Chapitre 4 : Fonctions sinus et cosinus

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Chapitre 4 : Fonctions sinus et cosinus
QCM Pour bien commencer
(cf. p. 138 du manuel)
Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses.
Un radian :
Exercice n°1
A est une mesure d’un angle d’un triangle équilatéral.
B peut être une mesure d’un angle d’un triangle rectangle.
C peut être une mesure d’un angle d’un triangle isocèle.
D ne peut pas être une mesure d’un des angles d’un triangle.
Réponses justes : B et C.
La proposition A est fausse car chaque angle de tout triangle équilatéral vaut
1
3
π≠
.
La proposition B est juste : un triangle rectangle avec des angles de mesure
2
π
, 1 et
2
π
– 1 convient.
La proposition C est juste : un triangle isocèle avec des angles de mesure 1, 1 et π – 2 ou 1,
1
2
π−
et
1
2
π−
convient.
La proposition D est donc fausse.
a. La valeur exacte de
Exercice n°2
sin 4
π
est :
A 0. B
1
2
. C
2
2
. D
3
2
.
Réponse juste : C.
b. La valeur exacte de
2
cos 3
π
est :
A
1
2
. B
3
2
. C
1
2
−
. D
3
2
−
.
Réponse juste : C.
c. La valeur exacte de
4
sin 3
π
est :
A
2
2
. B
3
2
. C
2
2
−
. D
3
2
−
.
Réponse juste : D.

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Soit x et y deux réels quelconques.
Exercice n°3
a. Une autre écriture du nombre cos (x + y) est :
A cos x cos y – sin x sin y.
B cos x cos y + sin x sin y.
C cos x + cos y.
D cos (x – y).
Réponse juste : A.
Pour montrer que les autres propositions sont fausses, il suffit de prendre des valeurs particulières par
exemple x = y = 0 ou x = y =
2
π
.
b. Une autre écriture du nombre sin2x – cos2
A (sin x + cos x)x est :
2
B (sin x).
2 – (cos x)2
C (sin x + cos x)(sin x – cos x).
.
D 1.
Réponses justes : B et C.
Pour montrer que les autres propositions sont fausses, il suffit de prendre des valeurs particulières par
exemple x = y = 0 ou x = y =
2
π
.
c. Une autre écriture du nombre
sin
cosx x
est :
A
sin
cos
. B
sin( )
cos( )
x
x
−
−
. C
cos
sin x x
. D
sin( )
cos( )
x
x
+π
+π
.
Réponse juste : D.
La proposition A n’est pas un nombre.
Pour montrer que les autres propositions sont fausses, il suffit de prendre des valeurs particulières par
exemple x = y = 0 ou x = y =
2
π
.

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Exercice n°4
L’ensemble S des solutions de l’équation d’inconnue réelle x, sin x = sin
6
π
:
A contient plus de 50 valeurs.
B est l’ensemble des nombres réels
6
π
+ 2kπ avec k entier relatif quelconque.
C est inclus dans l’intervalle [0 ; 2π].
D contient l’ensemble S’=
7
6
π
−
.
Réponses justes : A et D.
L’ensemble des solutions de l’équation est S = {
6
π
+2kπ ;
5
6
π
+2k’π, avec k ∈ ℤ, k’ ∈ ℤ}.
La proposition A est vraie car il y a une infinité de valeurs.
La proposition B est fausse car incomplète.
La proposition C est fausse car il n’y a que des valeurs isolées et aucun intervalle.
La proposition D est vraie pour k’ = –1.
Exercice n°5
L’équation d’inconnue x réelle cos x + sin x = 1 :
A n’a aucune solution dans ℝ.
B a exactement une solution dans ℝ.
C a trois solutions sur l’intervalle [–π ; π].
D a une infinité de solutions dans ℝ.
Réponse juste : D.
x = 2kπ et x =
2
π
+2kπ,
k ∈ ℤ, sont les solutions de l’équation dans ℝ.
Exercice n°6
On donne une équation trigonométrique (E) d’inconnue x.
Dans chaque cas, indiquer quel est l’ensemble des solutions dans [0 ; π] de l’équation (E).
a. (E) : sin 3x = 1
A
6
π
B
5
;
66
ππ
C
53
;;
66 2
πππ
D ∅
Réponse juste : B.
Sur ℝ : sin 3x = 1 ⇔ 3x =
2
2k
π+π
⇔ x =
2
63
kππ
+
.

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b. (E) : cos 2x = –0,5
A
3
π
B
2
;
33
ππ
C
245
;;;
33 3 3
ππππ
D
23456
;;;;;
333333
ππππππ
Réponse juste : B.
Sur ℝ : cos 2x = –0,5 ⇔ 2x =
22
3k
π+π
ou 2x =
42
3k
π+π
⇔ x =
3k
π+π
ou x =
2
3k
π+π
.
c. (E) : 2cos2
A
x – 1 = 0
357
;;;
44 4 4
ππππ
B
( )
21,
4
kk +π
∈
C
3
;
44
ππ
D ∅
Réponse juste : C.
Sur ℝ : 2cos2
2
cos 2 x=
x – 1 = 0 ⇔ ou
2
cos 2 x= −
⇔
2
4
xk
π
=+π
ou
2
4
xk
π
=−+ π
ou
32
4
xk
π
= +π
ou
32
4
xk
π
=− +π
.
d. (E) : 4sin2
A
x – 3 = 0
3
π
B
2
;
33
ππ
C
245
;;;
33 3 3
ππππ
D
23456
;;;;;
333333
ππππππ
Réponse juste : B.
Sur ℝ : 4sin2
3
sin 2 x=
x – 3 = 0 ⇔ ou
3
sin 2 x= −
⇔
2
3
xk
π
=+π
ou
22
3
xk
π
= +π
ou
2
3
xk
π
=−+ π
ou
22
3
xk
π
=− +π
e. (E) : cos 2x = cos
4
π
A
8
π
B
4
π
C
;
84
ππ
D
7
;
88
ππ
Réponse juste : D.
Sur ℝ : cos 2x = cos
4
π
⇔ 2x =
2
4k
π+π
ou 2x =
2
4k
π
−+ π
⇔ x =
8k
π+π
ou x =
8k
π
− +π
.
f. (E) : sin x = sin
5
3
π
A
4
3
π
B
5
3
π
C
45
;
33
ππ
D ∅
Réponse juste : D.
Sur ℝ : sin x = sin
5
3
π
⇔ x =
52
3k
π+π
ou x =
52
3k
π
π− + π
⇔ x =
52
3k
π+π
ou x =
22
3k
π
− +π
.