ECE 1 - DV Questions classiques variables aléatoires 2014/2015 Déterminer la loi d’une variable à densité X : Déterminer la densité f de X. On devra souvent calculer d’abord la fonction de répartition F puis utiliser la relation f = F 0 . Montrer que X est une variable aléatoire à densité : On note F la fonction de répartition de X. • F est continue sur R, • F est C 1 sur R (sauf éventuellement en un nombre fini de points). Montrer que f est la densité de X variable aléatoire à densité : On note F la fonction de répartition de X et on demande que f : R → R. • f (x) ≥ 0 pour tout x ∈ R, • F 0 (x) = f (x) sur R (sauf éventuellement en un nombre fini de points). Calcul de f ou de F pour une variable à densité X : • Pour tout x où F est C 1 on a f (x) = F 0 (x). Rx f (t) dt. • Pour tout réel x on a F (x) = −∞ Montrer que f est une densité de variable à densité (X inconnue) : • f (x) ≥ 0 pour tout x ∈ R, • f continue sur R (sauf éventuellement en un nomrbe fini de points), +∞ +∞ R R • f (t) dt converge et f (t) dt = 1. −∞ −∞ Montrer que F est une fonction de répartition de variable à densité (X inconnue) : • F continue sur R, • F C 1 sur R (sauf éventuellement en un nomrbe fini de points), • F croissante sur R, • lim F (x) = 0 et lim F (x) = 1. −∞ +∞ Déterminer l’espérance d’une variable à densité X : • +∞ R tf (t) dt est absolument convergente, −∞ • calculer E(X) = +∞ R −∞ tf (t) dt. Toujours envisager d’abord E(aX + b) = aE(X) + b Pour montrer l’ACV on montre souvent (positive + CV) – simplementconnexe.free.fr – –1–