Cours 2. Applications linéaires - Espace d`authentification univ

Cours 2: Applications lin´eaires 1
Cours 2. Applications lin´eaires

Cours 2: Applications lin´eaires 2
R´esum´e du dernier cours
— Rappel des vecteurs cartesiens en 2 et 3 dimensions :
g´eom´etrique, ind´ependant du choix du rep`ere, addition par
la r`egle du parall´elogramme.
— Introduction aux espaces vectoriels (sur les r´eels) :
combinaisons lin´eaires, lin´eairement stable, lin´eaire
ind´ependance, une base, la dimension d’un espace vectoriel,
sous-espace vectoriel.

Cours 2: Applications lin´eaires 3
R´esum´e du dernier cours
— Un combinaison lin´eaire des vecteurs ~u et ~v est un autre
vecteur ~w :
a~u +b~v =~w, a, b ∈R.(1)
— Un ensemble des vecteurs Eest lin´eairement stable si et
seulement si chaque combinaison lin´eaire des vecteurs
{~u1, ~u2, . . . , ~un} ∈ Edonne un vecteur qui est aussi dans E:
a1~u1+a2~u2+. . . +an~un=~w ∈E, ∀a1, a2, . . . , an∈R.
(2)
— Un ensemble des vecteurs qui est lin´eairement stable est un
espace vectoriel.
— Rappel : il y a toujours un vecteur ~ 0 dans un espace

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vectoriel. Par exemple, la collection des points sur une droite
qui ne passe pas par l’origine n’est pas un espace vectoriel.
— Un ensemble Cde nvecteurs {~u1, ~u2, . . . , ~un}dans un espace
vectoriel E(i.e. C⊂E), est lin´eairement ind´ependant ssi
a1~u1+a2~u2+. . . +an~un=~ 0 =⇒a1=a2=. . . =an= 0.
(3)
Autrement dit : Prenez un des vecteurs, par exemple ~u1. On
ne peux pas trouvez a2, a3,...antel que
−a1~u1=a2~u2+. . . +an~unsauf la solution triviale a1= 0 et
a2=a3=. . . =an= 0. On peut visualiser ¸ca avec l’exemple
{~u1, ~u2, ~u3}={
~
i,~ j, ~ k}.
— Soit Eun espace vectoriel. Un ensemble des vecteurs C
engendre aEs’il est possible d’´ecrire tous les vecteurs
comme une combinaison lin´eaire des vecteurs dans C.
a. 1re personne du singulier du pr´esent de l’indicatif du verbe engendrer.

Cours 2: Applications lin´eaires 5
— Une base pour l’espace Eest le plus petit ensemble des
vecteurs qui engendre l’espace E.
— La dimension de Eest le nombre des vecteurs dans une base
de E.
— Un sous-espace vectoriel est une partie (i.e. un
sous-ensemble) d’un espace vectoriel qui est aussi un espace
vectoriel (parce que cette partie est lin´eairement stable). Par
exemple, l’ensemble des points sur une droite qui pas par
l’origine est un espace vectoriel qui est aussi un partie d’un
l’espace vectoriel R2.