cours_fondamentaux d`algèbre et de trigonométrie

Fondamentaux d'algèbre et de trigonométrie
I Fonctions trigonométriques
1) cercle trigonométrique
Définition
On considère un repère orthonormé (O ; I, J).
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, centré en O. Tout point M de ce
cercle est repéré par un nombre réel x correspondant à la longueur de l'arc 
IM , affectée
d'un signe (le « + » correspondant au sens trigonométrique, c'est-à-dire celui opposé au
sens des aiguilles d'une montre).
cos(x) et sin(x) sont alors les coordonnées du point M dans le repère (O ; I, J).
Propriété
Pour tout réel x, on a : cos 2 xsin2 x=1 .
Démonstration
Il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle d'hypoténuse OM.
Définition
Soit la droite D, la parallèle à la droite (OJ) passant par I. Lorsque M n'appartient pas à
(OJ), D et (OM) ne sont pas parallèles donc elles sont sécantes en un point K.
On appelle alors tan(x) la longueur algébrique (IK).
1
Propriété
Pour tout réel x n'appartenant pas à
sin x 

 ℤ , on a : tan  x =
.
2
cos x 
Démonstration
Il suffit d'appliquer le théorème de Thalès dans le triangle OIK.
2) valeurs remarquables
x
0

6

4

3

2
sin(x)
0
1
2
2
3
2
2
cos(x)
1
3
2
2
2
1
2
0
tan(x)
0
1
3
1
3
non défini
1
3) fonctions sinus, cosinus et tangente
Propriété
Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur ℝ . Elles sont 2  - périodiques. La
fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. On a donc, pour tout réel x :
sin  x2 =sin x  ; cos  x2=cos  x  ; cos −x=cos x ; sin −x =−sin x .
On a de plus : sin − x=sin  x  ; cos −x =−cos x ; sin  x=−sin  x ;


cos  x=−cos x ; cos x =−sin x  ; sin x =cos x ;
2
2
cos  −x =sin x ; sin  −x =cos  x  .
2
2




 
 
Démonstration
Ce sont des conséquences immédiates de la définition du cosinus et du sinus d'un réel
représenté sur le cercle trigonométrique.
Représentations graphiques
2
Propriété
La fonction tangente est définie sur ℝ−
sin x
{2 k ∣k ∈ℤ} par tan  x = cos
 x
. Elle est

 ℤ :
2
tan  x=tan  x  ; tan −x =−tan x . On a de plus : tan −x =−tan  x  .
 - périodique et impaire. On a donc, pour tout réel x n'appartenant pas à
Démonstration
Il suffit d'utiliser les propriétés des fonctions sinus et cosinus.
Représentation graphique
4) formules de trigonométrie
Formules d'addition (admises)
a et b sont deux réels. Les formules suivantes sont valables lorsqu'elles sont bien définies.
cos ab =cos a cos b−sin asin b
cos a−b =cos a cos bsin asin b
sin ab=sin a cos bsin bcos a 
sin a−b=sin a cosb −sinb cos a
tana tan b
tan a−tanb
tan ab =
tan a−b=
1−tan a tan b
1tan a tan b
Exercice
   12  et tan  12 

; sin
Calculer une valeur exacte de cos
12
  
= −
On a :
. Donc, on peut écrire :
12 3 4

 


cos
=cos − =cos
cos
sin
12
3 4
3
4

3
2
2 1
6− 2
sin
= ×  −  × =   ;
12
2
2
2 2
4
.
         3 sin  4 = 12 × 22  23  22 =  24  6
 

3−1 =   3−1  = 3−2  31 =2− 3 .
tan  =
12 1 3×1
2
2
2
3
;
Formules de duplication (admises)
a et b sont deux réels. Les formules suivantes sont valables lorsqu'elles sont bien définies.
cos 2 a =cos 2 a−sin 2 a =2 cos 2 a −1=1−2sin 2 a  ; sin 2 a=2sin a cos a  ;
2 tan a 
tan 2 a =
.
2
1−tan a 
1−cos 2 a
1cos 2 a
2
2
De ce qui précède, on déduit : cos a =
et sin a=
.
2
2
Exercice
 

et sin
Calculer une valeur exacte de cos
8


=2×
On a :
. Donc, on peut écrire :
4
8

2
1cos
1 
4

2
2 2 donc
2
cos
=
=
=
8
2
2
4

2
1−cos
1− 
4

2 2− 2 donc
sin 2
=
=
=
8
2
2
4

 
 8 
.
 
cos
 
sin
 8 =  24 2 =  22  2

 
 0
car cos
8


2− 2  2− 2
0 .
car sin
=
=
8
8
4
2
 
 
5) fonctions trigonométriques réciproques
Définition – Propriété (admise)
[
]
 
La fonction arcsin :[−1 ; 1] − ;
est l'application réciproque de la fonction
2 2
 
sin : − ; [−1 ; 1] .
2 2
Elles est continue et strictement croissante sur [-1 ; 1]. C'est une fonction impaire.
Pour tout x ∈[−1 ; 1] , arcsin (sin (x)) = x.
 
Pour tout y ∈ − ;
, sin(arcsin(y) = y.
2 2
[
]
[
]
Représentation graphique
4
Exemple
x
arcsin(x)
-1
−

2
3
−
2

−
3
2
−
2

−
4
1
2
0
1
2

6
0

6
−
−
2
3
2

4
2

3
1

2
Définition – Propriété (admise)
La fonction arccos :[−1 ; 1][0 ; ] est l'application réciproque de la fonction
cos :[ 0 ; ][−1 ;1] .
Elle est continue et strictement décroissante sur [-1 ; 1]. Elle n'est ni paire, ni impaire.
Pour tout x ∈[−1 ;1] , arccos (cos(x)) = x.
Pour tout y ∈[0 ; ] , cos(arccos (y)) = y.
Représentation graphique
Exemple
x
-1
3
−
2
2
−
2
arccos(x)

5
6
3
4
1
2
0
1
2
2
3
2
2
2
3

2

3

4

6
−
Propriété
Pour tout x ∈[−1 ;1] , on a : sin arccos x =cos arcsin  x= 1−x 2 .
Démonstration
sin arccos x = 1−cos 2 arccos x = 1−x 2 .
cos arcsin  x = 1−sin2 arcsin  x = 1− x 2 .
5
1
0
Définition – Propriété (admise)
]
fonction arctan : ℝ  −
La
]
 
;
2 2
[
est
l'application
réciproque
de
la
fonction
[
 
;
ℝ .
2 2
Elle est continue et strictement croissante sur ℝ . C'est une fonction impaire.
Pour tout x ∈ℝ , arctan (tan(x)) = x.
 
Pour tout y ∈ − ;
, tan (arctan(y)) = y.
2 2
tan : −
]
[
Représentation graphique
Exemple
x
arctan(x)
− 3
−

3
-1
−

4
1
3

−
6
0
−
0
1
3

6
1
3

4

3
II Nombres complexes
1) notion de nombre complexe
Théorème (admis)
Il existe un ensemble noté ℂ , appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les
propriétés suivantes :
● ℂ contient l'ensemble des nombres réels ;
● l'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres
complexes et les règles de calcul restent les mêmes ;
● il existe un nombre complexe noté i tel i 2=−1 (on note également j 2=−1 ) ;
● tout complexe z s'écrit de manière unique z =aib ou z =a jb , avec a et b
réels.
6
Définition
L'écriture , z =aib avec a et b réels, est appelée forme algébrique du nombre
complexe z .
a est appelée la partie réelle de z, notée ℜ z  et b est appelée la partie imaginaire de z,
notée ℑ z  .
Exemple
z =3i est un imaginaire pur.
Propriété
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même
partie imaginaire.
Démonstration
C'est une conséquence de l'unicité de l'écriture algébrique d'un nombre complexe.
Remarque
En particulier z =aib=0 équivaut à a=b=0 .
u , v  , à tout point M correspond un
Dans le plan muni d'un repère orthonormal  O ; 
couple de coordonnées réelles (a ; b). Réciproquement, à tout couple de réels correspond
un unique point du plan. Ainsi, on peut établir une correspondance entre les points du
plan et les nombres complexes ; c'est l'objet de la définition suivante.
Définition

OM a .
M a ; b ou du vecteur 
b
OM a est le vecteur
Le point M a ; b est l'image du complexe aib et le vecteur 
b
image du complexe aib .
Le nombre complexe aib est l'affixe du point

7
Définition
Pour tout nombre complexe z de forme algébrique, aib le conjugué de z est le
nombre complexe a−ib . Le conjugué de z est noté . z On lit « z barre ».
Exemples
23 i=2−3 i ; −4−2 i=−42i ; −2=−2 ; 3 i=−3i .
Propriété (admise)
Dans le plan complexe, le point M' d'affixe
symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
Propriété
z est un nombre complexe.
● z est réel équivaut à z =z .
● z est imaginaire pur équivaut à
z est l'image du point M d'affixe z par la
z =−z .
Démonstration
● z =z ⇔ aib=a−ib ⇔ 2i b=0 ⇔b=0 .
● z =−z ⇔ a−ib=−a−ib⇔ 2 a=0 ⇔ a=0
Propriété
z = a+ ib est un nombre complexe.
● z z=2 ℜ z  .
z −z=2i ℑ z  .
●
● z z=a 2b 2 .
Démonstration
● z z=aiba−ib=2 a=2 ℜ z  .
● z −z=aib−aib=2 ib=2 i ℑ  z  .
● z z=aiba−ib=a 2−i 2 b 2=a 2b2 .
8
2) module et argument d'un nombre complexe
Définition
z =aib est un nombre complexe . On appelle module de z, le nombre réel positif
 a 2b2 . On note ∣z∣=  a 2b2 .
Remarques
● Dans le plan complexe, si M a pour affixe z, alors OM =∣z∣ . C'est une
conséquence du théorème de Pythagore.
● Si x est un nombre réel, alors le module de x est égal à la valeur absolue de x.
● ∣z∣=0 équivaut à z = 0.
● z z=a 2b 2=∣z∣2 .
Définition
Dans le plan complexe, z est un nombre complexe non nul de point image M. On appelle
argument de z et on note arg(z) toute mesure en radians de l'angle orienté  
u ,
OM  .
Représentation graphique
Exemples
arg 1=0 ; arg i=

2
; arg −3= ; arg −i=−

2
; arg 1i=

.
4
Remarques
● Un réel strictement positif a un argument égal à 0 et un réel strictement négatif à un
 .
argument
égal
à
On
a
donc
la
propriété
suivante
:
z ∈ℝ⇔ z=0 ou arg  z =0 .
● Un imaginaire pur avec une partie imaginaire strictement positive a un argument

égal à
et un imaginaire pur avec une partie imaginaire strictement négative a
2

−
un argument égal à
. On a donc la propriété suivante :
2

z ∈i ℝ⇔ z=0 ou arg  z =
.
2
9
Rappel
Dans le plan complexe, un point M distinct de O peut être repéré par ses coordonnées
cartésiennes (a ; b) ou par ses coordonnées polaires r ,  , où r = OM et = 
u ,
OM  .
On a alors a=r cos et b=r sin  .
Définition
z est un nombre complexe non nul. L'écriture z =r  cos i sin   , avec
=arg  z  , est appelée forme trigonométrique de z .
r =∣z∣ et
Propriété
Deux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont même module et
même argument (défini à 2  près).
Démonstration
C'est une conséquence de l'unicité de l'écriture algébrique et des définitions du module et
d'un argument d'un nombre complexe.
Propriétés du module
Pour tous nombres complexes z et z ', on a :
● ∣z z '∣≤∣z∣∣z '∣ (inégalité triangulaire) ;
● ∣zz '∣=∣z∣×∣z '∣ ;
● Pour tout entier naturel n, ∣z n∣=∣z∣n ;
z ' ∣z '∣
=
● Si de plus, z est non nul, on a :
.
z
∣z∣
∣∣
Démonstration
● M et M' sont deux points d'affixes respectives z et z'. On considère le point S du
plan défini par 
OS =
OM 
OM ' . Alors 
OS a pour affixe z + z'. Par conséquent,
on a : OS=∣zz '∣ ; OM =∣z∣ et MS =OM '=∣z '∣ . On applique l'inégalité
triangulaire au triangle OMS : OS ≤OM MS , c'est-à-dire : ∣z z '∣≤∣z∣∣z '∣ .
● ∣zz '∣= zz '× zz '= z ×z×  z ' ×z '=∣z∣×∣z '∣ .
● On effectue une démonstration par récurrence.
Soit P(n) la propriété définie pour tout entier naturel n par : ∣z n∣=∣z∣n .
P(0) et P(1) sont évidentes.
P(2) est vraie d'après le résultat sur le module du produit de deux nombres
10
complexes.
Soit n≥2 , on suppose P(n) et on démontre P(n + 1).
∣z n1∣=∣z n ×z∣=∣z n∣×∣z∣ (car P(2) est vraie).
Or P(n) est vraie donc ∣z n∣=∣z∣n .
D'où ∣z n1∣=∣z n∣×∣z∣=∣z∣n×∣z∣=∣z∣n1 , ce qui est P(n + 1).
On a prouvé P(0), P(1), P(2) et pour tout n≥2 , P n⇒ P n1 .
Du principe de récurrence, on déduit que pour tout entier naturel n, on a P(n),
donc : ∣z n∣=∣z∣n .
z'
1
1
1 1
1
1 ∣z '∣
= z ' × =∣z '∣× =∣z '∣× × =∣z '∣×
=∣z '∣× =
●
.
∣z∣ ∣z∣
z
z
z
z z
z z
∣ ∣∣
∣
∣∣

Propriétés des arguments
Pour tous nombres complexes non nuls z et z', on a :
● arg  zz ' =arg  z arg  z ' [2 ] ;
● Pour tout entier naturel n, arg  z n =n×arg  z  [2 ] ;
z'
=arg  z '−arg  z  [2] .
● arg
z
 
Démonstration
● z =r  cosisin  et z ' =r ' cos ' isin  '  .
zz ' =rr ' cos  cos ' −sin sin  'isin  cos ' sin ' cos 
zz ' =rr ' cos ' isin ' 
D'où arg  zz ' =arg  z arg  z ' [2 ] .
● On effectue une démonstration par récurrence.
Soit P(n) la propriété définie pour tout entier naturel n par :
arg  z n =n×arg  z  [2 ] .
P(0) et P(1) sont évidentes.
P(2) est vraie d'après le résultat sur l'argument du produit de deux nombres
complexes.
Soit n≥2 , on suppose P(n) et on démontre P(n + 1).
arg  z n 1 =arg  z n ×z =arg  z n arg  z  [2 ] (car P(2) est vraie).
Or P(n) est vraie donc arg  z n =n×arg  z  [2 ] . Par conséquent, on a :
n 1
n
arg  z =arg  z arg  z  [2 ]
arg  z n 1 =n×arg  z arg  z  [2 ]
arg  z n 1 =n1×arg  z  [ 2]
Ce qui est P(n + 1).
On a prouvé P(0), P(1), P(2) et pour tout n≥2 , P n⇒ P n1 .
Du principe de récurrence, on déduit que pour tout entier naturel n, on a P(n),
donc : arg  z n =n×arg  z  [2 ] .
z'
1
1
=arg z '× =arg  z ' arg
[2 ]
● arg
z
z
z
1
1
=arg z× =arg 1=0 [2 ] donc
Or arg  z arg
z
z
1
arg
=−arg  z  [2 ]
z
  


  

11
D'où arg
 

z'
1
=arg  z 'arg
=arg  z ' −arg  z  [2 ] .
z
z
Propriété
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal  O ; u , v  , on considère les points
A et B d'affixes respectives z A et z B . Alors :
AB∥=∣z B− z A∣
● AB=∥
AB  =arg  z B−z A  .
● Si de plus A et B sont distincts, on a :  u , 
Démonstration
z B− z A est l'affixe du vecteur
résultats.

OB−
OA , c'est-à-dire le vecteur

AB , d'où les deux
Conséquence
Soient A, B, C et D quatre points deux à deux distincts d'affixes respectives
z A , z B , z C et z D .
z −z
AB , 
CD  =arg D C =arg  z D −z C −arg  z B− z A . En effet, on a :
Alors 
z B −z A
z −z

AB , 
CD  =
AB , u   u , 
CD  = u , 
CD  − u , 
AB  =arg  z D−z C −arg  z B −z A =arg D C .
z B−z A




3) écriture exponentielle
Notation
On note : cosi sin =e i  .
Exemples

i0
i2
e =e


i
1
3 .
i
−i 
=1 ; e =e =−1 ; e i 2 =i ; e−i 2 =−i ; e 3 = i
2
2
Propriétés
 et ' sont deux réels, n est un entier naturel.
● ∣ei ∣=1 et arg  e i   = [2] .
i '
e
i ' −
i  i '
i ' 
=e
● e e =e
;
; e i =e−i  .
i
e
i n
in
●  e  =e
(formule de Moivre).
i
−i 
i
−i 
e e
e −e
● cos =
et sin =
(formules d'Euler).
2
2i
Démonstration
Ces résultats découlent immédiatement du fait que e i  est un complexe de module 1 et
d'argument  et des propriétés du module et des arguments.
12
Remarque
La formule de Moivre s'écrit également
 cos i sin 
n
=cos n i sin n  .
Exemples
1. À l'aide de la formule de Moivre, exprimer cos 3 x et sin 3 x en fonction de
cos x et sin x .
cos 3 xi sin 3 x=cos xisin x3
=cos x 3 3cos x 2×isin x3 cos x×i sin x 2i sin x 3
=cos 3 x3i cos 2 x sin x−3 cos x sin 2 x−i sin3 x
D'où cos 3 x=ℜcos 3 xi sin 3 x =cos 3 x−3 cos x sin 2 x et
sin 3 x=ℑcos 3 xi sin 3 x =3 cos2 x sin x−sin3 x .
2. En utilisant les formules d'Euler, linéariser l'expression cos 3 x sin x .
e 3 i x e−3i x e i x −e−i x
e 4 i x −e 2 i x e−2 i x −e−4 i x 1
cos 3 x sin x=
=
= sin 4 x−sin 2 x
2
2i
4i
2




Définition
z est un nombre complexe non nul. L'écriture
appelée forme exponentielle de z .
z =r e i  avec
r =∣z∣ et
=arg  z  est
Exemples


4
; 6 e2 i 3 .
2. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes : 5i ; 44i ;
5
  3−i  .
1. Écrire sous forme algébrique les nombres complexes : 3 e−i 2 ;

−i
−
−
3 e 2 =3 cos
i sin
=30−i=−3 i
2
2
2e
6e
2i
3i

3

4
    
   
      
       
= 2 cos
=6 cos
5i=5 e
i

2
3i

3
3
2
2
isin
= 2 − i
=−1i ;
4
4
2
2
2
2
1
3
i sin
=6 − i
=−33  3 i .
3
3
2
2
;
∣44 i∣= 4 242=  32=4  2 ;

ainsi 44i=4  2 e i 4 ;
2
∣ 3−i∣=   3 −12= 4=2 ;
−i
 3−i=2 e
5
2e
5

6
−i
  3−i  =2 e
;
5
6
de
=32 e
la
−i
5
6
cos=
2
4
2
=  ; sin =
=  d'où
4 2 2
42 2
4
1
3
cos =  ; sin =− d'où
2
2
formule
.
13
de
Moivre,
on
=

;
4

;
6
ainsi
déduit
que
=
4) équations du second degré
a) cas d'une équation du second degré à coefficients réels
Propriété
Soit a un réel.
● Si a0 alors l'équation z 2 =a a exactement deux solutions réelles :  a et
− a .
● Si a=0 alors l'équation z 2 =a a exactement une solution réelle : 0.
● Si a0 alors l'équation z 2 =a a exactement deux solutions imaginaires pures :
i  −a et −i  −a .
Démonstration
● Si a0 alors l'équation z 2 =a est équivalente à  z−  a   z  a  =0 , d'où les
deux solutions réelles :  a et − a .
● Si a=0 alors l'équation z 2 =a devient z 2 =0 et par conséquent z = 0.
● Si a0 alors l'équation z 2 =a est équivalente à z 2 −a=0 .
z 2 −a=0 ⇔ z 2−i 2 ×−a =0 ⇔  z−i  −a  z i  −a =0 .
D'où les deux solutions imaginaires pures : i  −a et −i  −a .
Exemple
On considère l'équation z 2 =−2 dans ℂ .
Alors cette équation a deux solutions : i  2 et −i  2 .
2
Vérification :  i  2  =−1×2=−2 . De même pour l'autre solution.
Préliminaire
Pour
tout
complexe

 
b
c
a z bzc=a z  z =a
a
a
2
z,
2
2

b
z
− 2
2a
4a


avec
=b2−4 ac .
Si 0 ou si =0 , on retrouve les solutions réelles (cf. résolution dans ℝ ).
Si 0 alors
4 a2
2
=

b
z
− 2 =a
2a
4a
d'où :
i −
b
z
−
2a
2a
  
4 a2

2

i  −
   
2
a

i  −
=
2a
 
2
2
=a
z−
−b−i  −
2a

z−
−bi −
2a

.
Propriété
2
a≠0 ) de discriminant
L'équation
a z b zc=0 (où a, b, c sont réels et
2
=b −4 ac admet :
−b−  
−b 
● si 0 , deux solutions réelles : z 1=
et z 2 =
;
2a
2a
−b
● si =0 , une solution réelle : z 0 =
;
2a
14
● si
0 ,
z2 =
deux
solutions
complexes
conjuguées
:
z 1=
−b−i  −
et
2a
−bi  −
.
2a
Exemple
Résoudre dans ℂ l'équation z 2 z1=0 .
On calcule le discriminant =b2−4 ac .
0 alors
=12−4×1×1=1−4=−3 .Comme
−1i  3
−1−i  3
et z 2 =
.
z 1=
2
2
l'équation
admet
deux
solutions
:
b) racines carrées d'un nombre complexe non nul
Soient Z =X iY et z =xiy deux nombres complexes non nuls tels que Z =z 2 .
2
2
2
2
Z =z ⇔ X iY = xiy  ⇔ { x − y = X .
2 xy=Y
On peut ajouter à ce dernier système d'équations, celle obtenue en considérant les
modules : x 2 y 2=∣z∣2=∣Z∣= X 2 Y 2 .
1
x 2=  X   X 2Y 2 
2
2
1
y 2 = − X   X 2Y 2  .
D'où : Z =z ⇔
2
2 xy=Y
{
La troisième équation est utilisée pour les signes de x et y. Les deux racines carrées ainsi
obtenues sont opposées l'une de l'autre.
Exemple
Calculer les racines carrées complexes de 2 – i.
1
2
x =   52 
2
2
x − y =2
2
 xiy2=2−i ⇔ 2 xy=−1 ⇔ 2 1
.
y =  5−2 
x 2 y 2 =  5
2
2 xy=−1
{
Donc
−

les
racines
{
carrées
complexes
de
2
–
i
sont

1
1
52 i   5−2  .
2
2
:


1
  52 −i 1   5−2  et
2
2
c) cas d'une équation du second degré à coefficients complexes
Propriété
Pour
tout
complexe
z,

 
b
c
a z bzc=a z  z =a
a
a
2
=b2−4 ac .
15
2
2

b
z
− 2
2a
4a


avec
● Si ≠0 , alors on peut considérer  une racine carrée complexe de  . Dans
−b−
−b
et z 2=
ce cas, l'équation admet deux solutions distinctes : z 1=
.
2a
2a
b
● Si =0 , l'équation admet une solution double : z =−
.
2a
Exemple
Résoudre dans ℂ l'équation : 1−i z 2−5−i z 10=0 .
=5−i2−4×1−i×10=25−10 i−1−4040i=−1630 i .
1
x 2=  −1634 
2
2
x − y =−16
2
x 2=9
2
 xiy =−1630 i⇔
⇔ y 2 =25 .
2 xy=30 ⇔
1
2
y
=

3416

2
x 2 y 2=34
2 xy=30
2 xy=30
On considère donc =35i comme racine carrée complexe de -16 + 30 i.
5−i35i
5−i−3−5 i
On a alors : z 1=
et z 2 =
.
21−i
21−i
1−3 i 1−3i 1i
42 i 42i 1i
=
=13 i .
=
=2−i et z 2 =
Ainsi, on a : z 1=
1−i
2
1−i
2
{
{
{
III Polynômes
1) fonctions polynômes
Définition
Une fonction f définie sur ℝ ou ℂ est appelée fonction polynôme s'il existe un entier
naturel n et a 0 , a1 ,... , a n appartenant à ℝ ou ℂ avec a n≠0 tels que :
f  x =a n x n...a 1 xa 0 .
L'entier n est appelé degré de la fonction polynôme f. Par convention, si f est le polynôme
nul, son degré est −∞ .
a 0 , a1 ,... , a n sont appelés les coefficients de la fonction polynôme f.
Remarque
Par abus de langage, on parle de polynôme au lieu de fonction polynôme.
Exemple
f  x =4 x 5−3 x 2 2 x7 définit un polynôme de degré 5 dont les coefficients sont :
a 5=4, a 4=0, a 3=0, a 2=−3, a 1=2, a 0=7 .
Propriété
Deux polynômes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coefficients.
Démonstration
f  x =a n x n...a 1 x1a 0 et g  x=b n x n...b1 xb 0 .
f =g si et seulement si, pour tout x, a n x n...a 1 x 1a 0=b n x n...b1 xb 0 ,
c'est-à-dire, pour tout réel x, a n−b n  x n...a 1−b1  x1 a 0−b 0=0 .
16
Or le polynôme nul a tous ses coefficients égaux à 0 donc pour tout i compris entre 0 et n,
on a : a i=bi .
2) division euclidienne de polynômes
Propriété (admise) - Définition
On considère deux polynômes A et B, tels que B≠0 . Alors il existe un unique couple
de polynômes (Q, R) tel que A= BQR avec deg(R) < deg(B).
Lorsque le reste R est nul, on dit que B divise A.
Exemple
Écrire la division euclidienne de 2 X 3 X 1 par
2 X 3 X 1=2 X 22 X 3 X −14 .
Dans ce cas, Q=2 X 2 2 X 3 et R=4 .
X −1 .
3) racines de polynômes
Définition
On considère un polynôme P. On note  un élément de ℝ ou ℂ .
On dit que  est une racine (ou un zéro) de P si P =0 .
Propriété
 est une racine de P si et seulement si
x− divise P.
Démonstration
• Si x− divise P, alors P= x−Q , où Q est un polynôme. Donc P =0 .
• Si  est une racine de P, alors en écrivant la division euclidienne de P par x− ,
on obtient : P= x−QR , avec deg(R) < 1, c'est-à-dire que R est une constante.
En remplaçant x par  , on a : P =R=0 . D'où R = 0 et x− divise P.
Exemple
Rechercher dans ℝ , les racines du polynôme x 3 x−2 .
On recherche d'abord une racine évidente : 1 ici. On factorise par x – 1.
x 3 x−2= x−1 x 2x2 .
On recherche ensuite les racines du polynôme x² + x + 2.
=12−4×1×2=−7 . Comme 0 alors il n'y a pas de racine réelle.
On en déduit que x 3 x−2 a une seule racine réelle : 1.
Définition
On considère un polynôme P et k un entier naturel non nul. On note  un élément de
ℝ ou ℂ .
On dit que  est une racine de P d'ordre k si  x−k divise P et  x−k1 ne divise
pas P.
Exemple
17
Déterminer
l'ordre
de
multiplicité
de
la
racine
1
5
4
3
2
,
puis
factoriser
ce
polynôme.
P  x =x − x −x − x 4 x−2
P 1=1−1−1−14−2=0 . Donc 1 est bien une racine de P.
On effectue la division euclidienne de P par les puissances successives de x - 1.
P  x = x−1 x 4− x 2−2 x 2 . 1 est racine de x 4 −x 22 x2 .
P  x = x−12  x 3x 2 −2 . 1 est racine de x 3 x 2−2 .
P  x = x−13  x 22 x2 . 1 n'est pas racine de x 22 x2 .
On recherche ensuite les racines du polynôme x² + 2x + 2.
=22 −4×1×2=−4 . Comme 0 alors il n'y a pas de racine réelle.
On en déduit la factorisation de P : P  x = x−13  x 22 x2 .
du
polynôme
Théorème de D'Alembert-Gauss (admis)
Tout polynôme non constant de ℂ possède au moins une racine complexe.
Remarque
Ainsi, les polynômes réels de degré 2 à discriminant négatif possède des racines
complexes. Ceci a été vu précédemment dans la partie sur les nombres complexes.
IV Fractions rationnelles
1) fonctions rationnelles
Définition
Pour A et B deux fonctions polynomiales avec B≠0 ,
A
est appelé fonction
B
rationnelle (on dit aussi fraction rationnelle).
Exemple
x 2−3 x5
est une fraction rationnelle.
x 23
2) partie entière
Propriété - Définition
On considère A et B deux fonctions polynomiales avec B≠0 .
Alors, il existe un unique couple de fonctions polynomiales (E, R) tel que
avec deg(R) < deg(B).
E est appelé partie entière de la fraction rationnelle
A
.
B
R
A
est appelé partie fractionnaire de la fraction rationnelle
.
B
B
Démonstration
On effectue la division euclidienne de A par B : A= BQR .
18
A
R
=E
,
B
B
Alors
A BQR
R
=
=Q
. Il suffit ensuite de noter E le polynôme Q.
B
B
B
Exemple
x 3x3
.
x 2−2
la partie entière est : x ; la partie fractionnaire est :
Déterminer la partie entière et la partie fractionnaire de la fraction rationnelle
3
2
x  x3= x −2 x 3 x3 . Donc
3 x3
.
x 2−2
3) zéros et pôles d'une fraction rationnelle
Définition
A
est dite irréductible lorsque les polynômes A et B n'ont pas de
B
diviseurs communs autre que les constantes.
La fraction rationnelle
Exemple
Trouver la forme irréductible de la fraction rationnelle
On cherche à factoriser le numérateur et le dénominateur.
x 2−3 x2= x−1 x−2 et x 2 x−2= x−1 x2 .
x 2−3 x2 x−2
=
Donc
.
x 2x−2 x2
Définition
On considère une fraction rationnelle
x 2−3 x2
.
x 2x−2
A
sous sa forme irréductible.
B
1. Les racines du polynôme A sont appelées zéros de la fraction rationnelle
Leur ordre de multiplicité est le même que celui dans le polynôme A.
2. Les racines du polynôme B sont appelées pôles de la fraction rationnelle
A
.
B
A
.
B
Leur ordre de multiplicité est le même que celui dans le polynôme B.
Remarque
A
est irréductible alors A et B n'ont pas de racine
B
commune. Il ne peut donc y avoir de confusion entre zéro et pôle d'une fraction
rationnelle.
Comme la fraction rationnelle
Exemple
Déterminer les zéros et les pôles de la fraction rationnelle
x3
a un zéro, à savoir 3, et deux pôles, à savoir 1 et -1.
2
x −1
19
x3
.
x 2−1
4) exemples de décomposition d'une fraction rationnelle en
éléments simples
Exemple 1
Décomposer en élément simple dans ℂ la fraction rationnelle
Tout d'abord, on recherche les pôles de
On a alors :
x
a
b
=

.
x −1 x−1 x1
x
. Il s'agit de 1 et -1.
x −1
x
.
x −1
2
2
2
En multipliant chaque membre par x – 1, on obtient :
b  x−1
x
=a
.
x1
x1
1
=a .
2
On reprend l'égalité de départ et on multiplie chaque membre par x + 1. On obtient :
a  x1
x
=
b .
x−1
x−1
−1
1
=b , c'est-à-dire : =b .
En faisant tendre x vers – 1, on obtient :
−2
2
1
1
x
2
2
D'où,
.
=

2
x −1 x−1 x1
En faisant tendre x vers 1, on obtient alors :
Exemple 2
Décomposer en élément simple dans ℂ la fraction rationnelle
Tout d'abord, on recherche les pôles de
2 x1
. Il s'agit de i et -i.
2
x 1
2 x1
.
x 2 1
2 x1
a
b
=

.
2
x−i
x
i
x 1
En multipliant chaque membre par x – i et en évaluant les expressions obtenues pour x = i, on
2 i1
i
=1− .
obtient : a=
2i
2
En multipliant chaque membre par x + i et en évaluant les expressions obtenues pour x = -i, on
−2 i1
i
=1 .
obtient : b=
−2 i
2
i
i
1−
1
2
2 .
Ainsi, 2 x1
=

xi
x 2 1 x−i
On a alors :
Remarque
Dans le cas d'une fraction rationnelle à coefficients réels avec deux pôles complexes
conjugués, les deux coefficients correspondants sont aussi deux complexes conjugués.
20
Exemple 3
Décomposer en élément simple dans ℂ la fraction rationnelle
Tout d'abord, on recherche les pôles de
2 x−3
.
x −2 x1
2
2 x−3
. Il s'agit d'un pôle double : 1.
x −2 x1
2
2 x−3
a
b
=

.
x −2 x1 x−1  x−12
En multipliant chaque membre par (x-1)² et en évaluant les expressions obtenues pour x = 1, on
obtient : -1 = b.
a
2 x−3
1
2 x−2
2
=

=
=
On en déduit que :
. D'où a = 2.
2
2
2
x−1  x−1  x−1  x−1 x −1
2 x−3
2
1
=
−
Ainsi, 2
2 .
x −2 x1 x−1 x−1
On a alors :
2
Exemple 4
x 4 1
.
x 32 x 2 x
Tout d'abord, cette fraction rationnelle a une partie entière qu'il faut déterminer.
4
2
x 1
3 x 2 x1
=x−2
.
x 32 x 2 x
x 32 x 2x
3 x 22 x1
Ensuite, on détermine les pôles de
. Il s'agit de 0 (pôle simple) et -1 (pôle double).
x 32 x 2 x
3 x 22 x 1 a
b
c
= 

Alors, on a :
.
3
2
x 2 x x x x1  x12
Les méthodes précédentes donnent : a = 1 et c = -2.
b
3 x 22 x1 1
2
=
− 
On en déduit que :
.
2
x1
x  x12
x  x 1
b
3 x 22 x1−x 2−2 x−12 x 2 x 22 x 2
=
=
= 1 . Par conséquent, b = 2.
D'où
2
2
x1
x  x 1
x  x1 x
4
x 1
1
2
2
=x−2 
−
Ainsi, 3
.
2
x x1  x12
x 2 x x
Décomposer en élément simple dans ℂ la fraction rationnelle
21
Table des matières
I Fonctions trigonométriques................................................................................................................1
1) cercle trigonométrique.................................................................................................................1
2) valeurs remarquables...................................................................................................................2
3) fonctions sinus, cosinus et tangente.............................................................................................2
4) formules de trigonométrie...........................................................................................................3
5) fonctions trigonométriques réciproques......................................................................................4
II Nombres complexes..........................................................................................................................6
1) notion de nombre complexe........................................................................................................6
2) module et argument d'un nombre complexe................................................................................9
3) écriture exponentielle................................................................................................................12
4) équations du second degré.........................................................................................................14
a) cas d'une équation du second degré à coefficients réels.......................................................14
b) racines carrées d'un nombre complexe non nul....................................................................15
c) cas d'une équation du second degré à coefficients complexes..............................................15
III Polynômes.....................................................................................................................................16
1) fonctions polynômes..................................................................................................................16
2) division euclidienne de polynômes...........................................................................................17
3) racines de polynômes................................................................................................................17
IV Fractions rationnelles....................................................................................................................18
1) fonctions rationnelles.................................................................................................................18
2) partie entière..............................................................................................................................18
3) zéros et pôles d'une fraction rationnelle....................................................................................19
4) exemples de décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples............................20
22