Chapitre 4 : Fonctions sinus et cosinus

Chapitre 4 : Fonctions sinus et cosinus
QCM Pour bien commencer
(cf. p. 138 du manuel)
Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses.
Exercice n°1
Un radian :
A est une mesure d’un angle d’un triangle équilatéral.
B peut être une mesure d’un angle d’un triangle rectangle.
C peut être une mesure d’un angle d’un triangle isocèle.
D ne peut pas être une mesure d’un des angles d’un triangle.
Réponses justes : B et C.
π
≠ 1.
3
π
π
La proposition B est juste : un triangle rectangle avec des angles de mesure , 1 et
– 1 convient.
2
2
π −1
La proposition C est juste : un triangle isocèle avec des angles de mesure 1, 1 et π – 2 ou 1,
et
2
π −1
convient.
2
La proposition A est fausse car chaque angle de tout triangle équilatéral vaut
La proposition D est donc fausse.
Exercice n°2
π
est :
4
a. La valeur exacte de sin
A 0.
B
1
.
2
C
2
.
2
D
3
.
2
Réponse juste : C.
b. La valeur exacte de cos
A
1
.
2
B
2π
est :
3
3
.
2
C −
1
.
2
D −
3
.
2
D −
3
.
2
Réponse juste : C.
c. La valeur exacte de sin
A
2
.
2
B
4π
est :
3
3
.
2
C −
2
.
2
Réponse juste : D.
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Exercice n°3
Soit x et y deux réels quelconques.
a. Une autre écriture du nombre cos (x + y) est :
A cos x cos y – sin x sin y.
B cos x cos y + sin x sin y.
C cos x + cos y.
D cos (x – y).
Réponse juste : A.
Pour montrer que les autres propositions sont fausses, il suffit de prendre des valeurs particulières par
exemple x = y = 0 ou x = y =
π
.
2
b. Une autre écriture du nombre sin2x – cos2x est :
A (sin x + cos x)2.
B (sin x)2 – (cos x)2.
C (sin x + cos x)(sin x – cos x).
D 1.
Réponses justes : B et C.
Pour montrer que les autres propositions sont fausses, il suffit de prendre des valeurs particulières par
exemple x = y = 0 ou x = y =
π
.
2
sin x
est :
cos x
cos x
sin(− x)
B
.
C
.
sin x
cos(− x)
c. Une autre écriture du nombre
A
sin
.
cos
D
sin( x + π)
.
cos( x + π)
Réponse juste : D.
La proposition A n’est pas un nombre.
Pour montrer que les autres propositions sont fausses, il suffit de prendre des valeurs particulières par
exemple x = y = 0 ou x = y =
π
.
2
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Exercice n°4
L’ensemble S des solutions de l’équation d’inconnue réelle x, sin x = sin
π
:
6
A contient plus de 50 valeurs.
B est l’ensemble des nombres réels
π
+ 2kπ avec k entier relatif quelconque.
6
C est inclus dans l’intervalle [0 ; 2π].
 7π 
.
 6 
D contient l’ensemble S’= −
Réponses justes : A et D.
L’ensemble des solutions de l’équation est S = {
5π
π
+2kπ ;
+2k’π, avec k ∈ ℤ, k’ ∈ ℤ}.
6
6
La proposition A est vraie car il y a une infinité de valeurs.
La proposition B est fausse car incomplète.
La proposition C est fausse car il n’y a que des valeurs isolées et aucun intervalle.
La proposition D est vraie pour k’ = –1.
Exercice n°5
L’équation d’inconnue x réelle cos x + sin x = 1 :
A n’a aucune solution dans ℝ.
B a exactement une solution dans ℝ.
C a trois solutions sur l’intervalle [–π ; π].
D a une infinité de solutions dans ℝ.
Réponse juste : D.
x = 2kπ et x =
π
+2kπ , k ∈ ℤ, sont les solutions de l’équation dans ℝ.
2
Exercice n°6
On donne une équation trigonométrique (E) d’inconnue x.
Dans chaque cas, indiquer quel est l’ensemble des solutions dans [0 ; π] de l’équation (E).
a. (E) : sin 3x = 1
π
6
A  
 π 5π 

6 6 
B  ;
Réponse juste : B.
Sur ℝ : sin 3x = 1 ⇔ 3x =
 π 5π 3π 
; 
6 6 2 
C  ;
D ∅
π 2k π
π
.
+ 2k π ⇔ x = +
6
3
2
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b. (E) : cos 2x = –0,5
 π 2π 

3 3 
π
3
B  ;
A  
Réponse juste : B.
Sur ℝ : cos 2x = –0,5 ⇔ 2x =
c. (E) : 2cos2 x – 1 = 0
 π 2π 4π 5π 
;
; 
3 3 3 3 
C  ;
2π
4π
2π
π
+ 2k π ou 2x =
+ 2k π ⇔ x = + k π ou x =
+ kπ .
3
3
3
3
 ( 2k + 1) π

, k ∈ 
4


 π 3π 5π 7 π 
;
; 
4 4 4 4 
A  ;
 π 2π 3π 4π 5π 6π 
;
; ;
; 
3 3 3 3 3 3 
D  ;
B 
 π 3π 

4 4 
C  ;
D ∅
Réponse juste : C.
2
2
ou cos x = −
2
2
3π
3π
π
π
⇔ x = + 2k π ou x =
+ 2k π ou x =
− + 2k π .
− + 2k π ou x =
4
4
4
4
Sur ℝ : 2cos2 x – 1 = 0 ⇔ cos x =
d. (E) : 4sin2 x – 3 = 0
 π 2π 

3 3 
π
3
B  ;
A  
 π 2π 4π 5π 
;
; 
3 3 3 3 
C  ;
 π 2π 3π 4π 5π 6π 
;
; ;
; 
3 3 3 3 3 3 
D  ;
Réponse juste : B.
3
3
ou sin x = −
2
2
2π
2π
π
π
⇔ x = + 2k π ou x =
+ 2k π ou x =
−
+ 2k π
− + 2k π ou x =
3
3
3
3
Sur ℝ : 4sin2 x – 3 = 0 ⇔ sin x =
π
4
π
B  
4
e. (E) : cos 2x = cos
π
8 
A  
Réponse juste : D.
Sur ℝ : cos 2x = cos
f. (E) : sin x = sin
π π

8 4
C  ;
 π 7π 

8 8 
D  ;
π
π
π
π
π
⇔ 2x = + 2k π ou 2x = − + 2k π ⇔ x = + k π ou x = − + k π .
4
4
4
8
8
5π
3
 4π 

3
A 
Réponse juste : D.
Sur ℝ : sin x = sin
 5π 

3
B 
 4π 5π 
; 
3 3
C 
D ∅
5π
5π
5π
5π
2π
⇔x=
+ 2k π ou x = π −
+ 2k π ou x = −
+ 2k π ⇔ x =
+ 2k π .
3
3
3
3
3
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