Probabilités et statistiques M2MT01

Probabilités et statistiques
M2MT01 - TD5
Convergence en loi (suite)
Exercice 1 Soit (Yn)une suite de variables aléatoires de loi binômiale de para-
mètres (n, pn). On suppose que lim
n→+∞npn=θavec θ∈]0,+∞[. Montrer que la suite
(Yn)converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre θ.
Cette approximation est utile quand nest grand car le calcul numérique des
coefficients binômiaux Ck
nest peu efficace.
Exercice 2 Soit (Un)une suite de variables aléatoires indépendantes de loi
uniforme sur l’intervalle [0, θ]. On pose pour n≥1,Xn= max
1≤i≤nUi.
1. Montrer que (Xn)converge p.s. et déterminer sa limite. On pourra calculer
P(|Xn−θ|> ε).
2. Etudier la convergence en loi de la suite (n(θ−Xn)).
Exercice 3 Soit (Xn)une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de
Cauchy de paramètre a > 0. On note Sn=
n
X
k=1
Xk. Etudier la convergence en loi et
en probabilité des suites :
1. Sn
√n.
2. Sn
n2.
3. Sn
n. On pourra déterminer la loi de S2n
2n−Sn net en déduire que cette suite
ne tend pas en probabilité vers 0.
Exercice 4 Soit (Un)une suite de variables aléatoires indépendantes de loi
uniforme sur [0,1]. Soit α > 0.
1. Pour n > 0, on pose Xn= (U1···Un)α/n. Montrer que la suite (Xn)converge
p.s. et donner sa limite.
2. Montrer que la suite (Yn)définie par Yn= [Xneα]√nconverge en loi et déter-
miner la loi limite.
Exercice 5 Soit Xune variable aléatoire réelle, Mla fonction définie par M(t) =
E[etX ]. On suppose que U={t, M(t)<+∞} est un voisinage de 0.
1

1. Montrer que les fonctions Met L= ln Msont convexes sur U. (On devra dans
un premier temps montrer que Uest un intervalle)
2. On suppose que E[X]<0et que P(X > 0) >0. On suppose également que
lim
t→sup UM(t) = +∞.
Soit ρ= inf M(t). Montrer que 0<ρ<1et que ρ=M(τ)pour un τ > 0.
Montrer que P(X≥0) ≤ρ.
3. Soit Zune variable aléatoire réelle de loi définie par
dPZ(x) = eτxdPX(x)
M(τ)
et MZla transformée de Laplace de Z. Montrer que MZ(t) = M(t+τ)
M(τ),E[Z] = 0,
s2=V ar(Z) = M00 (τ)
M(τ)·
4. On pose p=P(Z≥0). Montrer que
0≤ −ln P(X≥0)
ρ≤τs p−ln p.
5. On pose m4=E[Z4]. Montrer les inégalités suivantes :
E[Z2
+]≤p1/2m1/2
4
E[Z2
−]≤E[Z−]2/3m1/3
4
E[Z−] = E[Z+]≤m1/4
4p3/4.
6. En déduire une minoration de P(X≥0).
7. Soit (Xn)une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, de même loi
que X. On pose Sn=X1+··· +Xn. Montrer que
lim
n→+∞
1
nln P(Sn≥0) = ln ρ.
8. Soit aun réel tel que E[X]< a,P(X > a)>0. Trouver une majoration et une
minoration de P(X≥a).
9. Soit (Xn)une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que
Xavec E[X]< a et P(X > a)>0. En posant Sn=X1+···Xn, montrer que
lim
n→+∞
1
nln PSn n≥a= inf(ln M(t)−at).
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