arithmétique et division euclidienne dans IN

Thème 1: Arithmétique TL spé
Division euclidienne dans l’ensemble des entiers naturels
ℕ
Propriété : soient a et b deux entiers naturels, b non nul, il existe un unique entier naturel q et un unique
entier naturel r tel que
a bq r
= +
avec 0
r b
≤ <
Définition : effectuer la division euclidienne de a par b , c’est trouver les deux entiers uniques q (appelé
quotient) et r (appelé reste) vérifiant les conditions précédentes.
Remarque : pour obtenir ces entiers q et r, on pose la division de a par b.
Exemples :
division euclidienne de 33 par 7 :
33 7 4 5
= × +
de 117 par 13 :
117 9 13 0
= × +
on dit dans ce cas que …..
de 129 par 13 :
129 9 13 12
= × +
Déterminer le quotient et le reste de la division de 351 par 7, de 21458 par 12.
Voici un algorithme permettant de réaliser la division euclidienne d’un entier a par un entier b.
C’est donc un procédé, une méthode dont l’exécution pas à pas, qui est ici appliquée à deux entiers naturels a
et b conduit à déterminer p et q.Voilà comment l’exécuter avec un tableur du type openoffice.
A B
1 Valeur de a Valeur de b
2
3 Quotient q =ENT(A2/B2)
4 Reste r =A2-B2*B3
Analyser les formules entrées dans la colonne B pour justifier que cet algorithme est correct.
La commande « ENT » donne la partie entière d’une expression ( le nombre avant la virgule).
Exercice 1 :
La division euclidienne de l’entier naturel
a
par l’entier naturel
b
donne pour quotient
q
et pour reste
r
. La
division euclidienne de
( 15)
a
+
par
( 5)
b
+
donne
q
pour quotient et
r
comme reste. Déterminer la valeur de
q
.

Exercice 2 :
D’une part la division euclidienne de l’entier naturel
a
par 7 donne pour reste 3 et d’autre part
100 120
a
≤ ≤
. Déterminer les valeurs possibles de
a
.
Exercice 3 :
On effectue la division euclidienne d’un entier a par 29, on trouve un reste égal à 12.
On effectue la division euclidienne d’un entier b par 29, on trouve un reste égal à 5.
1) Quelle sera le reste de la division euclidienne de ( a+b ) par 29 ?
2) De façon générale, peut on affirmer que le reste de la division euclidienne de ( a+b ) par 29 est égal à la
somme des restes des divisions euclidiennes de a par 29 et de b par 29 ?
Exercice 4 :
démontrer la propriété suivante :
si a est multiple de b et si b est multiple de a , alors a=b ou a=-b .
Exercice 5 :
Démontrer que tout nombre entier et son carré ont la même parité.
indication : raisonner par disjonction des cas.
Qu’est-ce qu’un nombre pair ?
Qu’est-ce qu’un nombre impair ?
Exercice 6 :
a
et b sont des entiers relatifs. Montrer que si a²+b² est un multiple de 2 alors ( a+b ) ² est multiple de 2.
Que penser de la réciproque ?
Exercice 7 :
En base 10, un nombre N s’écrit
35 4
a
. Pour quelle(s) valeur(s) de a ce nombre est divisible par 9 ?
Exercice 8 :
n
est un entier naturel, on considère le nombre A=n(n+1)(2n+1) .
1. démontrer que A est multiple de 2.
2. démontrer que A est multiple de 3.
indication : raisonner par disjonction des cas : n=3k, n=3k+1, n=3k+2.
3. A est-il divisible par 5 pour tout entier naturel n pair ?
Utiliser d’autres algorithmes
A) Ecrire en base
b
un nombre donné en base 10.
Rappel :
Pour écrire un nombre entier N dans une base
b
on décompose ce nombre dans l’ordre des puissances
décroissantes de la base :
Le nombre N s’écrit de façon unique sous la forme :
2 1 0
2 1 0
.....................
n
n
N a b a b a b a b
= × + + × + × + ×
avec :
-
n
un entier naturel
-
b
la base de numération
-
i
a
les chiffres associés à la base tels que 0
i
a b
≤ <

On utilise la méthode de décomposition d’un nombre dans une base par la méthode des divisions
successives .
Cette méthode consiste à diviser le nombre plusieurs fois ( si nécessaire) dans la base choisie jusqu’à
obtenir un quotient nul.
Les restes successifs des divisions , pris dans l’ordre inverse, forment le nombre désiré.
Exemple
Exprimer en base 10 :
12345
huit
;
53
douze
AB
;
11011101
deux
Quel est le nombre qui s’écrit :
1045 27
seize
A BC
Comment écrire le nombre 475 en base sept ?
Déterminer une méthode ou un programme de calcul permettant d’ écrire dans une base quelconque
un nombre connu par son écriture décimale .
Applications
Ecrire
- 1 261 en base huit.
- 1023 et base deux
- 423 en base quatre
- 14 235 en base 7
-
1 261 et base 8
Applications :
1) (d'après Bac TL spé 2007)
On considère l’algorithme suivant :
Entrée : a un entier naturel.
Initialisation : L liste vide
Affecter la valeur a à x.
Traitement : Tant que x > 0 ;
Effectuer la division euclidienne de
x par 7 ;
Affecter son reste à r et son q
uotient
à q ;
Mettre la valeur de r au début de la
liste L ;
Affecter q à x.
Sortie : Afficher les éléments de la
liste L.

r q L x
initialisation vide 486
fin étape 1
fin étape 2
...
...
Faire fonctionner cet algorithme pour a = 486.
2) Créer un algorithme d’essai de division par les nombres premiers successifs pour
reconnaître si un entier donné est premier.
PB : Comment savoir si un entier donné est premier ou non ?
Théorème : Soit n entier naturel strictement supérieur à 1, alors :
- n admet au moins un diviseur premier.
-Si n n’est pas premier, il admet un diviseur premier p tel que
p n
≤