TD N 1 : Indépendance linéaire. Bases. Matrices

Mention Physique - L2 - Année 2012-2013
Licence de Sciences et Technologies
LP 207: Mathématiques pour physiciens 2
TD N◦1 : Indépendance linéaire. Bases. Matrices
I. Espaces vectoriels. Indépendance linéaire. Bases, dimension
A)
a) On considère les suites de p nombres réels X = (x1 , x2 , · · · , xp ). On définit la somme et la
multiplication par un nombre réel par
(x1 , x2 , · · · , xp ) + (y1 , y2 , · · · , yp ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , · · · , xp + yp )
λ(x1 , x2 , · · · , xp ) = (λx1 , λx2 , · · · , λxp ) .
(1)
(2)
Montrer que ces suites forment un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ? Donnez-en une
base. On l’appelle Rp , pourquoi ?
b) Soit α et β deux nombres réels fixés. On considère les suites (u1 , u2 , ..., un , ...) définies
par la relation de récurrence un = αun−1 + βun−2 et par la donnée de u1 et u2 . Montrer qu’elles
forment un espace vectoriel E. Montrer que un est une fonction linéaire de u1 et u2 . Quelle est
la dimension de E ? Donner une base de l’espace E.
B)
a) Rappeler quelle est la relation entre l’intensité ou la charge et la tension aux bornes des 3
éléments de circuit de la figure 1.a.
b) Écrire l’équation différentielle satisfaite par la charge du condensateur dans le circuit des
figures 1.b, c et d.
c) Les solutions de chaque cas forment-elles un espace vectoriel ? De quelle dimension ? Qu’estce qui fixe la solution physique ?
1
Q
!Q
C
I
2
1
2
R
I
1
2
L
(a)
L
I
L
R
V
L
C
C
C
(b)
(c)
(d)
Q
Figure 1: Circuits électriques
C) Les vecteurs suivants de R2 ou de R3 sont-ils linéairement indépendants ?
1
R
~b = (0, 1)
~a = (1, 0)
~c = (1, 1)
~a = (1, 0, 0)
~b = (0, 1, 0)
~c = (0, 0, 1)
~a0 = (1, 1, 0)
~b0 = (0, 1, 1)
~c0 = (1, 0, 1)
~a00 = (1, 1, 0) ~b00 = (0, 1, 1) ~c00 = (1, 0, −1)
D) Pour chacune des équations différentielles suivantes, donner la dimension de l’espace des
solutions puis une base de solutions réelles
(a)
ẍ + 4ẋ + 3x = 0
(b)
ẍ + 4x = 0
√
ẍ + 3ẋ + x = 0
(c)
E) Quel est le rang du système de vecteurs suivant ?
~a = (1, 1, 0)
~b = (0, 1, 1)
~c = (1, 0, 1)
~a0 = (1, 1, 0)
~b0 = (0, 1, 1)
~c0 = (1, 1, 1)
~a00 = (1, 1, 0)
~b00 = (0, 1, 1) ~c00 = (1, 0, −1)
P1 (x) = cos x
P2 (x) = sin x P3 (x) = sin 2x
Q1 (x) = cos2 x Q2 (x) = sin2 x Q3 (x) = cos 2x
II. Matrices
A) Quelle est la matrice du changement de base suivant
(~e1 , ~e2 )
−→ (~e1 , ~e1 + ~e2 )
(~e1 , ~e2 )
−→
(~e2 , ~e1 )
Écrire comment se transforment les composantes d’un vecteur quand on passe d’une base dans
l’autre.
B) Calculer les produits de matrices suivants
3 2
−1 0
1 2
2 2
a b
0 1
c d
1 0



0 1 0
2 3
1 0 1 −1 2
0 1 0
3 4
0 1
a b
1 0
c d
0 1
a b
0 1
1 0
c d
1 0


0
1
0
2 3 2 1 0 1
0 1 0
2
C) En mécanique quantique, on rencontre les matrices de Pauli
0 1
0 −i
1 0
σ1 =
σ2 =
σ3 =
.
1 0
i 0
0 −1
(3)
(a) Montrer qu’elles sont de trace nulle.
(b) Calculer les produits σi · σj pour toutes les paires (i, j).
(c) Pour j = 1 par exemple, que valent σj2 , σj3 , · · · , σjn ?
(d) Comment calculer eiασ1 ?
2
2
, σ+ σ− , σ− σ+ .
, σ−
(e) Écrire les matrices σ+ = 21 (σ1 + iσ2 ) et σ− = 12 (σ1 − iσ2 ). Calculer σ+
D) Calculer les combinaisons Ji Jj − Jj Ji pour les matrices




0 0 0
0 0 i
J1 = 0 0 −i
J2 =  0 0 0
0 i 0
−i 0 0


0 −i 0
J3 =  i 0 0
0 0 0
et pour les matrices


0 1 0
1
J10 = √ 1 0 1
2 0 1 0


0 −i 0
1
J20 = √  i 0 −i
2 0 i
0


1 0 0
J30 = 0 0 0 
0 0 −1




1 1 0
0 1 0
E) ? Soient les matrices A = 0 1 1
T = 0 0 1
0 0 1
0 0 0
2
3
n
Calculer T , T et T pour n entier quelconque.
En écrivant A = I + T , calculer An pour n entier quelconque.
Calculer l’inverse de la matrice A.
Calculer l’exponentielle eA par son développement en série.
III. Transformations géométriques ; applications linéaires
−→
~ = −
A) Dans l’espace R3 , les transformations suivantes sur le vecteur X
OM sont-elles des
transformations linéaires
1. rotation d’angle α autour d’un axe passant par le point O ?
2. homothétie de centre O et de facteur f ?
−−→ −−→
3. translation par un vecteur V~ , OM 0 = OM + V~ ?
4. réflexion par rapport à un plan passant par O ?
B) Soit la rotation R(α) d’angle α dans le plan autour de l’origine. Écrire la transformation
par cette rotation des vecteurs ~e1 , ~e2 d’un repère orthonormé. Écrire la matrice de rotation
R(α).
Par un raisonnement géométrique, donner l’expression de R(α)R(β) et de R−1 (α), puis vérifier
par le calcul matriciel. Que vaut la transposée R(α)T ?
3
C) a) Dans l’espace R2 doté d’une base orthonormée ~e1 , ~e2 , quelle est la matrice de la réflexion
par rapport à la droite passant par O et colinéaire à ~e1 ?
Que devient cette matrice dans la base f~1 , f~2 obtenue à partir de la précédente par rotation de
π/4 ?
b) Dans l’espace R3 doté d’une base orthonormée ~e1 , ~e2 , ~e3 , quelle est la matrice de la réflexion
par rapport au plan passant par O et engendré par les vecteurs ~e1 , ~e2 ? Même question pour la
projection orthogonale sur ce plan.
D)
1. Quel est le noyau, quelle est l’image des 3 applications linéaires du A) ? des 2 du C) ?
2. Dans l’espace des polynômes en x de degré inférieur ou égal à 3, on considère l’application
D : P (x) 7→ Q(x) = P 0 (x). Est-ce un opérateur linéaire ? Quelle est sa matrice dans la base
{1, x, x2 , x3 } ? Quel est le noyau, quelle est l’image de D ?
E) Soit le vecteur ω
~ = (α, β, γ) dans l’espace R3 . On considère l’application linéaire qui à un
vecteur quelconque ~r = (x, y, z) de R3 associe ~r0 = ω
~ ∧ ~r.
L’application est-elle linéaire ? Pourquoi ?
Quelle est la matrice de cette application ? Déterminer le noyau et l’image de l’application.
IV. Application aux quadripôles électriques
Matrices de transfert (ou transmission), d’impédance et d’admittance d’un quadrupôle (ou
quadripôle) électrique
V2
T11 T12
V1
V1
Z11 Z12
i1
=
=
i2
T21 T22
i1
V2
Z21 Z22
i2
i1
Y11 Y12
V1
=
i2
Y21 Y22
V2
Quelle relation y-a-t-il entre les matrices d’impédance Z et d’admittance Y ?
Exemple d’un transformateur, avec des bobinages de self-inductance L1 et L2 et d’inductance
i1
i2
M
i
V2
V1
i1
V1
V’’
1
L1
L2
i
2
i2
i
i1
V’1
1
’
’’
i
2
1
i’1
V’2
V2
V’’
2
V1
i’2
i2
i1
’
i’’2
i’’1
V2
V
1
i2
’
V2
i3
’’
V
3
’’
Figure 2: Circuit quadripolaire. Transformateur. Quadripôles en série, en parallèle, en cascade
mutuelle M , supposés de résistances négligeables. Écrire l’expression de V1 et V2 en fonction
de i1 et i2 , puis la matrice d’impédance pour des courants et intensités de fréquence ω.
Lois de composition pour des quadripôles en série, en parallèle, en cascade (figure 2). Quelle
est la matrice Z, T ou Y qui se prête le mieux au calcul de cette composition, dans chaque
cas ?
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