Fonction d`une variable complexe

Fonction d’une variable complexe
II.1 Définition d’une fonction d’une variable complexe
Un symbole tel
z
qui peut remplacer n’importe quel élément d’un ensemble de nombres
complexes est appelé une variable complexe.
Si à chaque valeur que peut prendre une variable complexe
z
, il correspond une ou
plusieurs valeurs d’une variable complexe
w
, nous dirons que
w
est une fonction de
z
et
nous écrivons
w f z
ou
w G z
, etc…
Si une seule valeur de
w
correspond à chaque valeur de
z
, nous dirons que
w
est une
fonction uniforme de
z
ou que
fz
est uniforme. Autrement dit, si
1 2 1 2 ,z z M z z  
12
,f z f z
alors
fz
est uniforme.
Si plusieurs valeurs de
w
correspondent à chaque valeur de
z
, nous dirons que
w
est
une fonction multiforme de
z
.
Si
w f z
est uniforme, nous pouvons aussi considérer
z
comme fonction de
w
, ce
qui peut s’écrire sous la forme
1.z g w f w
La fonction
1
f
est souvent appelée la fonction inverse de
f
. Ainsi,
w f z
et
1
w f z
sont des fonctions inverses l’une de l’autre.
Supposons que
w f z
transforme l’ensemble
E
en l’ensemble
N
et
w
transforme l’ensemble
N
en l’ensemble
M
. Alors, la fonction
z f z
qui
transforme l’ensemble
E
à l’ensemble
M
s’appelle fonction composée.
Exemples.
1. ; 2.
n
w z w z
. Ces deux fonctions sont définies sur un plan (au point
z
,
elles prennent la valeur ).
3. Rewz
. La fonction est définie sur un plan complexe fini.
4. w Argz
est une fonction infinie, définie pour toutes les valeurs de
z
, excepté
0
et .
Si l’on pose
w u i
, où
,u u x y
et
,xy
- deux fonctions réelles de variables
x
et
y
définies sur un ensemble
M
, alors,
, , , .W f z f x iy u i u u x y x y
C'est à dire que la détermination de
fz
est équivalente à la détermination de deux
fonctions
,u x y
et
,xy
de deux variables réelles.
Exemple
2
2 2 2 2,W z x iy x y xyi u i
où
22
,2u x y xy
II.2 Limite d’une fonction de variable complexe

Supposons que
w f z
soit définie en quelque voisinage du point
0
z
(excepté
0
z
).
Soit pour quelque soit
0
, il existe
0
tel que
w f z
transforme les points de
voisinage du point
0
z
(
0
z
excepté) à voisinage du point
0
w
.
Alors,
0
w
s’appelle la limite de
fz
quand
0
zz
.
0
0lim
zz
w f z
ou
00
.f z w z z
Si
0
w
et
0
z
sont finies, on peut donner la définition suivante
Si
0
w
est la limite de
fz
, quand
0
zz
, alors
0
, il existe un
0
tel que
pour
00
z z z z
, l’inégalité
0
f z w
est satisfaite.
Remarque. Si
0 0 0
,i z x iy
et
, , ,W u x y i x y
on peut montrer que
0
0
0
0
0
lim ,
lim
lim , .
xx
yy
zz
xx
yy
u x y
fz
xy
II.3 Continuité d’une fonction d’une variable complexe
Soit donnée une fonction
w f z
sur un ensemble
M
avec un point limite
0.zM
La fonction
fz
est continue au point
0
z
, si
00
lim .
zz
zM
f z f z
Cette condition est équivalente aux deux conditions suivantes
00
00
0 0 0 0
lim , , , lim , , ,
x x x x
y y y y
u x y u x y x y x y
où
0 0 0
, , , , .z x iy f z u x y i x y z x iy
Ainsi, une fonction complexe est continue au point
0
z
, si et seulement si, sa partie réelle et sa
partie imaginaire sont des fonctions continues au point
00
,xy
.