TD N 1 : Indépendance linéaire. Bases. Matrices

Mention Physique - L2 - Ann´ee 2012-2013
Licence de Sciences et Technologies
LP 207: Math´ematiques pour physiciens 2
TD N◦1 : Ind´ependance lin´eaire. Bases. Matrices
I. Espaces vectoriels. Ind´ependance lin´eaire. Bases, dimension
A)
a) On consid`ere les suites de pnombres r´eels X= (x1, x2,··· , xp). On d´efinit la somme et la
multiplication par un nombre r´eel par
(x1, x2,··· , xp)+(y1, y2,··· , yp) = (x1+y1, x2+y2,··· , xp+yp) (1)
λ(x1, x2,··· , xp) = (λx1, λx2,··· , λxp).(2)
Montrer que ces suites forment un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ? Donnez-en une
base. On l’appelle Rp, pourquoi ?
b) Soit αet βdeux nombres r´eels fix´es. On consid`ere les suites (u1, u2, ..., un, ...) d´efinies
par la relation de r´ecurrence un=αun−1+βun−2et par la donn´ee de u1et u2. Montrer qu’elles
forment un espace vectoriel E. Montrer que unest une fonction lin´eaire de u1et u2. Quelle est
la dimension de E? Donner une base de l’espace E.
B)
a) Rappeler quelle est la relation entre l’intensit´e ou la charge et la tension aux bornes des 3
´el´ements de circuit de la figure 1.a.
b) ´ Ecrire l’´equation diff´erentielle satisfaite par la charge du condensateur dans le circuit des
figures 1.b, c et d.
c) Les solutions de chaque cas forment-elles un espace vectoriel ? De quelle dimension ? Qu’est-
ce qui fixe la solution physique ?
V
C
L
(a) (b)
L
C
L
C
R
(c) (d)
L
12
I
12
R
I
I
12
Q!Q
C
Q
R
Figure 1: Circuits ´electriques
C) Les vecteurs suivants de R2ou de R3sont-ils lin´eairement ind´ependants ?
1

~a = (1,0) ~ b= (0,1) ~c = (1,1)
~a = (1,0,0) ~ b= (0,1,0) ~c = (0,0,1)
~a0= (1,1,0) ~ b0= (0,1,1) ~c0= (1,0,1)
~a00 = (1,1,0) ~ b00 = (0,1,1) ~c00 = (1,0,−1)
D) Pour chacune des ´equations diff´erentielles suivantes, donner la dimension de l’espace des
solutions puis une base de solutions r´eelles
(a) ¨x+ 4 ˙x+ 3x= 0
(b) ¨x+ 4x= 0
(c) ¨x+√3 ˙x+x= 0
E) Quel est le rang du syst`eme de vecteurs suivant ?
~a = (1,1,0) ~ b= (0,1,1) ~c = (1,0,1)
~a0= (1,1,0) ~ b0= (0,1,1) ~c0= (1,1,1)
~a00 = (1,1,0) ~ b00 = (0,1,1) ~c00 = (1,0,−1)
P1(x) = cos x P2(x) = sin x P3(x) = sin 2x
Q1(x) = cos2x Q2(x) = sin2x Q3(x) = cos 2x
II. Matrices
A) Quelle est la matrice du changement de base suivant
(~e1, ~e2)−→ (~e1, ~e1+~e2)
(~e1, ~e2)−→ (~e2, ~e1)
´
Ecrire comment se transforment les composantes d’un vecteur quand on passe d’une base dans
l’autre.
B) Calculer les produits de matrices suivants
3 2
1 2−1 0 2 2 0 1 1 0a b c d
a b
c d0 1 1 0 0 1 1 0a b c d0 1 1 0
0 1 0
1 0 1
0 1 0
2 3
−1 2
3 4
2 3 2
0 1 0
1 0 1
0 1 0
2

C) En m´ecanique quantique, on rencontre les matrices de Pauli
σ1=0 1
1 0σ2=0−i i0σ3=1 0 0−1.(3)
(a) Montrer qu’elles sont de trace nulle.
(b) Calculer les produits σi·σjpour toutes les paires (i, j).
(c) Pour j= 1 par exemple, que valent σ2
j, σ3 j,··· , σn j?
(d) Comment calculer eiασ1?
(e) ´ Ecrire les matrices σ+=1
2(σ1+iσ2) et σ−=1 2(σ1−iσ2). Calculer σ2
+,σ2 −,σ+σ−,σ−σ+.
D) Calculer les combinaisons JiJj−JjJipour les matrices
J1=
0 0 0
0 0 −i
0i0
J2=
0 0 i
0 0 0
−i0 0
J3=
0−i0
i0 0
0 0 0
et pour les matrices
J0
1=1
√2
0 1 0
1 0 1
0 1 0
J0
2=1
√2
0−i0
i0−i
0i0
J0
3=
1 0 0
0 0 0
0 0 −1
E) ?Soient les matrices A=
1 1 0
0 1 1
0 0 1
T=
0 1 0
0 0 1
0 0 0
Calculer T2,T3et Tnpour nentier quelconque.
En ´ecrivant A=I+T, calculer Anpour nentier quelconque.
Calculer l’inverse de la matrice A.
Calculer l’exponentielle eApar son d´eveloppement en s´erie.
III. Transformations g´eom´etriques ; applications lin´eaires
A) Dans l’espace R3, les transformations suivantes sur le vecteur ~ X=−−→ OM sont-elles des
transformations lin´eaires
1. rotation d’angle αautour d’un axe passant par le point O ?
2. homoth´etie de centre O et de facteur f?
3. translation par un vecteur ~ V,−−→ OM0=−−→ OM +~ V?
4. r´eflexion par rapport `a un plan passant par O ?
B) Soit la rotation R(α) d’angle αdans le plan autour de l’origine. ´ Ecrire la transformation
par cette rotation des vecteurs ~e1, ~e2d’un rep`ere orthonorm´e. ´ Ecrire la matrice de rotation
R(α).
Par un raisonnement g´eom´etrique, donner l’expression de R(α)R(β) et de R−1(α), puis v´erifier
par le calcul matriciel. Que vaut la transpos´ee R(α)T?
3

C) a) Dans l’espace R2dot´e d’une base orthonorm´ee ~e1, ~e2, quelle est la matrice de la r´eflexion
par rapport `a la droite passant par O et colin´eaire `a ~e1?
Que devient cette matrice dans la base ~ f1,~ f2obtenue `a partir de la pr´ec´edente par rotation de
π/4 ?
b) Dans l’espace R3dot´e d’une base orthonorm´ee ~e1, ~e2, ~e3, quelle est la matrice de la r´eflexion
par rapport au plan passant par O et engendr´e par les vecteurs ~e1, ~e2? Mˆeme question pour la
projection orthogonale sur ce plan.
D)
1. Quel est le noyau, quelle est l’image des 3 applications lin´eaires du A) ? des 2 du C) ?
2. Dans l’espace des polynˆomes en xde degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3, on consid`ere l’application
D:P(x)7→ Q(x) = P0(x). Est-ce un op´erateur lin´eaire ? Quelle est sa matrice dans la base
{1, x, x2, x3}? Quel est le noyau, quelle est l’image de D?
E) Soit le vecteur ~ω = (α, β, γ) dans l’espace R3. On consid`ere l’application lin´eaire qui `a un
vecteur quelconque ~r = (x, y, z) de R3associe ~r0=~ω ∧~r.
L’application est-elle lin´eaire ? Pourquoi ?
Quelle est la matrice de cette application ? D´eterminer le noyau et l’image de l’application.
IV. Application aux quadripˆoles ´electriques
Matrices de transfert (ou transmission), d’imp´edance et d’admittance d’un quadrupˆole (ou
quadripˆole) ´electrique
V2
i2=T11 T12 T21 T22V1 i1 V1 V2=Z11 Z12 Z21 Z22i1 i2
i1
i2=Y11 Y12 Y21 Y22V1 V2
Quelle relation y-a-t-il entre les matrices d’imp´edance Zet d’admittance Y?
Exemple d’un transformateur, avec des bobinages de self-inductance L1et L2et d’inductance
2
i1i3
V
3
V
1
i1
i1i2
i2
V
1
V
2
i1
L1L2
i2
i1i2
V
1V
2
i’
1
i’’
1
i’
2
i’’
2
V
2
V
1
i1i2
V
2
V’
1
V’
2
V’’
2
V’’
1
i
M
’ ’’
’
’’
’
’’
Figure 2: Circuit quadripolaire. Transformateur. Quadripˆoles en s´erie, en parall`ele, en cascade
mutuelle M, suppos´es de r´esistances n´egligeables. ´ Ecrire l’expression de V1et V2en fonction
de i1et i2, puis la matrice d’imp´edance pour des courants et intensit´es de fr´equence ω.
Lois de composition pour des quadripˆoles en s´erie, en parall`ele, en cascade (figure 2). Quelle
est la matrice Z,Tou Yqui se prˆete le mieux au calcul de cette composition, dans chaque
cas ?
4