Trigonométrie

Cours
F O N C T I O N S T R I G O N O M E T R I Q U E S
I
I I
I -
--
- GENERALITES
GENERALITES GENERALITES
GENERALITES
On munit le plan d'un repère orthonormal direct ( O , i ,
j
) ;
On note U le cercle trigonométrique ( centre O , rayon 1 , sens direct ).
Définition :
Soit x un réel
et M le point de U tel que l'angle orienté
OA ,OM
→ →
mesure x + 2kπ avec k ∈ Z.
Désignons par :
➥ C la projection orthogonale de M sur l'axe des abscisses ;
➥ S la projection orthogonale de M sur l'axe des ordonnées ;
➥ T l'intersection ( si elle existe ) de ( OM ) avec la tangente
en A au cercle trigonométrique.
cos
sin
tan
O
A
B
C
S
M
T
x
cos x est l'abscisse de M
sin x est l'ordonnée de M
Propriétés :
-1 ≤
≤≤
≤ cos x ≤
≤≤
≤ 1 -1 ≤
≤≤
≤ sin x ≤
≤≤
≤ 1 cos ² x + sin ² x = 1
Valeurs remarquables
x
en radians
0
6
π
4
π
3
π
2
π
π
cos
x
1
3
2
2
2
2
1
0
−1
sin
x
0
2
1
2
2
3
2
1 0
Formules d’addition Formules de duplication
cos ( a + b) = cosa cos b − sina sinb
cos ( a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin ( a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin ( a − b) = sin a cos b − cos a sin b
cos 2a = cos² a - sin² a
= 2 cos² a - 1
= 1 - 2 sin² a
sin 2a = 2 cos a sin a
I
II
II
II
I –
––
– REPRESENTATIONS GRAPHIQUES
REPRESENTATIONS GRAPHIQUESREPRESENTATIONS GRAPHIQUES
REPRESENTATIONS GRAPHIQUES
1 °) FONCTION COSINUS
La courbe est une sinusoïde
La fonction cosinus est paire et périodique de période
2
π
2 °) FONCTION SINUS
La courbe est une sinusoïde
La fonction sinus est impaire et périodique de période
2
π
III
III III
III –
––
– DER
DER DER
DERIV
IVIV
IVABILITE
ABILITEABILITE
ABILITE
Propriété 1 :
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
Propriété 3 :
La fonction sinus est dérivable sur R et sin’ = cos
La fonction cosinus est dérivable sur R et cos’ = − sin
Théorème : soit
u
une fonction dérivable sur I. Alors :
cos
u
est dérivable sur I et on a : ( cos
u
) ’ = −
−−
−
u
’ sin
u
sin
u
est dérivable sur I et on a : ( sin
u
) ’ =
u
’ cos
u
Propriété 2 :
La fonction sinus est dérivable en 0 et sin’(0) = 1
La fonction cosinus est dérivable en 0 et cos’(0) = 0