Espaces vectoriels, applications linéaires, matrices

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille
Licence MASS, S3 (2008-09)
Alg`ebre, Feuille 1
§1. R´evisions et compl´ements : espaces vectoriels, applications lin´eaires, matrices
1. Exercice
Dans la liste suivante, quelles familles de vecteurs (v1, . . . , vn)∈Q3sont libres, g´en´eratrices,
ou forment des bases de Q3?
1
0
1
,
−1
1
2
,
−2
1
2
,
1
0
1
,
−1
1
2
,
0
1
3
,
1
0
1
,
2
0
3
,
1
0
1
,
2
0
3
,
−1
1
1
,
0
0
1
.
On rappelle que des vecteurs (u1, . . . , um) forment une famille libre (respectivement g´en´e-
ratrice, respectivement une base) d’un espace vectoriel Esi, pour tout vecteur v∈Edonn´e,
l’´equation x1u1+· · · +xmum=vposs`ede au plus (respectivement au moins, respectivement une
et une seule) solution (x1, . . . , xm).
2. Quiz
On consid`ere l’espace vectoriel K<n[X] form´e par les polynˆomes de degr´e strictement inf´erieur
`a n. On donnera une d´emonstration ou un contre exemple pour justifier la r´eponse aux questions
ci-dessous.
2.1) Un famille de polynˆomes (P0, . . . , Pn−1) tels que deg Pi=iforme une base de K<n[X]. Vrai
ou Faux?
2.2) R´eciproquement, si (P0, . . . , Pn−1) forme une base de K<n[X], alors, quitte `a r´eordonner les
polynˆomes (P0, . . . , Pn−1), on peut supposer deg Pi=i, pour i= 0, . . . , n −1. Vrai ou Faux?
3. Exercice
Soit Pnl’espace vectoriel des polynˆomes P(X) `a coefficients dans un corps Ket de degr´e
deg P≤n.
3.1) Soient φ:Pn→ Pnet ψ:Pn→ Pnles applications telles que φ(P(X)) = P(X+ 1) et
ψ(P(X)) = P(X−1). V´erifier que ces applications sont lin´eaires et expliciter leur matrice dans la
base naturelle de Pnconstitu´ee des polynˆomes (1, X, . . . , Xn). La matrice de φsera not´ee A. La
matrice de ψsera not´ee B.
3.2) Comment s’´ecrit l’image d’un polynˆome P(X) par l’application compos´ee ψ◦φ? Quelle
relation peut-on d´eduire de ce r´esultat quant aux matrices Aet B?
4. Exercice
On travaille dans le R-espace vectoriel Fdes fonctions f:R→R.
4.1) Prouver que les fonctions f, g :R→Rtelles que f(x) = cos(x) et g(x) = sin(x) forment une
famille libre.
Indication : Soient a, b ∈Rdes scalaires tels que a f +b g = 0. On ´evaluera la fonction
a f +b g :R→Ren quelques valeurs xbien choisies.
4.2) On note Ple sous-espace de Fengendr´e par les fonctions fet g. Soit φ:R→Rune
fonction de P. Soit φα:R→Rla fonction telle que φα(x) = φ(x+α), pour x∈R. Montrer
BF, Courriel: [email protected]
1

que φαappartient `a Ppuis v´erifier que l’application Tα:φ7→ φαd´efinit une application lin´eaire
Tα:P → P. Comment s’´ecrit la matrice de Tαdans la base f, g?
4.3) Quelle est l’image d’une application φpar l’application compos´ee Tα◦Tβ? Que donne le
produit des matrices associ´ees `a Tαet Tβ?
2