Thème 1: Arithmétique TL spé Division euclidienne dans l’ensemble des entiers naturels ℕ Propriété : soient a et b deux entiers naturels, b non nul, il existe un unique entier naturel q et un unique entier naturel r tel que a = bq + r avec 0 ≤ r < b Définition : effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver les deux entiers uniques q (appelé quotient) et r (appelé reste) vérifiant les conditions précédentes. Remarque : pour obtenir ces entiers q et r, on pose la division de a par b. Exemples : division euclidienne de 33 par 7 : 33 = 7 × 4 + 5 de 117 par 13 : 117 = 9 × 13 + 0 on dit dans ce cas que ….. de 129 par 13 : 129 = 9 × 13 + 12 Déterminer le quotient et le reste de la division de 351 par 7, de 21458 par 12. Voici un algorithme permettant de réaliser la division euclidienne d’un entier a par un entier b. C’est donc un procédé, une méthode dont l’exécution pas à pas, qui est ici appliquée à deux entiers naturels a et b conduit à déterminer p et q.Voilà comment l’exécuter avec un tableur du type openoffice. A B Valeur de a Valeur de b 3 Quotient q =ENT(A2/B2) 4 Reste r =A2-B2*B3 1 2 Analyser les formules entrées dans la colonne B pour justifier que cet algorithme est correct. La commande « ENT » donne la partie entière d’une expression ( le nombre avant la virgule). Exercice 1 : La division euclidienne de l’entier naturel a par l’entier naturel b donne pour quotient q et pour reste r . La division euclidienne de ( a + 15) par (b + 5) donne q pour quotient et r comme reste. Déterminer la valeur de q. Exercice 2 : D’une part la division euclidienne de l’entier naturel a par 7 donne pour reste 3 et d’autre part 100 ≤ a ≤ 120 . Déterminer les valeurs possibles de a . Exercice 3 : On effectue la division euclidienne d’un entier a par 29, on trouve un reste égal à 12. On effectue la division euclidienne d’un entier b par 29, on trouve un reste égal à 5. 1) Quelle sera le reste de la division euclidienne de (a+b) par 29 ? 2) De façon générale, peut on affirmer que le reste de la division euclidienne de (a+b) par 29 est égal à la somme des restes des divisions euclidiennes de a par 29 et de b par 29 ? Exercice 4 : démontrer la propriété suivante : si a est multiple de b et si b est multiple de a, alors a=b ou a=-b . Exercice 5 : Démontrer que tout nombre entier et son carré ont la même parité. indication : raisonner par disjonction des cas. Qu’est-ce qu’un nombre pair ? Qu’est-ce qu’un nombre impair ? Exercice 6 : a et b sont des entiers relatifs. Montrer que si a²+b² est un multiple de 2 alors (a+b)² est multiple de 2. Que penser de la réciproque ? Exercice 7 : En base 10, un nombre N s’écrit 35a 4 . Pour quelle(s) valeur(s) de a ce nombre est divisible par 9 ? Exercice 8 : n est un entier naturel, on considère le nombre A=n(n+1)(2n+1). 1. démontrer que A est multiple de 2. 2. démontrer que A est multiple de 3. indication : raisonner par disjonction des cas : n=3k, n=3k+1, n=3k+2. 3. A est-il divisible par 5 pour tout entier naturel n pair ? Utiliser d’autres algorithmes A) Ecrire en base b un nombre donné en base 10. Rappel : Pour écrire un nombre entier N dans une base b on décompose ce nombre dans l’ordre des puissances décroissantes de la base : Le nombre N s’écrit de façon unique sous la forme : N = an × b n + ..................... + a2 × b 2 + a1 × b1 + a0 × b0 avec : - n un entier naturel - b la base de numération - ai les chiffres associés à la base tels que 0 ≤ ai < b On utilise la méthode de décomposition d’un nombre dans une base par la méthode des divisions successives . Cette méthode consiste à diviser le nombre plusieurs fois ( si nécessaire) dans la base choisie jusqu’à obtenir un quotient nul. Les restes successifs des divisions , pris dans l’ordre inverse, forment le nombre désiré. Exemple Exprimer en base 10 : 12345huit ; 53 AB douze ; 11011101deux Quel est le nombre qui s’écrit : A1045 BC 27 seize Comment écrire le nombre 475 en base sept ? Déterminer une méthode ou un programme de calcul permettant d’ écrire dans une base quelconque un nombre connu par son écriture décimale . Applications Ecrire - 1 261 en base huit. - 1023 et base deux - 423 en base quatre - 14 235 en base 7 - 1 261 et base 8 Applications : 1) (d'après Bac TL spé 2007) On considère l’algorithme suivant : Entrée : a un entier naturel. Initialisation : L liste vide Affecter la valeur a à x. Traitement : Tant que x > 0 ; Effectuer la division euclidienne de x par 7 ; Affecter son reste à r et son quotient àq; Mettre la valeur de r au début de la liste L ; Affecter q à x. Sortie : Afficher les éléments de la liste L. r q initialisation L x vide 486 fin étape 1 fin étape 2 ... ... Faire fonctionner cet algorithme pour a = 486. 2) Créer un algorithme d’essai de division par les nombres premiers successifs pour reconnaître si un entier donné est premier. PB : Comment savoir si un entier donné est premier ou non ? Théorème : Soit n entier naturel strictement supérieur à 1, alors : - n admet au moins un diviseur premier. -Si n n’est pas premier, il admet un diviseur premier p tel que p ≤ n