Devoir surveillé octobre 2014

Universit´e Joseph Fourier, site de Valence
Mat233, ann´ee 2014/2015
Devoir surveill´e du 7 octobre 2014, dur´ee : 1 heure 30
Les calculatrices, t´el´ephones portables et documents ne sont pas autoris´es.
Dans ce qui suit, Eet Fsont deux espaces vectoriels sur Rde dimensions finies dim(E) = net
dim(F) = m. On note 0Ele vecteur nul de E.
1. D´emontrer la propri´et´e suivante :
si {v1,...,vp}est une famille libre de E, alors pour tout vecteur v∈vect{v1,...,vp}, il
existe des uniques r´eels λ1,...,λptels que v=λ1v1+...+λpvp.
2. Soient Get Hdeux sous-espaces vectoriels de R4de dimension dim(G) = dim(H) = 2.
On suppose que {u1, u2, v1, v2}est une base de E, o`u {u1, u2}est une base de Get {v1, v2}
une base de H. Que peut-on dire sur la somme G+H? Vous justifierez votre r´eponse.
3. Soient Bv={v1,...,vn}et Bw={w1,...,wm}des bases respectives de Eet F. Rappeler
bri`evement comment on obtient la matrice MatBv→Bw(f) dans les bases Bvet Bwde
l’application lin´eaire f:E→F.
4. (a) Les applications R2→R2ci-dessous sont-elles lin´eaires ?
f:x
y7→ 2x+y
x−y, g :x
y7→ x+ 1
y−2x
(b) Montrer que les vecteurs v1et v2suivants d´efinissent une base de R2:
v1=1
2, v2=−2
1.
(c) D´eterminer les images de v1et v2par fet par g. Si ces applications sont lin´eaires,
donner leur matrice dans la base {v1, v2}.
5. Rappeler la d´efinition du noyau ker(f) d’une application lin´eaire f:E→F. Montrer que
ker(f) est un sous-espace vectoriel de E.
6. Soit f:E→Fune application lin´eaire. Donner la d´emonstration de la propri´et´e :
fest injective si et seulement si ker f={0E}.
7. Soit f:E→Fune application lin´eaire. D´emontrer les propri´et´es :
(a) si fest injective et {v1,...,vp}est une famille libre de E, alors
{f(v1),...,f(vp)}est une famille libre de F;
(b) si fest surjective et {v1,...,vp}est une famille g´en´eratrice de E, alors
{f(v1),...,f(vp)}est une famille g´en´eratrice de F.
Si fest bijective, que peut-on en d´eduire sur les dimensions de Eet F?
8. ´ Enoncez (sans le d´emontrer) le th´eor`eme du rang.

9. Remplacer les ∗dans la matrice suivante par des nombres de telle sorte que cette matrice
soit de rang 1 :
1∗2
0∗ ∗
−1 1 ∗