Matrices d`applications linéaires - Base RAISonnée d`Exercices de

Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
Algèbre linéaire
Elément de cours des exercices
Matrices d’applications linéaires
(a)
(b)
(c)
(d)
Définition
Multiplication par un scalaire
Somme de deux matrices
Produit de deux matrices
Définition
Soient E et F deux espaces vectoriels sur R tels que dim(E) = n et dim(F ) = m, B
et C des bases de E et de F et f une application linéaire de E dans F .
Définition - On appelle matrice de f dans les bases B et C le tableau à m lignes et
n colonnes obtenu en placant dans la j ème colonne les composantes dans la base C de
l’image par f du j ème vecteur de la base B. On parlera dans ce cas de matrice m × n.
L’élément mi,j de cette matrice, situé dans la ième ligne et la j ème colonne, est donc
la ième composante de l’image du j ème vecteur de la base B. On notera (mi,j ) cette
matrice.
Soit x = (xj ) un élément de E, alors la ième composante de f (x) est :
X
mi,j xj .
j
Exemple - Si f est l’application linéaire de R2 dans R3 définie par f ((1, 0)) =
(5, 4, −1) et f ((0, 1)) = (7, 2, 9), la matrice de f dans les bases canoniques de R2 et
de R3 est :


5 7
M1 =  4 2  .
−1 9
La matrice de f dépend des bases choisies. Par exemple, choisissons comme base
de R2 les vecteurs (1, 0) et (1, 1) et comme base de R3 la base canonique ; on a
f ((1, 1)) = (12, 6, 8) ; la matrice de f dans ces bases est donc :


5 12
M2 =  4 6  .
−1 8
Propriété et notation - Si, dans la définition précédente, E = F et B = C (et
donc m = n), la matrice associée à l’application identique est le tableau comportant
des 1 dans la diagonale et des 0 ailleurs. On appelle cette matrice la matrice unité et
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on la note souvent In , ou I si aucune confusion n’est possible.
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Algèbre linéaire
Multiplication par un scalaire
Soient E et F deux espaces vectoriels sur R, B et C des bases de E et de F et f
une application linéaire de E dans F . Soit M = (mi,j ) la matrice de f dans ces bases.
Soit λ un scalaire. La matrice de λf est alors (λmi,j ). Il est donc naturel de donner la
définition suivante :
Définition - La multiplication de la matrice M par le scalaire λ est la matrice dont
les éléments sont ceux de M multiplié par λ : si M = (mi,j ), alors λM = (λmi,j ).
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Algèbre linéaire
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Algèbre linéaire
Somme de deux matrices
Soient E et F deux espaces vectoriels sur R, B et C des bases de E et de F , f et
g deux applications linéaires de E dans F . On connaı̂t l’application linéaire f + g qui
est définie par (f + g)(x) = f (x) + g(x). Dans les bases données, les éléments de la
matrice de f +g s’obtiennent en additionnant les éléments correspondants des matrices
de f et de g. Il est donc naturel de donner la définition suivante :
Définition - Soient M et M ′ deux matrices ayant le même nombre de lignes et
le même nombre de colonnes, on appelle somme de ces deux matrices et on désigne
par M + M ′ la matrice dont les éléments sont obtenus en additionnant les éléments
correspondants des matrices M et M ′ : si M = (mi,j ) et M ′ = (m′i,j ), alors M +M ′ =
(mi,j + m′i,j ).
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Algèbre linéaire
Algèbre linéaire
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Produit des matrices
Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur R, B, C et D des bases de E, F et G,
f une application linéaire de E dans F et g une application linéaire de F dans G.
On connaı̂t l’application linéaire gof qui est définie par (gof )(x) = g(f (x)). Dans les
bases données, les matrices de g et de f sont M ′ = (m′i,j ) et M = (mi,j ). On choisit
de définir le produit de ces matrices comme la matrice de gof . Les composantes de
l’image par f du j ème vecteur de base de E sont lesP
mi,j . On en déduit que l’image
par gof de ce vecteur a comme k ème composante : i m′k,i × mi,j . On obtient alors
la définition suivante :
Définition - Soient M = (mi,j ) et M ′ = (m′i,j ) deux matrices telles que le nombre
de lignes de M soit égal au nombre de colonnes dePM ′ . On appelle produit de M ′ par
M et on note M ′ × M la matrice : M ′ × M = ( i m′k,i × mi,j ). Cette matrice a le
même nombre de lignes que M ′ et le même nombre de colonnes que M.
Des propriétés de la composition et de la somme des applications, on déduit
immédiatement que le produit des matrices est associatif, qu’il est distributif par rapport à l’addition et qu’il permute avec la multiplication par un scalaire. En revanche,
il n’est pas commutatif. Comme la fonction identique est un élément neutre pour la
composition des applications, la matrice unité est un élément neutre pour le produit
des matrices. Soit M une matrice m × n ; M × Im = In × M = M.
Définition - Soit f une application linéaire bijective d’un espace vectoriel E dans
lui-même, B une base de E et M la matrice de f dans cette base. On peut définir
l’application linéaire f −1 . La matrice associée à cette application s’appelle l’inverse de
la matrice M et se note M −1 . On a M × M −1 = M −1 × M = I.
Remarque
Soient E et F deux espaces vectoriels sur R, B et C des bases de E et de F et f une application linéaire de E dans F . Soit M = (mi,j ) la matrice de f dans ces bases. Soit x un
vecteur de E et xj ses composantes dans la base B. Si on considère la matrice X à une
seule colonne, dont les éléments sont les composantes xj disposées en colonne, M × X
est une matrice colonne dont les éléments sont les composantes, dans la base C, de f (x)
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disposées en colonne.
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