1 TP MATHEMATIQUES SERIES NUMERIQUES www.tifawt.com Exercices Exercice n°1 : u1 = 1/ 3 un ∗ On considère la suite définie pour tout n ∈ N , par n + 1 . On pose, pour tout n ∈ N , vn = n un +1 = 3n un ∗ 1) Montrer que ( vn ) est une suite géométrique. 2) Exprimer vn en fonction de n . 3) En déduire l’expression de un en fonction de n . n 4) Soit la série Sn = ∑ vk . Calculer Sn en fonction de n et montrer que la suite Sn est convergente. k =1 Exercice 2 : On considère la suite définie pour tout n ∈ N ∗ , par un = an où a une constante réelle quelconque. nα Etudier la convergence de la suite (un ) . Exercice 3 : Soit n un entier naturel, n ≥ 2 , on considère la série de terme général un = 4 n −1 2 1) Montrer que cette série est convergente. 2) Déterminer les réels a et b tels que : n 3) En déduire que : ∑ uk = 3 − k =2 4 a b = + n −1 n −1 n +1 2 4n + 2 n(n + 1) 4) En déduire la somme S de la série ( un ). Exercice 4 : Soit n un entier naturel, n ≥ 2 , on considère la série de terme général un = 2 n −1 2 1) Montrer que cette série est convergente. 2) Déterminer les réels a et b tels que : n 3) En déduire que : ∑ uk= k =2 2 a b = + n −1 n −1 n +1 2 3 2n + 1 . En déduire la somme S de la série ( un ). − 2 n(n + 1) Exercice 5 : Soit la suite ( un ) définie par : un = 1 n(n + 1) a b + n n +1 2. On pose Sn = u1 + u2 + u3 + ........... + un −1 + un . Calculer Sn et la limite S de Sn quand n tend vers +∞ . 1. Déterminer les réels a et b tels que : un= www.tifawt.com 2 Exercice 6 : k=2n Soit (un) la suite définie sur N * par un = ∑ k = n + n + 1 + ... + 2n . 1 1 1 1 k= n −3n − 2 . 1. Montrer que pour tout n de N * , un+1 − un = n( 2n + 2 )( 2n + 1 ) 2. En déduire le sens de variation de la suite (un). 3. Établir alors que (un) est une suite convergente. Exercice 7 : +∞ 1. Etudier la convergence de la série ∑2 =1 + 2 + 22 + ......... + 2n n ; n =0 n 2. Etudier la convergence de la série 1 ∑2 p p= 0 3. Etudier la convergence des séries de terme général : a) un = +∞ 4. Etudier la convergence de la série 1 ∑ ( 2n + 1) ) n =0 +∞ 5. Etudier la convergence de la série (−1) n n =1 n ∑ ( −1) +∞ 6. Etudier la convergence de la série n ∑ 2n + 1 ∞ 8. Etudier la convergence de la série ∑ (−1) n +1 2 n =1 n +∞ n2 de terme général un = de terme général un = n =0 7. Etudier la convergence de la série 2 3 n +1 2 ∑ 2n + n n =0 de terme général un 1 ( 2n + 1) ) 2 . (−1) n n ( −1) = n 2n + 1 de terme général un = . (−1) n +1 de terme général un = n2 . n2 . 2n + n Exercice 8 : +∞ 7. Etudier la convergence de la série 1 2nπ de terme général 3 ∑ n2 sin n =1 un = +∞ 8. Etudier la convergence de la série 2 arctan n arctan n de terme général un = . 2 n n2 n =1 ∑ 4. Etudier la convergence de la série de terme général : un = www.tifawt.com 2nπ sin n 3 1 n +1 n! ; vn = 1 n! 3 Correction Exercice n°1 n +1 un un +1 1 un 1 1) Pour tout entier n ∈ N ∗ , = = 3n = = vn +1 vn n +1 n +1 3 n 3 2) ( vn ) est donc une suite géométrique de raison 1/ 3 et de premier terme v= 1 n −1 u1 1 = 1 3 n 1 1 1 3) Pour tout n ∈ N = , vn = vn −1 v1 = . 3 3 3 ∗ 1 u Puisque pour tout n ∈ N , vn = n , on aura = un nv = n n n 3 n ∗ Exercice 2 un = an ln n an n α .posons , v = ln u v ln = α = ln a − ln n = n ln a − α ln n = n ln a − α n n n α n n n ln n ln n ln a lim = 0 , lim ln a − α = n →+∞ n →+∞ n n Donc : 2 cas : Si a > 1 , ln a > 0 et lim vn = +∞ d’où : lim un = lim evn = +∞ n →+∞ n →+∞ Si a < 1 , ln a < 0 et lim vn = −∞ d’où : = lim un n →+∞ n →+∞ n →+∞ lim = evn 0 . n →+∞ On conclut que lorsque n tend vers l’infini , le comportement de un = Exercice 3 www.tifawt.com an est celui de a n pour a ≠ 1 . α n 4 4 = a + b = a (n + 1) + b(n − 1) = ( a + b) n + ( a − b) 2 2 2 n2 − 1 n − 1 n + 1 n2 − 1 n2 − 1 n=2 − =2 − 2 −1 3 3 0 a + b = 2 2 1 et a = 2 ; b = −2 n= 3 − = 1− 4 a − b = 3 −1 3 +1 2 2 2 2 2 4 2 2 n=4 − =− = − 2 4 −1 4 +1 3 5 n −1 n −1 n +1 2 2 1 1 n= 5 − =− 5 −1 5 +1 2 3 n 2 2 2 2 4n + 2 2 2 2 2 uk = 2 + 1 − − = 3− + = 3− − =− n=6 n +1 n n(n + 1) n +1 n k =2 6 −1 6 +1 5 7 2 2 1 1 = − = − n 7 4n + 2 4n + 2 7 −1 7 +1 3 4 lim 3 − 3 − lim = = n →+∞ n →+∞ n( n + 1) n(n + 1) 2 2 2 2 8 − =− n= 4n 1 1 8 −1 8 +1 7 9 3 − lim 2 = 3 − 4 lim ; lim = 0 ....................................... n →+∞ n n →+∞ n n →+∞ n 2 2 2 2 n= p −3 − =− n p − 3 − 1 p − 3 + 1 p − 4 p − 2 Donc la série converge vers S lim = = uk 3 n →+∞ 2 2 2 2 k =2 − = − n= p−2 p − 3 p −1 p − 2 −1 p − 2 +1 2 2 2 2 n= p −1 − =− p −1−1 p −1+1 p − 2 p 2 2 2 2 n= p − = − p −1 p +1 p −1 p +1 ∑ ∑ Exercice 4 www.tifawt.com , d’où 5 1 1 1 n=2 − =1 − 2 −1 3 3 1 1 1 1 n= 3 − =− 3 −1 3 +1 2 4 1 1 1 1 n=4 − =− 4 −1 4 +1 3 5 1 1 1 1 n= 5 − =− 5 −1 5 +1 4 6 1 1 1 1 n=6 − =− 6 −1 6 +1 5 7 1 1 1 1 n= − =− 7 7 −1 7 +1 6 8 1 1 1 1 n= − =− 8 8 −1 8 +1 7 9 ....................................... 1 1 1 1 n= p −3 − =− p − 3 −1 p − 3 +1 p − 4 p − 2 1 1 1 1 n= p−2 − = − p − 2 −1 p − 2 +1 p − 3 p −1 1 1 1 1 n= p −1 − =− p −1−1 p −1+1 p − 2 p 1 1 1 1 n= p − = − p −1 p +1 p −1 p +1 2 1 1 = − n −1 n −1 n +1 n 1 1 1 3 1 1 3 2n + 1 ∑ uk = 1 + 2 − n + 1 − n = 2 − n + 1 + n = 2 − n(n + 1) k =2 2 3 2n + 1 3 2n + 1 lim − − lim = = n →+∞ 2 n(n + 1) 2 n→+∞ n(n + 1) 2n 3 1 1 3 0 − lim 2 = − 2 lim ; lim = n →+∞ n n →+∞ n 2 n→+∞ n 2 Donc la série converge vers S = n 3 = lim ∑ uk n →+∞ k =2 2 Exercice 5 un = 1 1 1 1 1 . on a : et 2 = 2 2 la série +∞ n(n + 1) n(n + 1) n + n n +n n +∞ 1 ∑ n(n + 1) est donc convergente en vertu n =0 1 1 1 = − n(n + 1) n n + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 On obtient successivement : S1 =u1 = − = ; S2 =u1 + u2 = − + − =1 − = 1 2 2 1 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 S 2 =u1 + u2 + u3 = − + − + − =1 − = et de même en observant les groupements de termes qui 1 2 2 3 3 4 4 4 du théorème de Riemann. Il est immédiat de vérifier que s’annulent, on obtient : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n − + − =1 − = S 2 =u1 + u2 + u3 + ..........un −1 + un = − + − + − + ........ + 1 2 2 3 3 4 n −1 n n n +1 n +1 n +1 +∞ n n +1 Par définition de la somme d’une série , on a := lim Sn lim= 1 . ∑ un = n =1 n →+∞ n →+∞ Exercice 6 k =2n un = ∑ k = n + n + 1 + ... + 2n . 1 1 1 1 k =n 1 1 1. un +1 − = un + ... + + 1 1 + 2n + 1 2n + 2 2n n +1 −3n − 2 . un +1 − un = n ( 2n + 2 )( 2n + 1 ) www.tifawt.com 1 1 1 1 1 1 + ... + = + − d’où − + 2n 2n + 1 2n + 2 n n n +1 6 2. La suite (un) est décroissante puisque −3n − 2 < 0 . 3. La suite est positive puisque somme de termes positifs ; elle est décroissante et minorée, elle converge bien. Exercice 7 +∞ 1. la série ∑ 2n =1 + 2 + 22 + ......... + 2n diverge car n =0 +∞ p lim ∑ 2n = ∑ 2n = n →+∞ = n 0= n 0 n 2. la série 1 ∑2 p p ∑ 2n =1 + 2 + 22 + ......... + 2 p = n =0 1 − 2 p +1 = 2 p +1 − 1 1− 2 lim (2 p +1 − 1) = +∞ . p →+∞ est la somme des termes consécutifs de la suite géométrique de 1er terme 1 et de raison p= 0 1 1 1 1 1 − (1/ 2 ) et on a : ∑ p =1 + + 2 + ......... + n = 2 2 1 − 1/ 2 2 p =0 2 n +1 n ( =2 1 − (1/ 2 ) +∞ 1 n +1 1 1 = lim ∑ p = lim 2 1 − (1/ 2 ) = 2 ; lim ∑ p n →+∞ 2 n →+∞ n →+∞ 2 = p 0= p 02 n 1 n +1 ) , la série converge puisque : n +1 1 <1) 2 = 0 ( q= n n 1 2 1 La série de terme général converge , on écrit : lim ∑ p = 2 . n →+∞ 2 p =0 2 1 1 1 ; on a : 2 < 2 pour tout n ; or la série de terme général n +1 n +1 n 1 1 converge ( comme série de Riemann avec α = 2 ), donc la série de terme général 2 converge . 2 n n +1 +∞ +∞ +∞ 3 1 3 , on peut dire que ∑ 2 est une série convergente . En admettant que ∑ 2 = 3∑ 2 n +1 n 0 n +1 = n =0 n + 1 n 0= 3 .On considère la série de terme général 2 On peut aussi utiliser le théorème d’équivalence : On directement : 3 3 3 2 , la série de terme général 2 est convergente donc 2 n + 1 +∞ n n +∞ 4. On considère la série positive On = a : n 2U n ∑ n =0 1 ( 2n + 1) ) 2 +∞ 3 ∑ n2 + 1 est une série convergente. n =0 1 1 ( 2n + 1) ) 1 4n 1 + 2 2n de terme général Un = = 2 2 2 n2 n2 1 donc lim n 2U n = , par conséquent , la règle de Riemann = 2 2 n →+∞ 4 ( 2n + 1) ) 4n + 4n + 1 s’appliquant aux séries à terme positifs permet d’affirmer que la série converge . 1 , on reconnaît le terme général d’une série de 4n 2 Riemann qui avec α= 2 > 1 est une série qui converge , donc la série de terme général un converge aussi Quand n tend vers l’infini , un est un équivalent de d’après le théorème d’équivalence des séries positives . 5. La série de terme général 1 (−1) n n répond au critère d’une série alternée : 1 1 1 La suite est décroissante ( on a pour tout n > 0 , donc vn +1 ≤ vn ou ( un+1 ≤ un )( x ) ≤ n +1 n x n n∈N www.tifawt.com 7 et lim = vn n →+∞ +∞ 6.1a série ∑ n =0 1 = 0 , donc la série lim n →+∞ n ( −1) n 2n + 1 de terme général un +∞ (−1) n ∑ n n =1 ( −1) = converge. Cette série est appelée la série harmonique alternée n 2n + 1 . On reconnaît une série alternée, et ici le théorème spécial de convergence des séries alternées s'applique. En effet, pour tout n entier naturel on a : un +1 = 1 1 1 1 est décroissante = < = un .Ainsi, la suite définie par un = 2(n + 1) + 1 2n + 3 2n + 1 2n + 1 +∞ et lim un = 0 , donc 1a série ∑ n →+∞ n =0 ( −1) n 2n + 1 est convergente (−1) n +1 (−1) n +1 de terme général . On reconnaît une série u = ∑ n2 n n2 n =1 ∞ 7. Etudier la convergence de la série alternée, et ici le théorème spécial de convergence des séries alternées s'applique. En effet, pour tout n entier naturel on a= : un Ainsi, la suite définie par un = 8. 0 < 1 1 1 (−1) n +1 1 un= un . = <= = +1 2 2 2 2 n + 2n + 1 n 2 (n + 1) n n 1 est décroissante et lim un = 0 , donc la série n →+∞ n2 (−1) n +1 ∑ n2 est convergente. n =1 ∞ n2 n2 < = vn 2n + n 2n Etudions la convergence de la série de terme général vn en utilisant la règle d’Alembert (n + 1) 2 2 +1 vn +1 1 n +1 1 2n= = → < 1 donc la série de terme général vn est convergente .D’après le théorème de 2 2 n 2 vn n n 2 n2 comparaison sur les séries à termes positifs , la séries de terme général un = n est convergente également . 2 +n Exercice 8 +∞ 1. soit la série +∞ 1 2nπ = n > 0 un ; pour tout 3 ∑ un = ∑ n2 sin = n 1= n 1 2nπ 1 sin ≤ 2 2 n 3 n 1 +∞ . La série 1 ∑ n2 converge n =1 +∞ (théorème de Riemann ), donc la série ∑ un converge ( critère de comparaison n =1 +∞ La série ∑u n =1 +∞ n est absolument convergente , 1 2nπ est convergente . 3 ∑ n2 sin n =1 +∞ 2. Soit la série +∞ arctan n arctan n π π 1 . Pour tout n > 0 , on a : 0 ≤ < 2 , donc 0 ≤ un < × 2 . La série 2 2 2 n n n 2n n =1 ∑ π +∞ 1 = ∑ 2 n2 2 ∑ n2 converge ( théorème de Riemann)donc la série n 1= n 1 π × 1 3. On calcule +∞ arctan n est convergente. n2 n =1 ∑ n + 2 n +1 n + 2 un +1 u n! n+2 u . On obtient n +1= , donc lim n +1 = 0 , 0 < 1 × = / = 2 n →+∞ un un un (n + 1)! n ! (n + 1)! n + 1 (n + 1) Donc d’après la règle d’Alembert , la série www.tifawt.com ∑ n +1 est convergente n! 8 4. On a : un = n n−2 , un − n n n n n −n n +2 n 2 n , cette expression est positive pour = = − = n n−2 n n(n + 1) n(n + 1) tout n > 2 . On a donc un > avec α= 1 1 n ou un > 1/ 2 . La série de terme général 1/ 2 diverge ( comme série de Riemann n n n 1 < 1 ), on déduit donc que la série 2 +∞ n ∑ n − 2 est divergente .on peut aussi la règle d’équivalence : n =0 n 1 n n n donc la conclusion vient de manière immédiate : la série de terme général n − 2 +∞ n n − 2 +∞ n n−2 est divergente. Quelques séries numériques de référence : Série harmonique : c'est la série : 1 ∑n n ≥1 Bien que son terme général tend vers 0 en + 2p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + ......... + p −1 + ........ + p 3 4 5 6 7 8 + 1 2 2 ∑ k =1 + 2 + k =1 2 termes 2p 1 1 ∑ k =1 + 2 + k =1 1 1 1 + ≥ 2× ; 3 4 4 2 1 2 p −1 termes 4 termes 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + ......... + p −1 + ........ + p 3 4 5 6 7 8 + 1 2 2 2 termes p , cette série est divergente en effet : 2 p −1 termes 4 termes 1 1 1 1 1 + + + ≥ 4 × ; ……………. ; 5 6 7 8 8 1 1 1 1 1 2 p −1 +1 + ........ + 2 1 + 1 + 1 + ........... + 1) ∑ k ≥ 1 + 2 + 2 × 4 + 4 × 4 + ....... + 2 p−1 × 2 p = 1 + 2 (1 k =1 p soit n un entier naturel non nul, soit p la partie entière du nombre quand n tend vers + , p tend également vers + d'ou la série 1 p ≥ 2 p −1 × n ; donc 1 1 2p p ∑ n ≥ 1+ 2 k =1 ln n , on a : n ln 2 2p et : n 1 k =1 1 ∑ n est une série divergente. n ≥1 III. Raisonnement par Récurrence. Propriété : Soit P(n) une propriété dépendant d'un entier n et n0 un entier fixé. Etape 1 : Vérification (initialisation) On vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme : P(0) ou P(1) est vraie. Etape 2 : Hérédité On suppose que la propriété est vraie pour le terme de rang n et on démontre que si elle est vraie pour le rang n elle est vraie pour le rang n + 1. Si pour tout entier n ≥ n0 on a P(n) vraie ⇒ P(n+1)vraie. Exercice 3. 1. Démontrer par récurrence que pour tout n ≥ 1 , on a : n n ( n + 1) k =1 2 ∑ k =1 + 2 + 3 + ... + n = n 2. ∑ k 2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = k =1 www.tifawt.com . n(n + 1)(2n + 1) 6 p ∑ n ≥ 1+ 2 9 Exercice 3. 2 n Soit à démontrer par récurrence que ∑ k = ∑ k . Pn0=1 : 13 = 1² k 1= = k 1 n 3 2 n n ²(n + 1)² n n(n + 1) On suppose que ∑ k = ∑ k , c'est-à-dire k 3 = = ∑ 4 2 k =1 k 1= = k 1 n +1 n n ²(n + 1)² n ²(n + 1)² + 4(n + 1)3 (n + 1) 2 (n ² + 4n + 4) 3 3 3 3 ( 1) ( 1) k k n n = + + = + + = = ∑ ∑ 4 4 4 k 1= k 1 = n 2 3 (n + 1)²(n + 2)² (n + 1)(n + 2) n +1 = = ∑k 4 2 k =1 2 2 n 2 (n + 1) 2 Somme des n premiers cubes ( non nuls) 13 + 23 + 33 + .......... + n3 = 4 Démonstration : Le principe est le même que pour la somme des n premiers carrés , la formule du binôme de Newton permet d'écrire : on obtient en faisant varier k de 1 à n , n équations que l'on peut ajouter membre à membre : en isolant S3 on obtient la formule de la somme des cubes. Somme des n premiers carrés (non nuls) démonstration : on sait que : ( k + 1)3 - k3 = 3k2 + 3k + 1 on peut donc écrire et ajouter membre à membre les n égalités suivantes : www.tifawt.com 10 www.Tifawt.com Formation gratuite en économie et gestion. www.tifawt.com