Matrices d`applications linéaires - Base RAISonnée d`Exercices de

Base raisonn´ee d’exercices de math´ematiques (Braise) Alg`ebre lin´eaire
El´ement de cours des exercices
Matrices d’applications lin´eaires
(a) D´efinition
(b) Multiplication par un scalaire
(c) Somme de deux matrices
(d) Produit de deux matrices
D´efinition
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels sur Rtels que dim(E) = net dim(F) = m,B
et Cdes bases de Eet de Fet fune application lin´eaire de Edans F.
D´efinition - On appelle matrice de fdans les bases Bet Cle tableau `a mlignes et
ncolonnes obtenu en placant dans la j`eme colonne les composantes dans la base Cde
l’image par fdu j`eme vecteur de la base B. On parlera dans ce cas de matrice m×n.
L’´el´ement mi,j de cette matrice, situ´e dans la i`eme ligne et la j`eme colonne, est donc
la i`eme composante de l’image du j`eme vecteur de la base B. On notera (mi,j )cette
matrice.
Soit x= (xj)un ´el´ement de E, alors la i`eme composante de f(x)est :
X
j
mi,j xj.
Exemple - Si fest l’application lin´eaire de R2dans R3d´efinie par f((1,0)) =
(5,4,−1) et f((0,1)) = (7,2,9), la matrice de fdans les bases canoniques de R2et
de R3est :
M1=
5 7
4 2
−1 9
.
La matrice de fd´epend des bases choisies. Par exemple, choisissons comme base
de R2les vecteurs (1,0) et (1,1) et comme base de R3la base canonique ; on a
f((1,1)) = (12,6,8) ; la matrice de fdans ces bases est donc :
M2=
5 12
4 6
−1 8
.
Propri´et´e et notation - Si, dans la d´efinition pr´ec´edente, E=Fet B=C(et
donc m=n), la matrice associ´ee `a l’application identique est le tableau comportant
des 1dans la diagonale et des 0ailleurs. On appelle cette matrice la matrice unit´e et
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on la note souvent In, ou Isi aucune confusion n’est possible.
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Multiplication par un scalaire
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels sur R,Bet Cdes bases de Eet de Fet f
une application lin´eaire de Edans F. Soit M= (mi,j )la matrice de fdans ces bases.
Soit λun scalaire. La matrice de λf est alors (λmi,j ). Il est donc naturel de donner la
d´efinition suivante :
D´efinition - La multiplication de la matrice Mpar le scalaire λest la matrice dont
les ´el´ements sont ceux de Mmultipli´e par λ: si M= (mi,j ), alors λM = (λmi,j ).
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