Série 3 (Corrigé) - ANMC

Algèbre linéaire avancée I Jeudi 1 octobre 2015
Prof. A. Abdulle EPFL
Série 3 (Corrigé)
?L’exercice 2 peut être rendu le jeudi 1er Octobre aux assistants jusqu’à 15h.
Exercice 1 Pour quel ensemble Gmuni de la lois de composition ◦, le couple (G , ◦)est
un groupe ?
a) G=Ret x◦y:= x+y−xy.
b) G=( 1a
0b!:a∈R, b ∈R\{0})et ◦est la multiplication matricelle ordinaire.
c) G=Ret x◦y:= (xn+yn)1/n pour un nombre impair naturel n.
d) G=Zet x◦y:= (x+y)2.
e) G={A∈Mn×n(R) ; ou Aest une matrice diagonale avec des éléments non nuls sur
la diagonale}et ◦est la multiplication matricelle ordinaire.
Sol.:
a) Ce couple n’est pas un groupe. L’élément neutre de groupe est e= 0. En fait x◦0 =
x+ 0 −0 = xet 0◦y= 0 + y−0 = y. Mais pour 1∈Gil n’existe pas d’élément
inverse y∈G, parce que l’équation 0=1◦y= 1 + y−y= 1 n’a pas de solution.
b) Ce couple est un groupe. Pour A1,A2∈Gon a
A1◦A2= 1a1
0b1! 1a2 0b2!= 1a2+a1b2 0b1b2!∈G ,
et donc la loi de composition est bien définie. L’élément neutre du groupe est la matrice
identité I2. L’associativité résulte de l’associativité de la multiplication des matrices
dans GL(2). L’inverse de A∈Gest
A−1= 1−a/b
0 1/b !∈G .
On notera que, si b∈R\{0},1/b existe toujours.
c) Ce couple est un groupe. La loi de composition est bien définie parce que (xn+yn)1/n ∈
Gpour tout x, y ∈G. L’élément neutre est e= 0, parce que (0+xn)1/n = (xn+0)1/n =
x. L’inverse de x∈Gest −x, parce que
((−x)n+xn)1/n = (xn+ (−x)n)1/n = (xn−xn)1/n = 0 .
On remarque en fait que nest impair. L’associativité resulte de
(a◦b)◦c= (((an+bn)1/n)n+cn)1/n
= (an+bn+cn)1/n
= (an+ ((bn+cn)1/n)n)1/n
=a◦(b◦c).
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d) Ce couple n’est pas un groupe. Bien que la loi de composition ◦soit bien définie, il
n’y a aucun élément neutre (et donc on a pas de inversibilité). De plus l’associativité
n’est pas définie. En fait, par exemple,
(2 ◦0) ◦0 = 16 6= 4 = 2 ◦(0 ◦0) .
e) Ce couple est un groupe. Pour A1,A2∈Gon a
A1◦A2= a10
0b1! a20 0b2!= a1a20 0b1b2!∈G ,
et donc la loi de composition est bien définie. L’élément neutre du groupe est la matrice
identité I2. L’associativité resulte de l’associativité de la multiplication des matrices
dans GL(2). L’inverse de
A= a0
0b!∈G
est
A−1= 1/a 0
0 1/b!∈G .
On note que, si a , b ∈R\{0},1/a et 1/b existent toujours.
?Exercice 2 Prouver le Lemme suivant.
Soit Hun ensemble muni d’une loi de composition ∗:H×H→H,(a, b)→a∗bassociative
(on dit que Hest un semi-groupe).
On suppose qu’il existe un élément e∈Htel que a∗e=e∗a=apour tout a∈H.
On définit alors H∗={a∈H;il existe a−1avec a−1∗a=a∗a−1=e}.
Alors, l’ensemble H∗muni de la loi de composition ∗est un groupe.
Sol.: Il faut vérifier que H∗est stable. Tout d’abord H∗6=∅, car e∈H∗. Ensuite si
a, b ∈H∗alors (a∗b)∈H∗. En effet on obtient
(b−1∗a−1)∗(a∗b)
=b−1∗(a−1∗(a∗b)) pr. ass.
=b−1∗((a−1∗a)∗b)pr. ass.
=b−1∗(e∗b)a−1inverse de a
=b−1∗b e neutre
=e b−1inverse de b .
De même pour (a∗b)∗(b−1∗a−1) = ... =e. L’associativité de la loi de composition dans H∗
est héritée de l’associativité dans H, de même que la propriété de l’élément neutre puisque
a∗e=e∗a=apour tout a∈H.
Exercice 3 Soit SO(2) l’ensemble composé des matrices de rotations
SO(2) = (G(ϑ) = cos(ϑ) sin(ϑ)
−sin(ϑ) cos(ϑ)!;ϑ∈R).
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Montrer que (SO(2),◦)est un sous-groupe de (GL(2),◦), ou ◦est la multiplication matri-
celle ordinaire.
Sol.: SO(2) est évidemment non vide. Pour A1,A2∈SO(2),A1=G(α),A2=G(β)
on a
A1◦A2= cos(α) sin(α)
−sin(α) cos(α)! cos(β) sin(β) −sin(β) cos(β)!
= cos(α+β) sin(α+β)
−sin(α+β) cos(α+β)!∈SO(2) .
Enfin pour tout A=G(ϑ)∈SO(2) on a que
A−1= cos(ϑ)−sin(ϑ)
sin(ϑ) cos(ϑ)!= cos(α) sin(α) −sin(α) cos(α)!∈SO(2) ,
ou α=−ϑ∈R.
Exercice 4 Soit (G, ·)un groupe. Soit f:G→Gl’application définie par f(x) = x−1
(l’inverse de x∈G) et soit h:G→Gl’application définie par h(x) = x2.
a) Qu’est-ce qu’un homomorphisme de groupes ?
b) Montrer que fest un homomorphisme de groupes si et seulement si Gest abélien.
c) Montrer que hest un homomorphisme de groupes si et seulement si Gest abélien.
d) En déduire que si dans un groupe tout élément est son propre inverse, alors ce groupe
est abélien.
Sol.: Pour maîtriser la notion d’implication, voir le chapitre 7 du livre de Houston.
a) On se donne un groupe Havec une loi de groupe ∗, et un groupe Kavec une loi
de groupe ◦. Une application ϕ:H→Kest un homomorphisme de groupes si elle
satisfait la propriété suivante : pour tous x, y ∈H,ϕ(x∗y) = ϕ(x)◦ϕ(y).
b) Comme la loi de groupe de Gest ·, on écrit simplement xy au lieu de x·y. Pour
x, y ∈G,
f(xy) = f(x)f(y)⇐⇒ (xy)−1=x−1y−1⇐⇒ ((xy)−1)−1= (x−1y−1)−1⇐⇒ xy =yx ,
car l’inverse d’un produit est le produit des inverses dans l’autre ordre. Par conséquent
fest un homomorphisme de groupes ⇐⇒ f(xy) = f(x)f(y)∀x, y ∈G
⇐⇒ xy =yx ∀x, y ∈G
⇐⇒ Gest abélien .
c) Pour x, y ∈G,
h(xy) = h(x)h(y)⇐⇒ (xy)2=x2y2⇐⇒ xyxy =xxyy ⇐⇒ yx =xy ,
car dans un groupe on peut simplifier (ici simplifier xà gauche et simplifier yà
droite). Par conséquent
hest un homomorphisme de groupes ⇐⇒ h(xy) = h(x)h(y)∀x, y ∈G
⇐⇒ xy =yx ∀x, y ∈G
⇐⇒ Gest abélien .
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d) Si x=x−1pour tout x∈G, alors l’application fest l’identité. Or l’application
identité est bien sûr un homomorphisme de groupes. En appliquant alors la partie b),
on en déduit que Gest abélien.
On peut aussi raisonner en constatant que x2= 1, car x=x−1pour tout x. Il s’ensuit
que l’application hest l’application constante h(x) = 1 pour tout x. Or il est clair que
cette application constante est un homomorphisme de groupes, car h(xy)=1=1·1 =
h(x)h(y)∀x, y ∈G. Cela signifie donc que hest un homomorphisme de groupes. En
appliquant alors la partie c), on en déduit que Gest abélien.
Exercice 5 Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont correctes ?
a) Le noyau d’un homomorphisme de groupes peut être vide.
b) Dans un groupe fini ayant un nombre pair d’éléments, il existe un élément, distinct
de l’élément neutre, qui est son propre inverse.
Sol.:
a) Non. Le noyau d’un homomorphisme de groupes f:G→Hcontient au moins l’élé-
ment neutre de G, donc il n’est jamais vide. Rappelons que, par un homomorphisme
de groupes f:G→H, l’image de l’élément neutre de Gest toujours égale à l’élément
neutre de H. Cela signifie, par définition, que l’élément neutre de Gappartient au
noyau de f.
b) Oui. Soit Gun groupe fini avec Card (G)pair. Soit Xle sous-ensemble de tous les
éléments de Gqui sont égaux à leur inverse et soit Yle sous-ensemble de tous les
éléments de Gqui ne sont pas égaux à leur inverse. Ainsi Gest la réunion dis-
jointe de Xet de Y. Les éléments de Yse regroupent par paires, chaque paire conte-
nant un élément et son inverse, et donc Card (Y)est un nombre pair. Il s’ensuit que
Card (X) = Card (G)−Card (Y)est aussi pair (car Card (G)est pair). Comme la
partie Xcontient l’élément neutre et contient un nombre pair d’éléments, elle doit
aussi contenir un autre élément, ce qui prouve l’existence d’un élément, distinct de
l’élément neutre, qui est son propre inverse.
Exercice 6 Soit G={x∈R|0≤x < 1}muni de la loi de composition ?donnée par
x?y:= (x+ysi x+y < 1
x+y−1 si x+y≥1
a) Montrer que (G, ?)est un groupe.
b) Soit SO(2) le groupe des matrices de rotations. Montrer que l’application f:G→
SO(2) définie par
f(x) = cos(2πx) sin(2πx)
−sin(2πx) cos(2πx)!
est un homorphisme de groupes entre (G , ?)et (SO(2) ,◦), ou ◦est la multiplication
matricelle ordinaire.
c) Déterminer le noyau de f.
d) Est-ce que fest injective ?
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e) L’application fest-elle un isomorphisme de groupes ?
Sol.:
a) Soient x, y, z ∈G. La loi consiste à additionner, sauf qu’il faut soustraire 1 si le
résultat dépasse 1. Il s’ensuit qu’on trouve
(x?y)? z =
x+y+zsi 0≤x+y+z < 1
x+y+z−1si 1≤x+y+z < 2
x+y+z−2si 2≤x+y+z < 3
et on trouve également le même résultat pour x ? (y ? z). Donc la loi de composition
?est associative.
L’élément 0est l’élément neutre, car 0? x = 0 + x=x, vu que x < 1pour tout x∈G,
et de même, x ? 0 = x+ 0 = x.
L’élément inverse de l’élément neutre 0 est 0, car 0 + 0 = 0 et 0<1. La situation
est différente pour x∈Gsi x6= 0. L’élément inverse de xest alors 1−xcar
x ? (1 −x) = x+ (1 −x)−1vu que x+ (1 −x)=1≥1. On trouve bien x ? (1 −x) =
x+ (1 −x)−1 = 0, l’élément neutre. Pour la même raison, (1 −x)? x = 0. Par
conséquent 1−xest l’élément inverse de x.
b) Pour x, y ∈G, si x+y < 1, alors f(x?y) = f(x+y)et si x+y≥1, alors
f(x ? y) = f(x+y−1) = f(x+y), car deux angles qui diffèrent par un multiple entier
de 2πdéfinissent la même rotation. De plus f(x+y) = f(x)◦f(y)car la composée
de deux rotations d’angles αet βdonne une rotation d’angle α+β. Donc dans tous
les cas,
f(x?y) = f(x+y) = f(x)◦f(y),
ce qui montre que fest un homomorphisme de groupes.
c) L’élément neutre de (SO(2) ,◦)est la matrice identité I. Pour x∈G,x∈Ker (f)si
et seulement si f(x) = Isi et seulement si x= 0, vu que 0≤x < 1. Le noyau de f
est donc {0}.
d) Puisque le noyau de fest {0}, l’homomorphisme fest injectif.
e) Pour toute rotation de angle α, quitte à enlever un multiple entier de 2π, on peut
supposer que 0≤α < 2πet donc 0≤α/2π < 1. On a
f(α/2π) = cos(α) sin(α)
−sin(α) cos(α)!,
ce qui montre que fest surjectif. Par ailleurs fest injectif par d). Ainsi fest un
homomorphisme bijectif, c’est-à-dire un isomorphisme de groupes.
Exercice 7 Montrer que la table de Cayley d’un semi-groupe (G , ◦)est une table de
groupe si et seulement si tous les éléments de Gapparaissent au plus une fois dans chaque
ligne et dans chaque colonne.
Application (Sudoku) : Soit G={e,a,b}. Compléter la table suivante afin que (G , ◦)soit
un groupe :
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