DIVISION EUCLIDIENNE Théorème: Soit a un entier naturel et b un naturel non nul. Il existe un unique entier naturel q et un unique entier naturel r tels que: a = bq + r, avec 0 r <b. Définition: Trouver le couple de naturels (q,r) , c'est effectuer la division euclidienne de a par b ; q est le quotient de la division et r est le reste. Remarque: Le reste de la division de a par b peut prendre b valeurs différentes: 0,1,…..,b-1. Par exemple, si b=3, le reste peut être égal à 0,1 ou 2, donc tout entier naturel a peut s'écrire, a=3q ou a=3q+1 ou a=3q+2 avec q élément de . Propriétés: 1. b divise a si et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est nul. 2. On peut étendre le théorème au cas où a est entier et b entier non nul: Il existe un unique entier q et un unique entier r tels que: a = bq + r avec 0 r < b . Applications: 1. On sait que 287 025 635 452 5 . Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de : a. 287 025 par 635 b. - 287 025 par 635 c. 287 025 par 452 d. - 287 025 par 452. 2. Le dividende positif d'une division est inférieur à 900. Le quotient est 72 et le reste 12. On cherche le diviseur et le dividende. Expliquer pourquoi il n'y a pas de solution. 3. Soit a et b deux entiers naturels. Les restes de la division euclidienne de a et b par 11 sont respectivement 2 et 7. Déterminer le reste de la division euclidienne des nombres a b et a b par 11. En déduire celui de a 2 b 2 . 4. Le reste de la division euclidienne de 557 par le naturel b est 89. Déterminer les valeurs possibles de b et du quotient. 5. Montrer que tout entier n non divisible par 5 a un carré de la forme: 5p+1 ou 5p-1.