
2
2
2
2 2
4
2
2
n=4
−
=−
=
−
2
4 −1 4 +1 3 5
n −1 n −1 n +1
2
2
1 1
n=
5
−
=−
5 −1 5 +1 2 3
n
 2
2
2
2
4n + 2
2
2
2 2
uk = 2 + 1 −
− = 3−
+  = 3−
−
=−
n=6
n +1 n
n(n + 1)
 n +1 n 
k =2
6 −1 6 +1 5 7
2
2
1 1
=
− =
−
n 7

 4n + 2 
4n + 2 
7 −1 7 +1 3 4
lim  3 −
3 − lim 
 =
=
n →+∞
n →+∞ n( n + 1) 
n(n + 1) 
2
2
2 2



8
−
=−
n=
 4n 
1
1
8 −1 8 +1 7 9
3 − lim  2  =
3 − 4 lim   ; lim   =
0
.......................................
n →+∞  n 
n →+∞  n 
n →+∞  n 
2
2
2
2
n=
p −3
−
=−
 n

p − 3 − 1 p − 3 + 1 p − 4 p − 2 Donc la série converge
vers S lim
=
=
 uk  3
n →+∞
2
2
2
2
 k =2 
−
=
−
n= p−2
p − 3 p −1
p − 2 −1 p − 2 +1
2
2
2
2
n=
p −1
−
=−
p −1−1 p −1+1 p − 2 p
2
2
2
2
n= p
−
=
−
p −1 p +1 p −1 p +1
∑
∑
Exercice 4
www.tifawt.com
, d’où
5
1
1
1
n=2
− =1 −
2 −1 3
3
1
1
1 1
n=
3
−
=−
3 −1 3 +1 2 4
1
1
1 1
n=4
−
=−
4 −1 4 +1 3 5
1
1
1 1
n=
5
−
=−
5 −1 5 +1 4 6
1
1
1 1
n=6
−
=−
6 −1 6 +1 5 7
1
1
1 1
n=
−
=−
7
7 −1 7 +1 6 8
1
1
1 1
n=
−
=−
8
8 −1 8 +1 7 9
.......................................
1
1
1
1
n=
p −3
−
=−
p − 3 −1 p − 3 +1 p − 4 p − 2
1
1
1
1
n= p−2
−
=
−
p − 2 −1 p − 2 +1
p − 3 p −1
1
1
1
1
n=
p −1
−
=−
p −1−1 p −1+1 p − 2 p
1
1
1
1
n= p
−
=
−
p −1 p +1 p −1 p +1
2
1
1
=
−
n −1 n −1 n +1
n
1
1
1 3  1
1  3 2n + 1
∑ uk = 1 + 2 − n + 1 − n = 2 −  n + 1 + n  = 2 − n(n + 1)


k =2
2
 3 2n + 1  3
 2n + 1 
lim  −
− lim 
 =
=
n →+∞ 2
n(n + 1)  2 n→+∞  n(n + 1) 

 2n  3
1
1
3
0
− lim  2  =
− 2 lim   ; lim   =
n →+∞  n 
n →+∞  n 
2 n→+∞  n  2
Donc la série converge
vers S
=
 n
 3
=
lim
 ∑ uk 
n →+∞
 k =2  2
Exercice 5
un =
1
1
1
1
1
. on a :
et 2
= 2
 2 la série
+∞
n(n + 1)
n(n + 1) n + n
n +n
n
+∞
1
∑ n(n + 1) est donc convergente en vertu
n =0
1
1
1
=
−
n(n + 1) n n + 1
1 1 1
1 1 1 1
1 2
On obtient successivement : S1 =u1 = − = ; S2 =u1 + u2 = − + − =1 − =
1 2 2
1 2 2 3
3 3
1 1 1 1 1 1
1 3
S 2 =u1 + u2 + u3 = − + − + − =1 − = et de même en observant les groupements de termes qui
1 2 2 3 3 4
4 4
du théorème de Riemann. Il est immédiat de vérifier que
s’annulent, on obtient :
1 1 1 1 1 1
1
1 1
1
1
n
− + −
=1 −
=
S 2 =u1 + u2 + u3 + ..........un −1 + un = − + − + − + ........ +
1 2 2 3 3 4
n −1 n n n +1
n +1 n +1
+∞
n
n +1
Par définition de la somme d’une série , on a :=
lim Sn
lim= 1 .
∑ un =
n =1
n →+∞
n →+∞
Exercice 6
k =2n
un =
∑ k = n + n + 1 + ... + 2n .
1
1
1
1
k =n
1
 1
1. un +1 − =
un 
+ ... +
+
1
1
+
2n + 1 2n + 2
2n
 n +1
−3n − 2
.
un +1 − un =
n ( 2n + 2 )( 2n + 1 )
www.tifawt.com
1
1 
1
1
1
 1
+ ... + =
+
− d’où
− +

2n  2n + 1 2n + 2 n
  n n +1
6
2. La suite (un) est décroissante puisque −3n − 2 < 0 .
3. La suite est positive puisque somme de termes positifs ; elle est décroissante et minorée, elle converge bien.
Exercice 7
+∞
1. la série
∑ 2n =1 + 2 + 22 + ......... + 2n diverge car
n =0
+∞
p
lim
∑ 2n = ∑ 2n =
n →+∞
=
n 0=
n 0
n
2. la série
1
∑2
p
p
∑ 2n =1 + 2 + 22 + ......... + 2 p =
n =0
1 − 2 p +1
= 2 p +1 − 1
1− 2
lim (2 p +1 − 1) = +∞ .
p →+∞
est la somme des termes consécutifs de la suite géométrique de 1er terme 1 et de raison
p= 0
1
1 1
1 1 − (1/ 2 )
et on a : ∑ p =1 + + 2 + ......... + n =
2 2
1 − 1/ 2
2
p =0 2
n +1
n
(
=2 1 − (1/ 2 )
+∞
1
n +1
1
1
=
lim ∑ p =
lim 2 1 − (1/ 2 )  =
2 ; lim  
∑
p
n →+∞  2 
n →+∞
n →+∞ 

2
=
p 0=
p 02
n
1
n +1
) , la série converge puisque :
n +1
1
<1)
2
= 0 ( q=
n
n
1
2
1
La série de terme général   converge , on écrit : lim ∑ p = 2 .
n →+∞
2
p =0 2
1
1
1
; on a : 2
< 2 pour tout n ; or la série de terme général
n +1
n +1 n
1
1
converge ( comme série de Riemann avec α = 2 ), donc la série de terme général 2
converge .
2
n
n +1
+∞
+∞
+∞
3
1
3
, on peut dire que ∑ 2
est une série convergente .
En admettant que ∑ 2
= 3∑ 2
n +1 n 0 n +1
=
n =0 n + 1
n 0=
3 .On considère la série de terme général
2
On peut aussi utiliser le théorème d’équivalence : On directement :
3
3
3
 2 , la série de terme général 2 est convergente donc
2
n + 1 +∞ n
n
+∞
4. On considère la série positive
On =
a : n 2U n
∑
n =0
1
( 2n + 1) )
2
+∞
3
∑ n2 + 1 est une série convergente.
n =0
1
1
( 2n + 1) )

1 
4n  1 + 2 
 2n 
de terme général
Un =
=
2
2
2
n2
n2
1
donc lim n 2U n = , par conséquent , la règle de Riemann
=
2
2
n →+∞
4
( 2n + 1) ) 4n + 4n + 1
s’appliquant aux séries à terme positifs permet d’affirmer que la série converge .
1
, on reconnaît le terme général d’une série de
4n 2
Riemann qui avec α= 2 > 1 est une série qui converge , donc la série de terme général un converge aussi
Quand n tend vers l’infini , un est un équivalent de
d’après le théorème d’équivalence des séries positives .
5. La série de terme général
1
(−1) n
n
répond au critère d’une série alternée :
1
1
1
La suite   est décroissante ( on a pour tout n > 0 ,
donc vn +1 ≤ vn ou ( un+1 ≤ un )( x  )
≤
n +1 n
x
 n n∈N
www.tifawt.com
7
et lim
=
vn
n →+∞
+∞
6.1a série ∑
n =0
1
= 0 , donc la série
lim
n →+∞ n
( −1)
n
2n + 1
de terme général un
+∞
(−1) n
∑ n
n =1
( −1)
=
converge. Cette série est appelée la série harmonique alternée
n
2n + 1
. On reconnaît une série alternée, et ici le théorème
spécial de convergence des séries alternées s'applique. En effet, pour tout n entier naturel on a :
un +1 =
1
1
1
1
est décroissante
=
<
= un .Ainsi, la suite définie par un =
2(n + 1) + 1 2n + 3 2n + 1
2n + 1
+∞
et lim un = 0 , donc 1a série ∑
n →+∞
n =0
( −1)
n
2n + 1
est convergente
(−1) n +1
(−1) n +1
de
terme
général
. On reconnaît une série
u
=
∑ n2
n
n2
n =1
∞
7. Etudier la convergence de la série
alternée, et ici le théorème spécial de convergence des séries alternées s'applique.
En effet, pour tout n entier naturel on a=
: un
Ainsi, la suite définie par un =
8. 0 <
1
1
1
(−1) n +1
1
un=
un .
=
<=
=
+1
2
2
2
2
n + 2n + 1 n 2
(n + 1)
n
n
1
est décroissante et lim un = 0 , donc la série
n →+∞
n2
(−1) n +1
∑ n2 est convergente.
n =1
∞
n2
n2
<
=
vn
2n + n 2n
Etudions la convergence de la série de terme général vn en utilisant la règle d’Alembert
(n + 1) 2
2
+1
vn +1
1  n +1
1
2n=
=

 → < 1 donc la série de terme général vn est convergente .D’après le théorème de
2
2 n 
2
vn
n
n
2
n2
comparaison sur les séries à termes positifs , la séries de terme général un = n
est convergente également .
2 +n
Exercice 8
+∞
1. soit la série
+∞
1
 2nπ 
=
n > 0 un
 ; pour tout
 3 
∑ un = ∑ n2 sin 
=
n 1=
n 1
 2nπ 
1
sin 
 ≤ 2
2
n
 3  n
1
+∞
. La série
1
∑ n2 converge
n =1
+∞
(théorème de Riemann ), donc la série
∑ un converge ( critère de comparaison
n =1
+∞
La série
∑u
n =1
+∞
n
est absolument convergente ,
1
 2nπ 
 est convergente .
 3 
∑ n2 sin 
n =1
+∞
2. Soit la série
+∞
arctan n
arctan n
π
π 1
. Pour tout n > 0 , on a : 0 ≤
< 2 , donc 0 ≤ un < × 2 . La série
2
2
2 n
n
n
2n
n =1
∑
π +∞ 1
=
∑ 2 n2 2 ∑ n2 converge ( théorème de Riemann)donc la série
n 1=
n 1
π
×
1
3. On calcule
+∞
arctan n
est convergente.
n2
n =1
∑
 n + 2   n +1 n + 2
un +1
u
n!
n+2
u
. On obtient n +1= 
, donc lim n +1 = 0 , 0 < 1
×
=
 / 
=
2
n →+∞ un
un
un  (n + 1)!   n !  (n + 1)! n + 1 (n + 1)
Donc d’après la règle d’Alembert , la série
www.tifawt.com
∑
n +1
est convergente
n!
8
4. On a : un =
n
n−2
, un −
n
n
n n n −n n +2 n
2 n
, cette expression est positive pour
=
=
−
=
n
n−2 n
n(n + 1)
n(n + 1)
tout n > 2 . On a donc un >
avec α=
1
1
n
ou un > 1/ 2 . La série de terme général 1/ 2 diverge ( comme série de Riemann
n
n
n
1
< 1 ), on déduit donc que la série
2
+∞
n
∑ n − 2 est divergente .on peut aussi la règle d’équivalence :
n =0
n
1
n
n
n

donc
la conclusion vient de manière immédiate : la série de terme général

n − 2 +∞ n
n − 2 +∞ n
n−2
est divergente.
Quelques séries numériques de référence : Série harmonique : c'est la série :
1
∑n
n ≥1
Bien que son terme général tend vers 0 en +
2p
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
+ + + + + + ......... + p −1
+ ........ + p
3 4 
5 
6 
7 
8
+ 1 2
2


∑ k =1 + 2 +
k =1
2 termes
2p
1
1
∑ k =1 + 2 +
k =1
1 1
1
+ ≥ 2× ;
3 4
4
2
1
2 p −1 termes
4 termes
1 1 1 1 1 1
1
1
+ + + + + + ......... + p −1
+ ........ + p
3
4
5
6
7
8
+ 1 2
2
 



2 termes
p
, cette série est divergente en effet :
2 p −1 termes
4 termes
1 1 1 1
1
+ + + ≥ 4 × ; ……………. ;
5 6 7 8
8
1
1
1
1
1
2
p −1
+1
+ ........ +
2
1
+ 1 + 1 + ........... + 1)
∑ k ≥ 1 + 2 + 2 × 4 + 4 × 4 + ....... + 2 p−1 × 2 p = 1 + 2 (1

k =1
p
soit n un entier naturel non nul, soit p la partie entière du nombre
quand n tend vers +
, p tend également vers +
d'ou la série
1
p
≥ 2 p −1 ×
n
; donc
1
1
2p
p
∑ n ≥ 1+ 2
k =1
ln n
, on a : n
ln 2
2p et :
n
1
k =1
1
∑ n est une série divergente.
n ≥1
III. Raisonnement par Récurrence.
Propriété : Soit P(n) une propriété dépendant d'un entier n et n0 un entier fixé.
Etape 1 : Vérification (initialisation)
On vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme : P(0) ou P(1) est vraie.
Etape 2 : Hérédité
On suppose que la propriété est vraie pour le terme de rang n et on démontre que si elle
est vraie pour le rang n elle est vraie pour le rang n + 1.
Si pour tout entier n ≥ n0 on a P(n) vraie ⇒ P(n+1)vraie.
Exercice 3.
1.
Démontrer par récurrence que pour tout n ≥ 1 , on a :
n
n ( n + 1)
k =1
2
∑ k =1 + 2 + 3 + ... + n =
n
2.
∑ k 2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
k =1
www.tifawt.com
.
n(n + 1)(2n + 1)
6
p
∑ n ≥ 1+ 2
9
Exercice 3.
2
 n 
Soit à démontrer par récurrence que ∑ k =  ∑ k  . Pn0=1 : 13 = 1²
k 1=
=
k 1 
n
3
2
n
n ²(n + 1)²
 n 
 n(n + 1) 
On suppose que ∑ k =  ∑ k  , c'est-à-dire
k 3 =
=
∑

4
 2 
k =1
k 1=
=
k 1 
n +1
n
n ²(n + 1)²
n ²(n + 1)² + 4(n + 1)3 (n + 1) 2 (n ² + 4n + 4)
3
3
3
3
(
1)
(
1)
k
k
n
n
=
+
+
=
+
+
=
=
∑
∑
4
4
4
k 1=
k 1
=
n
2
3
(n + 1)²(n + 2)²  (n + 1)(n + 2)   n +1 
=  =
 ∑k 
4
2

  k =1 
2
2
n 2 (n + 1) 2
Somme des n premiers cubes ( non nuls) 13 + 23 + 33 + .......... + n3 =
4
Démonstration :
Le principe est le même que pour la somme des n premiers carrés ,
la formule du binôme de Newton permet d'écrire :
on obtient en faisant varier k de 1 à n , n équations que l'on peut ajouter membre à membre :
en isolant S3 on obtient la formule de la somme des cubes.
Somme des n premiers carrés (non nuls)
démonstration :
on sait que : ( k + 1)3 - k3 = 3k2 + 3k + 1
on peut donc écrire et ajouter membre à membre les n égalités suivantes :
www.tifawt.com
10
www.Tifawt.com
Formation gratuite en
économie et gestion.
www.tifawt.com