cours_fondamentaux d`algèbre et de trigonométrie

Fondamentaux d'algèbre et de trigonométrie
I Fonctions trigonométriques
1) cercle trigonométrique
Définition
On considère un repère orthonormé (O ; I, J).
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, centré en O. Tout point M de ce
cercle est repéré par un nombre réel x correspondant à la longueur de l'arc
IM
, affectée
d'un signe (le « + » correspondant au sens trigonométrique, c'est-à-dire celui opposé au
sens des aiguilles d'une montre).
cos(x) et sin(x) sont alors les coordonnées du point M dans le repère (O ; I, J).
Propriété
Pour tout réel x, on a :
cos2xsin2x=1
.
Démonstration
Il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle d'hypoténuse OM.
Définition
Soit la droite D, la parallèle à la droite (OJ) passant par I. Lorsque M n'appartient pas à
(OJ), D et (OM) ne sont pas parallèles donc elles sont sécantes en un point K.
On appelle alors tan(x) la longueur algébrique (IK).
1

Propriété
Pour tout réel x n'appartenant pas à
2 ℤ
, on a :
tan x= sinx
cosx
.
Démonstration
Il suffit d'appliquer le théorème de Thalès dans le triangle OIK.
2) valeurs remarquables
x0
6
4
3
2
sin(x) 0
1
2
2
2
3
2
1
cos(x) 1
3
2
2
2
1
2
0
tan(x) 0
1
3
1
3
non défini
3) fonctions sinus, cosinus et tangente
Propriété
Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur
ℝ
. Elles sont
2
- périodiques. La
fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. On a donc, pour tout réel x :
sin x2=sinx
;
cosx2=cos x
;
cos−x=cosx
;
sin −x=−sinx
.
On a de plus :
sin − x=sin x
;
cos−x=−cosx
;
sin x=−sin x
;
cosx=−cosx
;
cos x
2
=−sinx
;
sin x
2
=cosx
;
cos
2−x
=sinx
;
sin
2−x
=cosx
.
Démonstration
Ce sont des conséquences immédiates de la définition du cosinus et du sinus d'un réel
représenté sur le cercle trigonométrique.
Représentations graphiques
2

Propriété
La fonction tangente est définie sur
ℝ−
{
2k
∣
k∈ℤ
}
par
tan x= sinx
cosx
. Elle est
- périodique et impaire. On a donc, pour tout réel x n'appartenant pas à
2 ℤ
:
tan x=tan x
;
tan −x=−tanx
. On a de plus :
tan −x=−tan x
.
Démonstration
Il suffit d'utiliser les propriétés des fonctions sinus et cosinus.
Représentation graphique
4) formules de trigonométrie
Formules d'addition (admises)
a et b sont deux réels. Les formules suivantes sont valables lorsqu'elles sont bien définies.
cosab=cos acos b−sinasin b
sin ab=sin acosbsin bcosa
tan ab= tanatan b
1−tan atan b
cosa−b=cos acos bsinasin b
sina−b=sin acosb−sinbcosa
tan a−b= tana−tanb
1tan atan b
Exercice
Calculer une valeur exacte de
cos
12
;sin
12
et tan
12
.
On a :
12 = 3− 4
. Donc, on peut écrire :
cos
12
=cos
3− 4
=cos
3
cos
4
sin
3
sin
4
=1
2×
2
2
3
2
2
2=
2 6
4
;
sin
12
=
3
2×
2
2−
2
2×1 2=
6− 2
4
;
tan
12
=
3−1
1 3×1=
3−1
2
2=3−2
31
2=2−
3
.
3

Formules de duplication (admises)
a et b sont deux réels. Les formules suivantes sont valables lorsqu'elles sont bien définies.
cos2a=cos2a−sin2a=2 cos2a−1=1−2sin2a
;
sin2a=2sin acos a
;
tan 2a= 2 tan a
1−tan2a
.
De ce qui précède, on déduit :
cos2a=1cos 2a
2
et
sin2a= 1−cos2a
2
.
Exercice
Calculer une valeur exacte de
cos
8
et sin
8
.
On a :
4=2× 8
. Donc, on peut écrire :
cos2
8
=
1cos
4
2=
1
2
2
2=2
2
4
donc
cos
8
=
2 2
4=
2 2
2
car
cos
8
0
sin2
8
=
1−cos
4
2=
1−
2
2
2=2−
2
4
donc
sin
8
=
2− 2
4=
2− 2
2
car
sin
8
0
.
5) fonctions trigonométriques réciproques
Définition – Propriété (admise)
La fonction
arcsin :[−1;1]
[
−
2; 2
]
est l'application réciproque de la fonction
sin :
[
−
2; 2
]
[−1;1]
.
Elles est continue et strictement croissante sur [-1 ; 1]. C'est une fonction impaire.
Pour tout
x∈[−1;1]
, arcsin (sin (x)) = x.
Pour tout
y∈
[
−
2; 2
]
, sin(arcsin(y) = y.
Représentation graphique
4

Exemple
x-1
−
3
2
−
2
2
−1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
arcsin(x)
−
2
−
3
−
4
−
6
0
6
4
3
2
Définition – Propriété (admise)
La fonction
arccos :[−1;1][0;]
est l'application réciproque de la fonction
cos: [0;][−1;1]
.
Elle est continue et strictement décroissante sur [-1 ; 1]. Elle n'est ni paire, ni impaire.
Pour tout
x∈[−1;1]
, arccos (cos(x)) = x.
Pour tout
y∈[0;]
, cos(arccos (y)) = y.
Représentation graphique
Exemple
x-1
−
3
2
−
2
2
−1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
arccos(x)
5
6
3
4
2
3
2
3
4
6
0
Propriété
Pour tout
x∈[−1;1]
, on a :
sin arccosx=cosarcsin x= 1−x2
.
Démonstration
sin arccosx= 1−cos2arccosx= 1−x2
.
cosarcsin x= 1−sin2arcsin x= 1−x2
.
5