L3 - Intégration 2016-2017 : TD 7 Espaces Lp. A. Bordas, J.Husson

L3 - Int´egration 2016-2017 : TD 7
Espaces Lp.
A. Bordas, J.Husson, F.Patout.
Exercice 1.— Repr´esentation duale des normes Lp
Soient (X, A, µ) un espace mesur´e, 1 ≤p < ∞et f∈Lp(X, R). On note ql’exposant
conjugu´e de p.
1. Montrer que
||f||Lp= sup{ZX fg dµ | ||g||Lq= 1}.
2. On suppose que µest σ-finie, montrer que le r´esultat pr´ec´edent s’´etend au cas p=
+∞.
Exercice 2.— S´eparabilit´e des espaces Lp([0,1])
1. Soit p∈[1,+∞[. Montrer que Lp([0,1]) est s´eparable, c’est-`a-dire qu’il contient une
partie d´enombrable dense.
2. Montrer que L∞([0,1]) n’est pas s´eparable.
Exercice 3.— Convergence en mesure et convergence Lp
Soit (X, A, µ) un espace de mesure finie. Soit une suite de fonctions mesurables fn:X→
R. On dit que (fn) converge en mesure vers fsi pour tout  > 0,
µ(|fn−f|−1(], +∞[)) →
n→∞ 0.
Soit p, q tels que 1 ≤p<q≤+∞.
On suppose que la suite (fn) est born´ee dans Lqet converge en mesure vers f. Montrer
que (fn) converge dans Lpvers f.
Exercice 4.— Convergence faible
Soit (X, A, µ) un espace mesur´e. Soient p, p0∈]1,+∞[ tels que 1/p + 1/p0= 1. On dit
qu’une suite (fn)n∈Nd’´el´ements de Lp(µ) converge faiblement vers f∈Lp(µ) si pour tout
g∈Lp0(µ),
lim ZX fngdµ =ZX fgdµ.
1. Montrer que la convergence dans Lpimplique la convergence faible.
2. On suppose que (X, A, µ) est Rdmuni de la mesure de Lebesgue, et que pour toute
φcontinue `a support compact, on a
lim ZX fnφdµ =ZX fφdµ.
On suppose de plus que la suite kfnkLpest born´ee. Montrer que la suite (fn) converge
faiblement vers f.
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Exercice 5.— Espace Lppour p∈]0; 1[
Soient (X, A, µ) un espace mesur´e et p∈]0; 1[. On d´efinit Lp(X, µ) de mani`ere analogue
au cas o`u p > 1 et on pose pour f, g des fonctions de Lp(X, µ), d(f, g) = R|f−g|pdµ.
1. Montrer que Lp(X, µ) est un espace vectoriel, que dest une distance sur cet espace
et qu’il est complet pour cette distance.
2. On suppose (X, A, µ) = ([0; 1],B([0; 1]), λ). Montrer que le dual topologique de
(Lp([0 : 1]), d) (i.e. l’ensemble des forme lin´eaires continues sur (Lp([0 : 1]), d) )est
r´eduit `a 0.
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