DIVISION EUCLIDIENNE

DIVISION EUCLIDIENNE
Théorème:
Soit a un entier relatif et b un naturel non nul. Il existe un unique entier q et un unique entier naturel r tels que:
a = bq + r, avec 0 r <b.
Définition:
Trouver le couple d’entiers (q,r) , c'est effectuer la division euclidienne de a par b ; q est le quotient de la
division et r est le reste, a le dividente et b le diviseur.
Remarque:
Le reste de la division de a par b peut prendre b valeurs différentes: 0,1,…..,b-1.
Par exemple, si b=3, le reste peut être égal à 0,1 ou 2, donc tout entier a peut s'écrire, a=3q ou a=3q+1 ou
a=3q+2 avec q élément de  .
Propriétés:
1. b non nul divise a si et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
2. On peut étendre le théorème au cas où a est entier et b entier non nul:
Il existe un unique entier q et un unique entier naturel r tels que: a = bq + r avec 0 r < b.
Applications:
1. On sait que 5452635025287  .
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :
a. 287 025 par 635
b. - 287 025 par 635
c. 287 025 par 452
d. - 287 025 par 452.
2. Le dividende positif d'une division est inférieur à 900. Le quotient est 72 et le reste 12.
On cherche le diviseur et le dividende. Expliquer pourquoi il n'y a pas de solution.
3. Soit a et b deux entiers naturels.
Les restes de la division euclidienne de a et b par 11 sont respectivement 2 et 7.
Déterminer le reste de la division euclidienne des nombres ba
et ba par 11. En déduire celui de 22 ba .
4. Le reste de la division euclidienne de 557 par le naturel b est 89.
Déterminer les valeurs possibles de b et du quotient.
5. Montrer que tout entier n non divisible par 5 a un carré de la forme: 5p+1 ou 5p-1.