Mouvement d`un point matériel sur une sextique

¤ PCSI ¤ 2006/2007. Durée : 2h. Calculatrice autorisée.
Physique. Devoir Surveillé 1.
Exercice 1. Mouvement d'un point matériel sur une sextique.
Un point matériel M se déplace sur une courbe plane dont l'équation polaire est :
3
4 cos 3 OM r b
avec
3
0, 2
et b une constante,
à une vitesse angulaire constante .
1. Donner avec soin l’allure de la courbe dans le plan cartésien (xOy).
Déterminer, en coordonnées polaires, l'expression du vecteur vitesse du point matériel M.
Déterminer la norme de ce vecteur vitesse.
2. On rappelle que la norme du vecteur vitesse est liée au déplacement élémentaire ds sur la courbe
par la relation :
ds ds
vdt d
.
Déterminer la longueur L de la courbe.
3. Déterminer la durée T du mouvement sur l’intervalle
3
0, 2
.
4. Déterminer les composantes radiale et orthoradiale de l'accélération.
On lance maintenant le point matériel de la position A correspondant à
0
avec une vitesse initiale vo
tangente à la courbe en A. Les frottements du point matériel sur la courbe font que la norme de sa vitesse
décroît selon la loi
dv v
dt
avec un coefficient positif. Attention, dans cette partie la vitesse angulaire
n’est plus une constante.
5. Que doit valoir le paramètre pour que le point matériel s'arrête au point B tel que
32
.
Exercice 2. Trajectoire circulaire d’un mobile.
Dans le référentiel terrestre , Un point M décrit une trajectoire circulaire de centre C et de rayon R dans le
plan de figure (xOy). Il est repéré en coordonnées polaires comme l’indique la figure ci-dessous et se
déplace avec une vitesse angulaire
o
constante.
1. Déterminer la relation r = f( ) de la trajectoire de M en coordonnées polaires.
2. Exprimer dans la base
,,
rz
u u u
, les vecteurs vitesse et accélération de ce point par rapport au
référentiel terrestre. Quelles sont leurs normes respectives ?
3. Montrer que le vecteur accélération de ce point peut s’exprimer simplement en fonction de
o
et du vecteur
CM
. En déduire que le mouvement de M est circulaire uniforme et qu’il
s’effectue avec une vitesse angulaire que vous préciserez.

Exercice 3. Etude d’un réseau.
On considère le réseau suivant :
1. Après avoir recopié le schéma sur votre copie, faites figurer en fonction de Ip, I et Io les
différentes intensités présentes dans les branches de ce réseau.
2. Déterminer les expressions de Ip et I en fonction de E, R et Io.
3. Déterminer l’expression de
BM
u
en fonction de E, R et Io.