ECE 1 - DV Questions classiques variables aléatoires 2014

ECE 1 - DV Questions classiques variables aléatoires 2014/2015
Déterminer la loi d’une variable à densité X:
Déterminer la densité fde X.
On devra souvent calculer d’abord la fonction de répartition Fpuis utiliser la relation f=F0.
Montrer que Xest une variable aléatoire à densité :
On note Fla fonction de répartition de X.
•Fest continue sur R,
•Fest C1sur R(sauf éventuellement en un nombre fini de points).
Montrer que fest la densité de Xvariable aléatoire à densité :
On note Fla fonction de répartition de Xet on demande que f:R→R.
•f(x)≥0pour tout x∈R,
•F0(x) = f(x)sur R(sauf éventuellement en un nombre fini de points).
Calcul de fou de Fpour une variable à densité X:
•Pour tout xoù Fest C1on a f(x) = F0(x).
•Pour tout réel xon a F(x) =
x
R
−∞
f(t)dt.
Montrer que fest une densité de variable à densité (Xinconnue) :
•f(x)≥0pour tout x∈R,
•fcontinue sur R(sauf éventuellement en un nomrbe fini de points),
•
+∞
R
−∞
f(t)dt converge et
+∞
R
−∞
f(t)dt = 1.
Montrer que Fest une fonction de répartition de variable à densité (Xinconnue) :
•Fcontinue sur R,
•F C1sur R(sauf éventuellement en un nomrbe fini de points),
•Fcroissante sur R,
•lim
−∞
F(x)=0et lim
+∞
F(x) = 1.
Déterminer l’espérance d’une variable à densité X:
•
+∞
R
−∞
tf(t)dt est absolument convergente,
•calculer E(X) =
+∞
R
−∞
tf(t)dt.
Toujours envisager d’abord E(aX +b) = aE(X) + b
Pour montrer l’ACV on montre souvent (positive + CV)
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