Physique

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne
Ecole Européenne de Francfort Page 11
Chapitre n° 1 : CINEMATIQUE DE NEWTON
La cinématique étudie la description du mouvement des mobiles sans en chercher les causes.
Le but de la leçon est d'introduire et, dans certain cas, de rappeler les définitions des grandeurs
vectorielles cinématiques (position, vitesse, accélération), et d'en approfondir l'aspect vectoriel.
L'étude de la projection de ces grandeurs vectorielles, dans un repère, fait appel à des
mathématiques parfois complexes, mais elle nous sera nécessaire, par la suite, en dynamique.
I) Système et référentiel
1)
:
Système
Un système est un objet ou un ensemble d'objets délimité par une surface réelle ou fictive et
que l'on distingue de son environnement pour en faire une étude particulière.
:
Le système devra être défini pour chaque problème considéré.
Tout ce qui n'appartient pas au système constitue le milieu extérieur ou "reste de l'Univers".
Exemple : Système {Terre-Lune} ; {gaz dans un récipient} ; {charge dans un champ
→
E
} …
Remarque : Dans la suite, on ne considérera, le plus souvent, que le cas du mouvement du
centre d'inertie (C.I.) du système ou le cas du mouvement d'un objet ponctuel.
2) Référentiel et repère
On s'intéresse à un mobile ponctuel P (de dimensions négligeables devant les longueurs qui
interviennent dans l'étude son mouvement).
:
Un référentiel (R) est un objet matériel solide
et étendu (de grande dimension) par rapport
auquel on étudie le mouvement d'un mobile.
Exemple : le quai de gare, le wagon d'un train :
Pour faire une étude quantitative de ce
mouvement il est nécessaire de définir un
repère d'espace et un repère de temps liés à
ce référentiel.
Dans l'espace physique à trois dimensions, un repère d'espace est un être
mathématique défini par un point O particulier du référentiel et par trois
vecteurs unitaires
i
→
,
j
→
et
k
→
non parallèles :
(O,
i
→
,
j
→
,
k
→
).
On doit définir également un repère de temps (O’,
e
→
) en choisissant un instant particulier
(déclenchement du chronomètre, naissance de Jésus-Christ ...) et une unité de durée (en
général la seconde).
Lorsqu'un événement E a lieu dans le référentiel (R), on peut le repérer par le point M,
l'endroit où il a lieu, et l'instant τ où il se produit.
Le repère d'espace (O,
i
→
,
j
→
,
k
→
) et le repère de temps (O’,
e
→
) associés à E, permettent de
caractériser l'événement E par ses coordonnées (x, y, z) et sa date (t).
Remarque : M est le nom d'un point (un lieu) et x est un nombre (une abscisse) ; de la même
façon, τ est le nom d'un instant et t est un nombre (une date).
Du point de vue du vocabulaire, on doit dire "à l'instant τ de date t" ou "à
l'instant de date t" mais pas "à l'instant t" comme on dit "au point M d'abscisse
x" ou "au point d'abscisse x" : on ne dit jamais "au point x".

Cinématique de Newton
Page 12 Christian BOUVIER
3) Position d'un mobile
a) Vecteur déplacement et rayon vecteur :
:
On s'intéresse au mouvement d'un point mobile P par rapport à un référentiel (R), à
chaque instant τ, P coïncide avec un point M de (R). Soit O, un point fixe de (R).
A un instant τ quelconque où P coïncide avec un point M : Le vecteur
OM
→ =
r
→
est appelé vecteur rayon vecteur du mobile P à l'instant τ.
Lors du mouvement de P le rayon vecteur évolue au cours de temps,
→)t(OM
= r t( )
→ est une fonction vectorielle de la date t.
A deux instants différents τ1 et τ2 le mobile P coïncide avec les points
M1 et M2.
Le vecteur
→
2
1MM
est le vecteur déplacement du mobile P entre les instants τ1 et τ2.
b) Coordonnées cartésiennes :
On peut lier au référentiel (R) un repère d'espace (O,
i
→
,
j
→
,
k
→
) cartésien
OM
→
. Le rayon
vecteur (t) = r t( )
→
est caractérisé par ses composantes x, y
et z, qui sont aussi les coordonnées cartésiennes du point M.
On appelle lois horaires du mouvement de P dans le référentiel
(R) les trois fonctions scalaires x = x(t), y = y(t) et z = z(t).
L'étude du mouvement de P consiste à déterminer la fonction
vectorielle
OM t( )
→
= r t( )
→
donc les trois lois horaires x = x(t),
y = y(t) et z = z(t) liées par la relation :
OM t( )
→ = r t( )
→ = x(t).
i
→
+ y(t).
j
→
+ z(t).
k
→
ou
OM t( )
→
= r t( )
→
=
=
=
)t(zz )t(yy )t(xx
c) Abscisse curviligne :
Dans certains cas la trajectoire du mobile P est connue ou imposée (glissière, rail ...), elle
peut alors servir à repérer la position du mobile. (schéma)
On munit la courbe trajectoire d'une origine O et d'un sens positif d'orientation (sans
relation avec le sens effectif du mouvement) et d'une unité de mesure de longueur.
La position du mobile est alors définie par le scalaire s(t) = OM(t) qui constitue la loi
horaire du mouvement du mobile en coordonnée curviligne.
Il existe d'autres façons (coordonnées sphériques, hyperboliques, locales ...).
II) Vecteur vitesse
1)
:
Définition
a) Etude théorique :
:
A un instant τ de date t le point mobile P coïncide avec un point M du référentiel (R), à un
instant τ' de date t' il coïncide avec un point M'. Par définition, le vecteur vitesse moyenne
entre ses deux instants est : →
V
=
→
−
t't
'MM =
→→
−
−t't OM'OM
Si on fait tendre t' vers t le rapport tend vers une limite vectorielle (direction, sens et
mesure) qu'on appelle vitesse instantanée du mobile P à la date t dans le référentiel (R) :
v t( )
→
=
lim
't t→
(
→→
−
−t't OM'OM
) = →
dt
)t(OMd =
→
dt )t(rd

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne
Ecole Européenne de Francfort Page 13
Remarque : Nous admettrons que le vecteur vitesse instantanée du point mobile est
tangent à la trajectoire au point coïncidant et qu'il a le sens du mouvement.
b) Etude pratique :
On utilise une table à air pour
enregistrer le mouvement de la
projection G du centre d'inertie G0
d'un mobile autoporteur.
Un système de repérage (étincelle,
encre, caméra …) enregistre la
position de G à intervalles de
temps ∆t successifs égaux.
Le point G occupe successivement les position M1, M2, M3 …
Pour déterminer les caractéristiques du vecteur vitesse en un point quelconque Mi, on
considère le point Mi − 1 enregistré juste avant, et le point Mi + 1 enregistré juste après.
Nous admettrons que le rapport vi =
t.2 MM 1i1i ∆+−
donne une bonne approximation de la
mesure de la vitesse au point Mi, et que le segment Mi − 1Mi + 1 donne une bonne
approximation de la direction du vecteur vitesse. Pour construire le "représentant" du
vecteur vitesse au point Mi, il faut, de plus, se donner une échelle de représentation.
On représente le vecteur vitesse
→
i
v du mobile au point Mi par une flèche dont :
- l'origine est le point Mi lui-même,
- la direction est celle du segment Mi − 1Mi + 1,
- le sens est celui du déplacement,
- la longueur est proportionnelle à la mesure du vecteur vitesse (échelle).
Ici, on donne ∆t = 50 ms
On veut représenter les vecteurs
→
6
v
et
→
8
v
avec une échelle de : 1 cm → 2 cm/s
- on mesure M5M7 = 1,7 cm
- on mesure M7M9 = 1,8 cm
- on calcule v6 =
t.2 MM 75∆
=
05,02
7,1
x = 17 cm/s
- on calcule v8 =
t.2 MM 87∆
=
05,02
8,1
x = 18 cm/s
- on trace une droite passant par M6, parallèle au segment M5M7
- à partir du point M6, on trace une "flèche" de longueur :
l6 = 17/2 = 8,5 cm
- on trace une droite passant par M8 et parallèle au segment M7M9
- à partir du point M8, on trace une "flèche" de longueur :
l8 = 17/2 = 9,0 cm
Remarque : Si on choisi un intervalle de temps ∆t plus petit, la distance entre les différents
points Mi sera plus courte, mais on peut imaginer que le rapport
t.2 MM
1i1i ∆ +− tend
vers une limite et que la droite passant par Mi − 1 et Mi + 1 a une direction qui
tend vers celle de la tangente à la trajectoire en Mi : c'est la définition de la
dérivée vectorielle vue dans l'étude théorique du § II) 1) a).

Cinématique de Newton
Page 14 Christian BOUVIER
2) Expression du vecteur vitesse
a) En coordonnées cartésiennes :
:
On lie au référentiel (R) un repère d'espace (O,
i
→
,
j
→
,
k
→
) cartésien.
Soit
OM t( )
→
=
r
→
(t) = x(t).
i
→
+ y(t).
j
→
+ z(t).
k
→
par dérivation par rapport au temps on a :
v t( )
→
=
dr t
dt
( )
→
= d
dt
(x(t).
i
→
+ y(t). j
→
+ z(t).
k
→
) = d
dt
[x(t).
i
→
] +
d
dt
[y(t).
j
→
] + d
dt
[z(t).
k
→
], or les
vecteurs
i
→
,
j
→
et
k
→
qui sont liés au référentiel, sont constants, d'où :
v t( )
→
=
dr t
dt
( )
→
=
dx t
dt
( )
.
i
→
+
dy t
dt
( )
.
j
→
+
dz t
dt
( )
.
k
→
=
x t
•( )
.
i
→
+
y t
•( )
.
j
→
+ z t
•( ).
k
→
ou sous forme matricielle
v t( )
→
==
==
==
•
•
•
)t(z
dt )t(dz
v
)t(y
dt )t(dy
v
)t(x
dt )t(dx
v
z
y
x
b) En coordonnées curvilignes :
On définit la mesure algébrique de la vitesse du mobile à un instant de date t par :
v t( )
=
ds t
dt
( )
=
s t
•( )
Pour retrouver le vecteur vitesse il faut se souvenir que
v
→
(t) est porté par la tangente à la
trajectoire au point coïncidant.
On définit donc le vecteur unitaire tangent
→)t(T
dont le sens est le même que celui choisi
arbitrairement pour orienter positivement la trajectoire.
On a alors :
v t( )
→
=
v t( )
.
T t( )
→
Remarque : le vecteur unitaire tangent T t( )
→
a une direction qui évolue au cours du temps :
ce n'est pas un vecteur constant !
Remarque : il ne faut pas confondre :
v t( )
→
vecteur vitesse,
v t
( )
mesure algébrique de la
vitesse et v(t) norme ou mesure de la vitesse.
III) Vecteur accélération
1)
:
Définition
Intuitivement on sait que l'accélération représente le "taux de variation de la vitesse".
:
Par définition le vecteur accélération moyenne entre deux instants de dates t et t' est :
A
→
=
→→
−
−t't )t(v)t('v
Si on fait tendre t' vers t le rapport tend vers une limite vectorielle qu'on appelle vecteur
accélération du mobile P à la date t dans le référentiel (R) :
a t( )
→
=
lim
't t→
(
→→
−
−t't )t(v)t('v
) =
→
dt
)t(vd =
→
2
2
dt
)t(rd

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne
Ecole Européenne de Francfort Page 15
De la même façon que pour le vecteur vitesse, on peut vouloir représenter le vecteur
accélération d'un mobile autoporteur pour étudier son mouvement.
Pour déterminer les caractéristiques du vecteur accélération en un point quelconque Mi,
on doit considérer le vecteur vitesse au point Mi − 1, et le vecteur vitesse au point Mi + 1.
Nous admettrons que la différence vectorielle ∆
→
i
v
=
→
+1i
v
--
→
−1i
v
donne une bonne
approximation de la direction du vecteur accélération.
On représente le vecteur accélération
→
i
a
du mobile au point Mi par une flèche dont :
- l'origine est le point Mi lui-même,
- la direction est celle du vecteur ∆
→
i
v
=
→
+1i
v
--
→
−1i
v
,
- le sens est celui du vecteur ∆
→
i
v
=
→
+1i
v
--
→
−1i
v
,
- la longueur est proportionnelle à la mesure du vecteur accélération ai =
→→
−+
∆
−
t.2 vv 1i1i
.
Ici encore, on donne ∆t = 50 ms
On veut représenter
le vecteur
→
7
a
- avec une échelle
des vitesses de :
1 cm → 2 cm/s
- et avec une échelle
des accélérations de :
1 cm → 10 cm/s2.
- on fait un "transport parallèle" de
→
6
v
pour que son extrémité coïncide avec le point M7.
- on fait un "transport parallèle" de
→
8
v
pour que son origine coïncide avec l'origine de
→
6
v
.
- de cette façon, le représentant de ∆
→
7
v
=
→
8
v
--
→
6
v
est simplement la "flèche" qui a pour
origine, le point M7 lui-même (extrémité de
→
6
v
) et pour extrémité, celle de
→
8
v
.
- on mesure la longueur du représentant de ∆
→
7
v
=
→
8
v
--
→
6
v
, on trouve 5,4 cm.
- en utilisant l'échelle des vitesses, on obtient ∆
→
7
v
 = 
→
8
v
--
→
6
v
 = 10,8 cm/s.
- on calcule a7 =
→→
∆
−
t.2 vv
68
=
05,02
8,10
x = 108 cm/s2.
- à partir du point M7, on trace une "flèche" parallèle à ∆
→
7
v
=
→
8
v
--
→
6
v
et de longueur :
l6 = 108/10 = 10,8 cm