Transformations linéaires

ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
EXERCICES SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
Référence: Papillon V., Vecteurs, matrices et nombres complexes, Éditions Modulo, 1993, chapitre 7.
Question 1
Parmi les transformations suivantes dans R2 , identifier celles qui sont linéaires.
x−1
y+1
2 x
x
c) T3
=
y
y
a) T1
x
y
=
b) T2
d) T4
x
y
x
y
2x + y
x
1/(1 + x2 )
y
=
=
Question 2
Donner la matrice de transformation associée à chacune des transformations linéaires suivantes dans R2 . Identifier
de quelle(s) transformation(s) il s’agit.
x
x
x
2x
a) T1
=
b) T2
=
y
y
y
y
x
x
x
y
c) T3
=
d) T4
=
y
−4y
y
x
x
−y
e) T5
=
y
−x
Question 3
−
Déterminer la matrice 2 × 2 représentant l’étirement de facteur k dans la direction →
u pour chacun des cas suivants.
−
a) k = 3 et →
u =
1
0
−
b) k = 5 et →
u =
0
1
−
c) k = 2 et →
u =
1
1
−
d) k = 4 et →
u =
cos 60◦
sin 60◦
−
e) k = 2 et →
u =
−1
2
Question 4
Montrer que le déterminant d’une matrice M représentant un étirement de facteur k dans une direction arbitraire
est égal à k.
Question 5
Montrer que l’inverse d’une homothétie de rapport k est une homothétie de rapport 1/k.
Question 6
Montrer que le déterminant d’une homothétie de rapport k est k 2 .
Question 7
Écrire la matrice d’une homothétie de rapport k comme un produit de deux matrices d’étirement.
Question 8
Écrire les matrices représentant une rotation autour de l’origine d’un angle θ pour les différentes valeurs de θ.
a) θ = 180◦
d) θ = −45◦
b) θ = −120◦
e) θ = 2π/3 rad
c) θ = 30◦
1
Question 9
Écrire les matrices représentant une réflexion autour d’une droite passant par l’origine et faisant un angle α avec
l’axe des x pour les différentes valeurs de α.
a) α = 90◦
b) α = 135◦
c) α = π/3 rad
Question 10
Parmi les matrices suivantes, identifier celles qui représentent des rotations ou des réflexions, et déterminez l’angle
de rotation ou l’angle de réflexion avec l’axe des x, le cas échéant.
1 4 −3
1
1
−1 3
1 −1
b)
a) √
c) √
3 1
5 3 4
10
2 −1 1
Question 11
Soit le triangle équilatéral OAB de sommets O(0, 0), A(5, −2) et B(x, y) où x, y ≥ 0. Déterminer les coordonnées
du sommet B à l’aide d’une matrice de rotation appropriée.
Question 12
Calculer le facteur de changement d’aire de chacune des matrices représentant les transformations linéaires suivantes.
a) Rotation d’angle θ
b) Réflexion autour d’une droite.
c) Étirement de facteur k
d) Homothétie de facteur k.
Question 13
4
La matrice
3
1
2
transforme une région R en région R0 dont l’aire mesure 20cm2 . Quelle est l’aire de R.
SOLUTIONS
1) Seule la transformation T2 est une transformation linéaire.
1 0
2a) M1 =
, transformation Identité
0 1
→
−
2 0
2b) M2 =
, étirement d’un facteur k = 2 dans la direction i .
0 1
→
−
1 0
2c) M3 =
, étirement d’un facteur k = 4 dans la direction j et réflexion par rapport à l’axe des x.
0 −4
0 1
2d) M4 =
, réflexion par rapport à la droite D dont l’angle avec l’axe des x est de 45◦ .
1 0
0 −1
2e) M5 =
, réflexion par rapport à la droite D dont l’angle avec l’axe des x est de −45◦ .
−1 0
3 0
1 0
3/2 1/2
3a) M =
3b) M =
3c) M =
0 1
0 5
1/2 3/2
√
7/4
3 3/4
6/5 −2/5
√
3d) M =
3e) M =
−2/5 9/5
3 3/4 13/4
a
→
−
4) On suppose que M représente un étirement de facteur k dans la direction u =
.
b
a −b
ka −b
Alors, M ·
=
. En prenant les déterminants des deux membres de l’égalité, on obtient:
b a
kb a
2
(detM ) · det
a −b
b a
= det
ka −b
kb a
= k · det
a −b
b a
.
a −b
Comme det
= a2 + b2 6= 0 , on simplifie et on obtient det M = k.
b a
k 0
1/k
0
1 0
5) Il suffit de voir que
=
=I
0 k
0
1/k
0 1
k 0
6) det
= k2 − 0 = k2
0 k
k 0
k 0
1 0
7)
=
0 k
0 1
0 k
√ √
1
1
−1
3
3 √
−1
−1 0
√
8c)
8a)
8b)
0 −1
3
1
2 − 3 −1
2
√ √ √
1 −1 − 3
1
√2 √2
√
8d)
8e)
2
3 −1
2 − 2
2
√ 1 −1
3
−1 0
0 −1
√
9a)
9b)
9c)
0 1
−1 0
3 1
2
10a) Réflexion autour de la droite qui fait un angle de 54, 22◦ avec l’axe des x et qui passe par l’origine.
10b) Rotation de 36, 87◦ autour de l’origine.
10c) Ni une rotation ni une réflexion.
√
√
5+2 3
5 3−2
11) x =
,y=
.
2
2
12a) 1
12b) -1
12c) k
12d) k 2
13) 4 cm2
3