Correction des exercices facultatifs

UNIVERSITÉ ABDELMALEK
ESSAÂDI
École nationale des sciences appliquées
Al Hoceima
Module AP-12 : Analyse Réelle
CP 1ère année
Correction des exercices facultatifs
Said TAARABTI

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Correction de l’exercice 4 :
On a |a| ̸=|b|, donc, on distingue deux cas :
1er cas : si |a|<|b|.Ceci implique que b̸= 0 . Alors, on pose k=a
b.
Donc la suite (un)devient :
un=kn−1
kn+ 1.
Puisque |k|<1alors la suite géométrique (kn)est convergente et tend
vers zéro.
D’où (un)est une suite convergente et lim
n→+∞
un=−1.
2ème cas : se traite de la même manière .
Correction de l’exercice 2 :
Soit E:x−→ E(x)la fonction partie entière.
1. Soit x, y ∈R, tel que : x≤y.
Et comme
E(x)≤x < E(x)+1 ∀x∈R,(1)
E(y)≤y < E(y)+1 ∀y∈R,(2)
alors
E(x)≤x≤y < E(y)+1,
c’est-à-dire
E(x)< E(y)+1.
Or E(x)∈Zet E(y)∈Z, donc : E(x)≤E(y).
D’où Eest croissante.
Correction de l’exercice 7 :
On considère l’ensemble A={x∈Q+:x2≤2}, montrons que An’ad-
met pas de borne supérieure dans Q.
On procède par l’absurde, supposons que Apossède une borne supérieure
αdans Q(α∈Q+).
— On a : soit α2= 2 (ce qui n’est pas possible) ou α2>2ou α2<2.

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— Si α2<2, alors α < √2.
(je rappelle que entre deux réels distincts, il existe un rationnel. Cette
propriété est appelée densité de Qdans R.)
Il existe βdans Qtel que α < β < √2et par conséquent β∈Aet
qui est supérieure à α, ce qui est absurde.
— Un raisonnement analogue pour α2>2.
Correction de l’exercice 9 :
Soit (un)une suite d’entiers qui converge vers l∈R.
Par définition de la convergence de (un), on a :
∀ε > 0,∃N∈Ntel que n≥N⇒ |un−l|< ε. (3)
ceci implique que :
∀ε > 0,∃N∈Ntel que n≥N⇒l−ε < un< l +ε.
Pour ε=1
2, on obtient un Ntel que pour n≥N, on a un∈]l−1 2, l +1 2[.
On pose I=]l−1
2, l +1 2[.
Or l’intervalle Iest de longueur 1, il existe donc au plus un élément de
N. Donc I∩Nest soit vide soit un singleton {a}(un élément).
Comme, (un)est un entier, qui vérifie n≥N⇒un∈I∩N,
alors, I∩N={a}, et par suite : n≥N⇒un=a.
Donc la suite (un)est constante à partir de N.