dc1 4e tech1

L.S.C.J.Gafsa
Prof :B.Tabbabi
Date : 14 Novembre 2012
Epreuve :Mathématiques
Classe :4è.Téch.
Durée :2 heures
DEVOIR DE CONTROLE N°1
Exercice 1 : ( 4 points )
Choisir la réponse exacte (aucune justification n’est demandée ).
i

1.Un argument du nombre complexe 2e 3 est :
4

a)
b)
c) 
3
3

3
2.Soit  un réel.Les solutions dans
de l’équation iz 2  ei z  i  0 sont :
a) opposées
b) inverses
c) conjuguées
3.Soit f une fonction dont la courbe ( C ) dans un repère orthonormé admet la droite y  2x  1 comme
asymptote au voisinage de  ; alors lim  f ( x )  2x est égale à :
x 
a) 1
b) 0
4.Soit la fonction g : x x  cos( x ) ; alors :
a) g n’a pas de limite en 
b) lim g( x )  
c) 2
c) g(x) < x pour tout réel x.
x 
Exercice 2 : ( 4 points )
On considère la fonction f définie sur

1
2
1  x sin  
par f ( x )  
 x
1  x  x 3

si x < 0
si x  0
1.a.Vérifier que pour tout x < 0 on a : 1  x  f ( x )  1  x .
b.Calculer alors lim f ( x ).
2
2
x 0 
2.Etudier la continuité de f en 0.
3.a.Montrer que l’équation f(x) = 0 admet dans 0,1 une solution unique  .
b. Vérifier que 1   2 
1

.
x 1
4.Etudier chacune des limites suivantes : lim f 

x 
 x 1 
 x 1
.
 x 1
et lim f 
x 1 +
Exercice 3 : ( 6 points )
Soit  un réel.On considère dans
l’équation ( E ) : iz 2  ( 1  iei )z  ei  0 .
1.a.Vérifier que i est une solution de ( E ).
b. Résoudre alors l’équation ( E ).
2.Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v ,on considère les points A , B et C


d’affixes respectives z A  i,zB  ei et zC  i  ei .
a.Vérifier que A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.
b.Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.

3.Dans cette question on prend   .


3
a.Placer dans le repère O,u,v les points A , B et C.
i

b.En déduire un argument du nombre complexe i  e 3 .
voir verso 
Exercice 4 : ( 6 points )
La figure ci-dessous représente la courbe ( C ) d’une fonction f dans un repère orthonormé.
.Les droites y  x et y  3 sont des asymptotes à ( C ) au voisinage de  et  respectivement.
 3


. le point  1,  appartient à la courbe ( C ).
2
1.Dans cette question,utiliser le graphique pour répondre.
a. Donner lim f ( x ), lim f ( x ), lim
x 
x 
x 
f(x)
et lim  f ( x )  x  .
x 
x
b.Dresser le tableau de variation de f.
c.Déterminer f  ,0 , f 0,2 et f   .
d.Résoudre dans
chacune des équations : f(x)  2 et f(x)  x.
 x3  2
 2
2.On donne f ( x )   x 3 1
 3x
 4  x 3
si x  2
si x >2
Montrer que par le calcul que la droite y  x est une asymptote à ( C ) au voisinage de  et que la droite
y  3 est une asymptote à ( C ) au voisinage de  .
Bon travail
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Bon travail