Semestre Rebondir Cours et exercices

Semestre Rebondir
Cours et exercices
D’après les notes de cours de Jean-Jacques Ruch,
Bruno Winckler et Samuel Le Fourn
Printemps 2013

Table des matières
1 Fonctions usuelles 2
1.1 Fonctionscirculaires ........................................ 2
1.1.1 Définitions ......................................... 2
1.1.2 Valeursremarquables ................................... 3
1.1.3 Anglesassociés....................................... 4
1.1.4 Etude des fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Etude de la fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.6 Exercices .......................................... 8
1.2 Fonctionlogarithme ........................................ 11
1.2.1 Définition de la fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Propriétés de la fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Etude de la fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Fonctionlogarithmedécimale ................................... 13
1.4 Fonctionexponentielle....................................... 14
1.5 Croissancescomparées....................................... 16
1.6 Exercices .............................................. 17
2 Primitives 19
2.1 Introduction............................................. 19
2.2 Primitive d’une fonction sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Généralités ......................................... 20
2.2.2 Quelques primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 Propriétés.......................................... 21
2.3 Exercices .............................................. 23
3 Intégrales 24
3.1 Définitiondel’intégrale ...................................... 24
3.2 Intégraleetprimitive........................................ 26
3.3 Intégrationparparties....................................... 27
3.4 Changementdevariables ..................................... 28
3.5 Exercices .............................................. 30
4 Nombres complexes 32
4.1 Pointdevuegéométrique ..................................... 32
4.2 Pointdevuealgébrique ...................................... 34
4.3 Exponentiellecomplexe ...................................... 36
4.4 Exercices .............................................. 39
4.4.1 Entraînement au calcul de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.2 Exponentielle complexe et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.3 Utilisation des complexes pour la géométrie 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1

Chapitre 1
Fonctions usuelles
1.1 Fonctions circulaires
1.1.1 Définitions
Soit Cle cercle trigonométrique muni du repère orthonormé (O, −→ OI, −→ OJ). Pour θun nombre réel
quelconque, on considère le point Mdu cercle tel que θsoit la mesure en radians de l’angle (−→ OI;−−→ OM).
Définition 1. Dans le repère (O, −→ OI, −→ OJ), l’abscisse du point Mest appelée cosinus de θ. On le note
cos θ. L’ordonnée du point Mest appelée sinus de θet est notée sin θ.
La tangente de θ(pour les réels θtels que cos θ6= 0) est le rapport sin θ
cos θ. C’est aussi l’ordonnée du point
Tintersection de la droite (OM )avec la tangente au cercle Cen I, on la note tan θ.
x
y
-1
-1
1
1
cos θ
sin θ
tan θ
M
O N I
J
T
Remarques
D’après la définition ci-dessus on a pour tout réel θ
−16cos θ61et −16sin θ61.
Rappelons que l’on a pour tout réel θ
∀k∈Z,
cos (x+ 2kπ) = cos (θ)
sin (θ+ 2kπ) = sin (θ)
tan (θ+kπ) = tan (θ)si θ6=π
2mod π
D’autre part si on considère le projeté Nde Msur l’axe des abscisses alors on obtient un triangle rectangle
(ONM)rectangle en Ndont les côtés ont pour longueur |cos θ|et |sin θ|, et l’hypothénuse 1. Le théorème
de Pythagore entraîne alors la propriété fondamentale suivante :
∀θ∈R,cos2θ+ sin2θ= 1.
2

Si on utilise les formules classiques pour les angles d’un triangle rectangle on obtient :
cos \ NOM =coté adjacent
hypothénuse =ON OM =ON sin \
NOM =coté opposé
hypothénuse =NM OM =NM.
1.1.2 Valeurs remarquables
Points cardinaux On remarque immédiatement
cos 0 = 1
sin 0 = 0 cos π
2= 0
sin π
2= 1 cos π=−1
sin π= 0 cos −π
2= 0
sin −π
2=−1
Triangle rectangle isocèle
x
y
-1
-1
1
1
M
O N
π
4
Soit ONM un triangle rectangle isocèle en N. Alors l’angle x=\ NOM =π
4. De plus, d’après le
théorème de Pythagore on a
1 = OM2=ON2+NM 2= 2ON2= 2 cos2π
4= 2NM 2= 2 sin2π 4.
Le cosinus et le sinus étant ici positifs on en déduit : cos π
4= sin π 4=√2 2.
Triangle équilatéral
x
y
-1
-1
1
1
M
M’
O N
π
6
Soit ONM un triangle rectangle obtenu en coupant le triangle équilatéral OMM0en deux, suivant
la médiane (ON)qui est aussi la médiatrice de [MM 0]. Alors l’angle x=\ NOM =π
6, c’est la moitié de
3

l’angle \ M0OM qui est égal à π
3(le triangle OMM0étant équilatéral). D’après le théorème de Pythagore
on a
ON2=OM2−NM 2= 1 −(M0M/2)2= 1 −1
4⇒ON2=3 4et NM 2=1 4.
Le cosinus et le sinus étant ici positifs on en déduit : cos π
6=√3 2et sin π 6=1 2.
Si on construit maintenant un triangle équilatéral, comme sur le schéma ci-dessous, on obtient un angle
x=\ NOM =π
3. Des calculs similaires à ceux qui précèdent nous donnent alors
cos π
3=1 2et sin π 3=√3 2.
x
y
-1
-1
1
1
M
M’
O N
π
3
Nous pouvons donc faire le récapitulatif suivant :
x0π
6
π
4
π
3
π
2π
cos x1√3
2
√2
2
1
20−1
sin x01
2
√2
2
√3
21 0
tan x01
√31√3non définie 0
1.1.3 Angles associés
Soient xun réel quelconque et Mle point sur le cercle trigonométrique tel que xsoit la mesure de l’angle
défini par l’axe des abscisses et (OM). En effectuant des symétries du point Mpar rapport respectivement
à l’axe des abscisses, à l’axe des ordonnées et au point O, on obtient respectivement les points M1,M2
et M3, associés à des angles de mesure −θ,π−θet π+θ. Si de plus on effectue une symétrie de Mpar
rapport à la droite y=xon obtient le point M4associé à un angle de mesure π
2−θ. Enfin, le symétrique
de M4par rapport à l’axe des ordonnées définit un point M5associé à un angle de mesure π
2+θ.
4