DÉFINITION DE L’EXPONENTIELLE COMPLEXE ET DES
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES ; NOMBRE π
Remarques générales
• “Un candidat à l’agrégation doit avoir réfléchi sérieusement au problème de la mesure des angles, en
particulier à la notion d’argument d’un nombre complexe, et ne peut se contenter de ce qu’en dit le programme
de Terminale - a fortiori d’une ficelle qu’on enroule sur une poulie circulaire !” (Rapport du jury 1990)
• La partie sur le nombre π doit être l’occasion de faire appel à l’ensemble du programme. En particulier, on
proposera des méthodes de calcul approché, en évaluant avec soin rapidité de convergence et précision obtenue.
Plan
1. Exponentielle complexe et fonctions trigonométriques
a) Définitions
• Pour tout complexe z, la série zn
n!
∑ est absolument convergente, donc convergente. Sa somme est notée
exp(z) = zn
n!
n=0
+∞
∑. L’application z a exp(z) est appelée exponentielle complexe.
• On définit alors les fonctions cosinus (réel) et sinus (réel) par les formules d’Euler :
cos x = Re(exp(ix)) = (−1)nx2n
(2n)!
n=0
+∞
∑ et sin x = Im(exp(ix)) = (−1)nx2n+1
(2n +1)!
n=0
+∞
∑,
puis les fonctions tangente et cotangente par tanx =sinx
cosx et cot x =cosx
sinx .
Ces quatre fonctions sont les fonctions trigonométriques.
b) Premières propriétés
• exp est un homomorphisme du groupe (C, +) dans le groupe (C*, ×).
• Pour tout complexe z, l’application f : R → C, t a ezt, est dérivable et f’(t) = z ezt. Il en résulte que les
fonctions trigonométriques sont de classe C∞sur leur ensemble de définition.
• L’application
R→R+
*,xaex, appelée exponentielle réelle, est un isomorphisme de classe C∞ et strictement
croissant du groupe (R, +) sur le groupe (R+
*,.). Sa réciproque est appelée logarithme népérien. Le nombre
e = exp(1) est le nombre d’Euler. C’est un nombre irrationnel. Justification de la notation exp(z) = ez.
• cos 0 = 1 et cos admet au moins un zéro sur R+. On appelle nombre pi et on note π le double du plus petit zéro
strictement positif de cos.
c) Théorème fondamental
L’application x a eix est un homomorphisme surjectif du groupe (R, +) sur le groupe (U, ×) des nombres
complexes de module 1, de noyau 2πZ.
Conséquences :
• L’isomorphisme de U sur le groupe quotient R/2πZ, qui résulte du théorème fondamental, est appelé argument
et noté arg. On appelle argument d’un nombre complexe z non nul et on note arg(z) l’argument de z
z.
L’application z a (|z|, arg(z)) est un isomorphisme du groupe (C*, ×) sur le groupe (R+
∗, ×) × (R/2πZ, +).