Transformations linéaires

ALG` EBRE LIN´ EAIRE ET G´ EOM´ ETRIE VECTORIELLE
EXERCICES SUR LES TRANSFORMATIONS LIN´ EAIRES
R´ef´erence: Papillon V., Vecteurs, matrices et nombres complexes,´ Editions Modulo, 1993, chapitre 7.
Question 1
Parmi les transformations suivantes dans R2, identifier celles qui sont lin´eaires.
a) T1x
y=x−1 y+ 1 b) T2x y=2x+y x
c) T3x
y=x2 yd) T4x y=1/(1 + x2) y
Question 2
Donner la matrice de transformation associ´ee `a chacune des transformations lin´eaires suivantes dans R2. Identifier
de quelle(s) transformation(s) il s’agit.
a) T1x
y=x yb) T2x y=2x y
c) T3x
y=x −4yd) T4x y=y x
e) T5x
y=−y −x
Question 3
D´eterminer la matrice 2 ×2 repr´esentant l’´etirement de facteur kdans la direction −→ upour chacun des cas suivants.
a) k= 3 et −→ u=1
0b) k= 5 et −→
u=0
1
c) k= 2 et −→ u=1
1d) k= 4 et −→
u=cos 60◦
sin 60◦
e) k= 2 et −→ u=−1
2
Question 4
Montrer que le d´eterminant d’une matrice M repr´esentant un ´etirement de facteur kdans une direction arbitraire
est ´egal `a k.
Question 5
Montrer que l’inverse d’une homoth´etie de rapport kest une homoth´etie de rapport 1/k.
Question 6
Montrer que le d´eterminant d’une homoth´etie de rapport kest k2.
Question 7
´
Ecrire la matrice d’une homoth´etie de rapport kcomme un produit de deux matrices d’´etirement.
Question 8
´
Ecrire les matrices repr´esentant une rotation autour de l’origine d’un angle θpour les diff´erentes valeurs de θ.
a) θ= 180◦b) θ=−120◦c) θ= 30◦
d) θ=−45◦e) θ= 2π/3 rad
1

Question 9
´
Ecrire les matrices repr´esentant une r´eflexion autour d’une droite passant par l’origine et faisant un angle αavec
l’axe des xpour les diff´erentes valeurs de α.
a) α= 90◦b) α= 135◦c) α=π/3 rad
Question 10
Parmi les matrices suivantes, identifier celles qui repr´esentent des rotations ou des r´eflexions, et d´eterminez l’angle
de rotation ou l’angle de r´eflexion avec l’axe des x, le cas ´ech´eant.
a) 1
√10 −1 3
3 1 b) 1
54−3
3 4 c) 1
√21−1
−1 1 
Question 11
Soit le triangle ´equilat´eral OAB de sommets O(0,0), A(5,−2) et B(x, y) o`u x, y ≥0. D´eterminer les coordonn´ees
du sommet B`a l’aide d’une matrice de rotation appropri´ee.
Question 12
Calculer le facteur de changement d’aire de chacune des matrices repr´esentant les transformations lin´eaires suivantes.
a) Rotation d’angle θb) R´eflexion autour d’une droite.
c) ´ Etirement de facteur kd) Homoth´etie de facteur k.
Question 13
La matrice 4 1
3 2 transforme une r´egion Ren r´egion R0dont l’aire mesure 20cm2. Quelle est l’aire de R.
SOLUTIONS
1) Seule la transformation T2est une transformation lin´eaire.
2a) M1=1 0
0 1 , transformation Identit´e
2b) M2=2 0
0 1 , ´etirement d’un facteur k= 2 dans la direction −→
i.
2c) M3=1 0
0−4, ´etirement d’un facteur k= 4 dans la direction −→
jet r´eflexion par rapport `a l’axe des x.
2d) M4=0 1
1 0 , r´eflexion par rapport `a la droite Ddont l’angle avec l’axe des xest de 45◦.
2e) M5=0−1
−1 0 , r´eflexion par rapport `a la droite Ddont l’angle avec l’axe des xest de −45◦.
3a) M=3 0
0 1 3b) M=1 0 0 5 3c) M=3/2 1/2 1/2 3/2
3d) M=7/4 3√3/4
3√3/4 13/43e) M=6/5−2/5
−2/5 9/5
4) On suppose que Mrepr´esente un ´etirement de facteur kdans la direction −→ u=a
b.
Alors, M·a−b
b a =ka −b kb a . En prenant les d´eterminants des deux membres de l’´egalit´e, on obtient:
2

(detM)·det a−b
b a = det ka −b kb a =k·det a−b b a .
Comme det a−b
b a =a2+b26= 0 , on simplifie et on obtient det M=k.
5) Il suffit de voir que k0
0k 1/k 0 0 1/k =1 0 0 1 =I
6) det k0
0k=k2−0 = k2
7) k0
0k=k0 0 1  1 0 0k
8a) −1 0
0−18b) 1
2−1√3
−√3−18c) 1
2√3−1
1√3
8d) 1
2√2√2
−√2√28e) 1
2−1−√3
√3−1
9a) −1 0
0 1 9b) 0−1 −1 0 9c) 1
2−1√3
√3 1 
10a) R´eflexion autour de la droite qui fait un angle de 54,22◦avec l’axe des xet qui passe par l’origine.
10b) Rotation de 36,87◦autour de l’origine.
10c) Ni une rotation ni une r´eflexion.
11) x=5+2√3
2,y=5√3−2 2.
12a) 1 12b) -1 12c) k12d) k2
13) 4 cm2
3