suite-exercice-series-numeriques

1
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TP MATHEMATIQUES SERIES NUMERIQUES www.tifawt.com
Exercices
Exercice n°1 :
On considère la suite définie pour tout
n
∗
∈N
, par
1
1
1/3
1
3
nn
u
n
uu
n
+
=
+
=
. On pose, pour tout
n
∗
∈N
,
n
n
u
vn =
1) Montrer que
( )
n
v
est une suite géométrique.
2) Exprimer
n
v
en fonction de
n
.
3) En déduire l’expression de
n
u
en fonction de
n
.
4) Soit la série
1
n
nk
k
Sv
=
=∑
. Calculer
n
S
en fonction de
n
et montrer que la suite
n
S
est convergente.
Exercice 2 :
On considère la suite définie pour tout
n
∗
∈N
, par
n
na
un
α
=
où
a
une constante réelle quelconque.
Etudier la convergence de la suite
()
n
u
.
Exercice 3 :
Soit n un entier naturel,
2n≥
, on considère la série de terme général
24
1
n
un =−
1) Montrer que cette série est convergente.
2) Déterminer les réels a et b tels que :
2
411
1
ab
nn
n= +
−+
−
3) En déduire que :
2
42
3( 1)
n
k
k
n
unn
=
+
= − +
∑
4) En déduire la somme S de la série (
n
u
).
Exercice 4 :
Soit
n
un entier naturel,
2n≥
, on considère la série de terme général
2
2
1
n
un =−
1) Montrer que cette série est convergente.
2) Déterminer les réels a et b tels que :
2
211
1
ab
nn
n= +
−+
−
3) En déduire que :
2
321
2 ( 1)
n
k
k
n
unn
=
+
= − +
∑
. En déduire la somme S de la série (
n
u
).
Exercice 5 :
Soit la suite (
n
u
) définie par :
1
( 1)
n
unn =+
1. Déterminer les réels a et b tels que :
1
nab
unn = + +
2. On pose
123 1
...........
n nn
S uuu u u
−
=+++ + +
. Calculer
n
S
et la limite S de
n
S
quand
n
tend vers
+∞
.

2
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Exercice 6 :
Soit (un) la suite définie sur
*N
par
2
11 1 1
...
12
kn
nkn
uknn n
=
=
= =+ ++
+
∑
.
1. Montrer que pour tout n de
*N
,
( )( )
132
2 221
nn n
uu
nn n
+
−−
−= ++
.
2. En déduire le sens de variation de la suite (un).
3. Établir alors que (un) est une suite convergente.
Exercice 7 :
1. Etudier la convergence de la série
2
0
2 1 2 2 ......... 2
nn
n
+∞
=
=++ + +
∑
;
2. Etudier la convergence de la série
0
1
2
n
p
p=
∑
3. Etudier la convergence des séries de terme général : a)
2
31
n
un =+
4. Etudier la convergence de la série
( )
2
0
1
2 1)
n
n
+∞
=
+
∑
de terme général
( )
2
1
2 1)
n
un =+
.
5. Etudier la convergence de la série
1
( 1)
n
n
n
+∞
=
−
∑
de terme général ( 1)n
n
un
−
=
6. Etudier la convergence de la série
( )
0
1
21
n
n
n
+∞
=
−
+
∑
de terme général
( )
1
21
n
n
un
−
=+
.
7. Etudier la convergence de la série
1
2
1
( 1)
n
n
n
+
∞
=
−
∑
de terme général 1
2
( 1)n
n
un
+
−
=.
8. Etudier la convergence de la série
2
02n
n
n
n
+∞
=+
∑
de terme général
2
2
nn
n
un =+
.
Exercice 8 :
7. Etudier la convergence de la série
2
1
12
sin 3
n
n
n
π
+∞
=
∑
de terme général
2
12
sin 3
nn
un
π
=
8. Etudier la convergence de la série
2
1
arctan
n
n
n
+∞
=
∑
de terme général
2
arctan
nn
un =
.
4. Etudier la convergence de la série de terme général :
1
!
nn
un
+
=
;
1!
n
vn =

3
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Correction
Exercice n°1
1) Pour tout entier
nN
∗
∈
,1
1
1
11
3
1 13 3
n
nn
nn
nu
uu
n
vv
nn n
+
+
+
= = = =
++
2)
( )
n
v
est donc une suite géométrique de raison
1/3
et de premier terme
1
1
1
13
u
v= =
3) Pour tout
nN
∗
∈
,
1
11
1 11
3 33
nn
nn
vvv
−
−
= = =
.
Puisque pour tout
nN
∗
∈
,
n
n
u
v
n
=, on aura 1
3
n
nn
u nv n = =
Exercice 2
n
na
un
α
=
.posons
ln
nn
vu=
,
ln
ln ln ln ln ln ln
nn
n
an
v a n na nn a n
n
α
α
αα
= =−=− = −
ln
lim 0
n
n
n
→+∞
=
,
ln
lim ln ln
n
n
aa
n
α
→+∞
−=
Donc : 2 cas :
Si
1a>
,
ln 0a>
et lim n
nv
→+∞ = +∞ d’où :
lim lim n
v
n
nn
ue
→+∞ →+∞
= = +∞
Si
1a<
,
ln 0a<
et
lim
n
n
v
→+∞
= −∞
d’où : lim lim 0
n
v
n
nn
ue
→+∞ →+∞
= = .
On conclut que lorsque n tend vers l’infini , le comportement de
n
n
a
un
α
=
est celui de
n
a
pour
1a≠
.
Exercice 3

4
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2 22
4 ( 1) ( 1) ( ) ( )
11
1 11
a b an bn a bn a b
nn
n nn
++− ++−
=+= =
−+
− −−
, d’où
0
4
ab
ab
+=
−=
et
2a=
;
2b= −
2
4 22
11
1nn n= −
−+
−
2
2
2 2 2 2 42
21 3 3
1 1 ( 1)
42 42
lim 3 3 lim
( 1) ( 1)
4 11
3 lim 3 4 lim ; lim 0
n
k
k
nn
n nn
n
un n n n nn
nn
nn nn
nnn
n
=
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞ →+∞
+
= +− − =− + =−
++ +
++
−=− =
++
−=− =
∑
Donc la série converge vers
2
lim 3
n
k
nk
Su
→+∞ =
= =
∑
Exercice 4
22 2
2
21 3 3
22 1
31
31 31 2
2 2 22
41 41 3 5
2 2 11
55151 2 3
2 2 22
6161 5 7
2 2 11
77171 3 4
2 2 22
88181 7 9
.......................................
2 2 22
33
2
4
6
2
1 31 4 2
2
21
n
n
n
n
n
n
np p p pp
p
n
np
−=−
−
= −=−
−+
−=−
−+
= −=−
−+
−=−
−+
= −=
=
=
=
−
−+
= −=−
−+
=− −=−
−− − −
−
−
−
=
+
−
2 22
21 3 1
2 2 22
111 11 2
2222
1111
p pp
np p p pp
nppppp
−=−
−+ − −
=− −=−
−− −+ −
= −=−
−+−+

5
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22 11
11
1nn n= −
−+
−
2
2
1 1 13 1 1 3 2 1
12 1 2 1 2 ( 1)
321 3 21
lim lim
2 ( 1) 2 ( 1)
3 23 1 1
lim 2 lim ; lim 0
22
n
k
k
nn
n nn
n
un n n n nn
nn
nn nn
nnn
n
=
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞ →+∞
 +
=+− −=− + =−
++ +
++
−=− =
++
−=− =
∑
Donc la série converge vers
2
3
lim 2
n
k
nk
Su
→+∞ =
= =
∑
Exercice 5
1
( 1)
n
unn =+
. on a :
2
11
( 1)nn nn
=
++
et
22
11
nn n
+∞
+
la série
0
1
( 1)
n
nn
+∞
=
+
∑
est donc convergente en vertu
du théorème de Riemann. Il est immédiat de vérifier que
1 11
( 1) 1nn n n
= −
++
On obtient successivement :
11
111
122
Su= =−=
;
212
1111 12
1
1223 33
S uu= + =−+−=−=
2123
111111 13
1
122334 44
S uuu=+ + =−+−+−=−=
et de même en observant les groupements de termes qui
s’annulent, on obtient :
2123 1 111111 1 11 1 1
.......... ........ 1
122334 1 1 1 1
nn n
S uuu u u n nnn n n
−
= + + + + =−+−+−+ + −+− =− =
− + ++
Par définition de la somme d’une série , on a :
1
lim lim 1
1
nn
nn
n
n
uS n
+∞
→+∞ →+∞
=
= = =
+
∑
.
Exercice 6
211 1 1
...
12
kn
nkn
uknn n
=
=
= =+ ++
+
∑
.
1.
11 111 11 1111
... ...
1 2 2 12 2 1 2 2 12 2
nn
uu n nnn nn nnnn
+
− = ++ + + − + ++ = + −
+ ++ + ++
d’où
( )( )
132
2 221
nn n
uu
nn n
+
−−
−= ++
.
11 1
1
213 3
1 1 11
331 31 2 4
1 1 11
41 41 3 5
1 1 11
55151 4 6
1 1 11
6161 5 7
1 1 11
77171 6 8
1 1 11
88181 7 9
...........................
2
4
6
............
1 1 11
331 31 4
2
2
2
1
n
n
n
n
np p p pp
n
p
n
n
np
−=−
−
= −=−
−+
−=−
−+
= −=−
−+
−=−
−+
= −=−
−+
= −=−
−+
=− −=−
−− −
=
=
=
−
+−−
−
=−
1 11
1 21 3 1
1 1 11
111 11 2
1111
1111
p pp
np p p pp
nppppp
−=−
−+ − −
=− −=−
−− −+ −
= −=−
−+−+