De l`intégration par parties à la formule de Taylor

De l’intégration par parties à la formule de Taylor-Maclaurin
Motivation : Exploiter le théorème fondamental du calcul intégral (TFCI) pour développer une
technique d’intégration appelée par parties, puis en itérant cette méthode, de développer certaines
fonctions sous forme de séries.
A) Rappel. De la formule de dérivation d’un produit on a que ( f ⋅ g )′ ( x) = f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x)
(valable si f et g sont dérivables au point x) qui peut aussi réécrire sous la forme :
f ′( x) ⋅ g ( x) = ( f ⋅ g )′ ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x) . Par TFCI, si l’on suppose que f et g sont dérivables sur tout
un intervalle I = [a, b] et dont les fonctions dérivées f ′ et g ′ sont continues sur I l’on déduit :
b
∫
a
b
b
b
a
a
a
b
f ′( x) ⋅ g ( x)dx = ∫ ( f ⋅ g )′ ( x)dx − ∫ f ( x) ⋅ g ′( x)dx =( f ⋅ g )( x) a − ∫ f ( x) ⋅ g ′( x)dx
que l’on dénommera la formule d’intégration par parties (FIP).
π
B) Exemple d’utilisation. Pour calculer ∫ x ⋅ sin( x)dx , posons g ′( x) = sin( x) et f ( x) = x . Ainsi,
0
g ( x) = − cos( x) et l’on obtient par FIP :
π
π
0
0
π
∫ x ⋅ sin( x)dx = x ⋅ (− cos( x)) 0 − ∫ − cos( x)dx = π .
C) Considérons une fonction f , C ∞ au voisinage d’un point a (c.-à-d. infiniment dérivable de
x
dérivées continues). Par TFCI on a f ( x) = f (a) + ∫1 ⋅ f ′(t ) dt pour x dans ce voisinage.
a
Si l’on pose cette fois-ci g (t ) = −( x − t ) (attention x est une constante) alors par FIP l’on voit
x
aisément que : f ( x) = f (a) + ( x − a) f ′(a) + ∫ ( x − t ) ⋅ f ′′(t ) dt (pour x dans le voisinage de a).
a
D) Démontrer par récurrence que l’on obtient la formule appelée de Taylor-Maclaurin (au
voisinage de a ci-dessous :
x
( x − a )i ( i )
( x − t ) n ( n +1)
f (a) + ∫
⋅f
(t ) dt .
i!
n!
i =0
a
n
f ( x) = ∑
E) Utiliser la formule de Taylor-Maclaurin pour prouver les quatre développements ci-dessous au
voisinage de a = 0 :
x3 x5 x 7 x9
+ − + ± ...
3! 5! 7! 9!
x 2 x3 x 4
3) exp( x) = e x = 1 + x + + + + ...
2! 3! 4!
1) sin( x) = x −
x 2 x 4 x 6 x8
+ − + ± ...
2! 4! 6! 8!
1
1
1
5 4
4) 1 + x = 1 + x − x 2 + x3 −
x + ...
2
8
16
128
2) cos( x) = 1 −
#% !1/ x
F) (Cauchy, 1823) Montrer que la fonction f (x) = $ e
%& 0
2
si x " 0
si x = 0
admet un développement en
série de Taylor au voisinage de a = 0 MAIS que cette série ne converge pas vers la fonction f.
Concernant la convergence de la série de Taylor - Maclaurin.
Si l’on dispose d’une fonction f qui est C ∞ alors son développement en série entière converge
x
( x − t ) n ( n +1)
⋅f
(t ) dt tend
n
!
a
vers f (localement au voisinage de a) si et seulement si le reste, R( x) := ∫
vers 0 lorsque n tend vers l’infini.
L’on va démontrer ci-dessous que le seul facteur problématique est celui des dérivées ne de f.
Lemme. Si a < b < c < d et que a + d = b + c alors b·c > a·d
Preuve. Posons (b + c) / 2 = M alors b = M – m, c = M + m, a = M – n et d = M + n,
avec 0 < m < n. D’où : bc = (M − m)(M + m) = M 2 − m2 > M 2 − n2 = (M − n)(M + n) = ad
an
=0
n →∞ n!
Proposition. lim
Preuve. Supposons que n soit un nombre pair.
a2n
a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ⋅ a
= lim
2 n →∞ (2n)!
2 n →∞ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ ( n − 1) ⋅ n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( n + 2) ⋅ .... ⋅ (2 n − 1) ⋅ 2 n
lim
Choisissons n pour que 1·2n > 2·a2. Dans ce cas, par le lemme précédent, on a que le produit des
facteurs symétriques par rapport au n central vérifie : k·(2n – k +1) > 2·a2 où k < n.
n
a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ⋅ a
⎛1⎞
< lim ⎜ ⎟ = 0 .
n →∞ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ ( n − 1) ⋅ n ⋅ ( n + 1) ⋅ .... ⋅ (2n − 1) ⋅ 2n
n →∞ 2
⎝ ⎠
D’où : lim
Dans le cas impair, il suffit d’isoler le facteur a / n et l’on est ramené au cas pair. De surcroît les
deux facteurs tendent alors vers 0 lorsque n tend vers l’infini.
Conclusion. Si f !C " ([a;b]) et !M > 0 tel que | f ( n) ( [a;b] ) |< M !n "! alors le
développement de Taylor-Maclaurin de f en a approche arbitrairement près f sur tout [a ; b].
La règle (du Marquis) de l’Hôpital (ou de Jean Bernoulli) 1696
Pour évaluer le comportement limite (en un point a ou asymptotique) de certains quotients il peut
être d’une grande utilité de disposer du théorème suivant :
Théorème. Si f et g sont deux fonctions dérivables sur l’intervalle ]a ; b[, continues sur [a ; b],
que lim f (x) = lim g(x) = 0 , que g ′( x) ≠ 0 pour x ∈]a ; b[ et si lim
x!a
x!a
x!a
+
+
+
f "(x)
f (x)
= # alors lim
=".
x!a
g "(x)
+ g(x)
f (b)
g ( x) . On a h continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[ et de
g (b)
plus h(a) = h(b) = 0. Par le théorème de Rolle, il existe µ ∈]a; b[ tel que h′( µ ) = 0 , c’est-à-dire
f ′( µ ) f (b)
f #( µ )
f (b)
=
= lim
. Si l’on fait tendre b vers a+ alors l’on a ! = lim
.
C.Q.F.D.
b"a
b"a
+ g #( µ )
+ g(b)
g ′( µ ) g (b)
Preuve. Posons h( x) := f ( x) −
En modifiant quelque peu la démonstration ci-dessus on peut prouver que le résultat ci-dessus
reste valable si on remplace a+ par b! , ou que lim f (x) = lim g(x) = +" , ou que b! = +" ,…
x!a+
x!a+
Attention ! La dérivabilité de f et de g et le fait que la dérivée de g ne s’annule pas sur un certain
voisinage ]a ;b[ est fondamental ! Pour des contre-exemples intéressants consultez le Kowalskis
note : http://icp.ge.ch/po/calvin/espace-pedagogique/math/cours-de-c.-aebi/4e_math_niv2/kowalskis-note-notes_49_lhospitals_rule/view