Fondamentaux d'algèbre et de trigonométrie I Fonctions trigonométriques 1) cercle trigonométrique Définition On considère un repère orthonormé (O ; I, J). Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, centré en O. Tout point M de ce cercle est repéré par un nombre réel x correspondant à la longueur de l'arc IM , affectée d'un signe (le « + » correspondant au sens trigonométrique, c'est-à-dire celui opposé au sens des aiguilles d'une montre). cos(x) et sin(x) sont alors les coordonnées du point M dans le repère (O ; I, J). Propriété Pour tout réel x, on a : cos 2 xsin2 x=1 . Démonstration Il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle d'hypoténuse OM. Définition Soit la droite D, la parallèle à la droite (OJ) passant par I. Lorsque M n'appartient pas à (OJ), D et (OM) ne sont pas parallèles donc elles sont sécantes en un point K. On appelle alors tan(x) la longueur algébrique (IK). 1 Propriété Pour tout réel x n'appartenant pas à sin x ℤ , on a : tan x = . 2 cos x Démonstration Il suffit d'appliquer le théorème de Thalès dans le triangle OIK. 2) valeurs remarquables x 0 6 4 3 2 sin(x) 0 1 2 2 3 2 2 cos(x) 1 3 2 2 2 1 2 0 tan(x) 0 1 3 1 3 non défini 1 3) fonctions sinus, cosinus et tangente Propriété Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur ℝ . Elles sont 2 - périodiques. La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. On a donc, pour tout réel x : sin x2 =sin x ; cos x2=cos x ; cos −x=cos x ; sin −x =−sin x . On a de plus : sin − x=sin x ; cos −x =−cos x ; sin x=−sin x ; cos x=−cos x ; cos x =−sin x ; sin x =cos x ; 2 2 cos −x =sin x ; sin −x =cos x . 2 2 Démonstration Ce sont des conséquences immédiates de la définition du cosinus et du sinus d'un réel représenté sur le cercle trigonométrique. Représentations graphiques 2 Propriété La fonction tangente est définie sur ℝ− sin x {2 k ∣k ∈ℤ} par tan x = cos x . Elle est ℤ : 2 tan x=tan x ; tan −x =−tan x . On a de plus : tan −x =−tan x . - périodique et impaire. On a donc, pour tout réel x n'appartenant pas à Démonstration Il suffit d'utiliser les propriétés des fonctions sinus et cosinus. Représentation graphique 4) formules de trigonométrie Formules d'addition (admises) a et b sont deux réels. Les formules suivantes sont valables lorsqu'elles sont bien définies. cos ab =cos a cos b−sin asin b cos a−b =cos a cos bsin asin b sin ab=sin a cos bsin bcos a sin a−b=sin a cosb −sinb cos a tana tan b tan a−tanb tan ab = tan a−b= 1−tan a tan b 1tan a tan b Exercice 12 et tan 12 ; sin Calculer une valeur exacte de cos 12 = − On a : . Donc, on peut écrire : 12 3 4 cos =cos − =cos cos sin 12 3 4 3 4 3 2 2 1 6− 2 sin = × − × = ; 12 2 2 2 2 4 . 3 sin 4 = 12 × 22 23 22 = 24 6 3−1 = 3−1 = 3−2 31 =2− 3 . tan = 12 1 3×1 2 2 2 3 ; Formules de duplication (admises) a et b sont deux réels. Les formules suivantes sont valables lorsqu'elles sont bien définies. cos 2 a =cos 2 a−sin 2 a =2 cos 2 a −1=1−2sin 2 a ; sin 2 a=2sin a cos a ; 2 tan a tan 2 a = . 2 1−tan a 1−cos 2 a 1cos 2 a 2 2 De ce qui précède, on déduit : cos a = et sin a= . 2 2 Exercice et sin Calculer une valeur exacte de cos 8 =2× On a : . Donc, on peut écrire : 4 8 2 1cos 1 4 2 2 2 donc 2 cos = = = 8 2 2 4 2 1−cos 1− 4 2 2− 2 donc sin 2 = = = 8 2 2 4 8 . cos sin 8 = 24 2 = 22 2 0 car cos 8 2− 2 2− 2 0 . car sin = = 8 8 4 2 5) fonctions trigonométriques réciproques Définition – Propriété (admise) [ ] La fonction arcsin :[−1 ; 1] − ; est l'application réciproque de la fonction 2 2 sin : − ; [−1 ; 1] . 2 2 Elles est continue et strictement croissante sur [-1 ; 1]. C'est une fonction impaire. Pour tout x ∈[−1 ; 1] , arcsin (sin (x)) = x. Pour tout y ∈ − ; , sin(arcsin(y) = y. 2 2 [ ] [ ] Représentation graphique 4 Exemple x arcsin(x) -1 − 2 3 − 2 − 3 2 − 2 − 4 1 2 0 1 2 6 0 6 − − 2 3 2 4 2 3 1 2 Définition – Propriété (admise) La fonction arccos :[−1 ; 1][0 ; ] est l'application réciproque de la fonction cos :[ 0 ; ][−1 ;1] . Elle est continue et strictement décroissante sur [-1 ; 1]. Elle n'est ni paire, ni impaire. Pour tout x ∈[−1 ;1] , arccos (cos(x)) = x. Pour tout y ∈[0 ; ] , cos(arccos (y)) = y. Représentation graphique Exemple x -1 3 − 2 2 − 2 arccos(x) 5 6 3 4 1 2 0 1 2 2 3 2 2 2 3 2 3 4 6 − Propriété Pour tout x ∈[−1 ;1] , on a : sin arccos x =cos arcsin x= 1−x 2 . Démonstration sin arccos x = 1−cos 2 arccos x = 1−x 2 . cos arcsin x = 1−sin2 arcsin x = 1− x 2 . 5 1 0 Définition – Propriété (admise) ] fonction arctan : ℝ − La ] ; 2 2 [ est l'application réciproque de la fonction [ ; ℝ . 2 2 Elle est continue et strictement croissante sur ℝ . C'est une fonction impaire. Pour tout x ∈ℝ , arctan (tan(x)) = x. Pour tout y ∈ − ; , tan (arctan(y)) = y. 2 2 tan : − ] [ Représentation graphique Exemple x arctan(x) − 3 − 3 -1 − 4 1 3 − 6 0 − 0 1 3 6 1 3 4 3 II Nombres complexes 1) notion de nombre complexe Théorème (admis) Il existe un ensemble noté ℂ , appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes : ● ℂ contient l'ensemble des nombres réels ; ● l'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes ; ● il existe un nombre complexe noté i tel i 2=−1 (on note également j 2=−1 ) ; ● tout complexe z s'écrit de manière unique z =aib ou z =a jb , avec a et b réels. 6 Définition L'écriture , z =aib avec a et b réels, est appelée forme algébrique du nombre complexe z . a est appelée la partie réelle de z, notée ℜ z et b est appelée la partie imaginaire de z, notée ℑ z . Exemple z =3i est un imaginaire pur. Propriété Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Démonstration C'est une conséquence de l'unicité de l'écriture algébrique d'un nombre complexe. Remarque En particulier z =aib=0 équivaut à a=b=0 . u , v , à tout point M correspond un Dans le plan muni d'un repère orthonormal O ; couple de coordonnées réelles (a ; b). Réciproquement, à tout couple de réels correspond un unique point du plan. Ainsi, on peut établir une correspondance entre les points du plan et les nombres complexes ; c'est l'objet de la définition suivante. Définition OM a . M a ; b ou du vecteur b OM a est le vecteur Le point M a ; b est l'image du complexe aib et le vecteur b image du complexe aib . Le nombre complexe aib est l'affixe du point 7 Définition Pour tout nombre complexe z de forme algébrique, aib le conjugué de z est le nombre complexe a−ib . Le conjugué de z est noté . z On lit « z barre ». Exemples 23 i=2−3 i ; −4−2 i=−42i ; −2=−2 ; 3 i=−3i . Propriété (admise) Dans le plan complexe, le point M' d'affixe symétrie par rapport à l'axe des abscisses. Propriété z est un nombre complexe. ● z est réel équivaut à z =z . ● z est imaginaire pur équivaut à z est l'image du point M d'affixe z par la z =−z . Démonstration ● z =z ⇔ aib=a−ib ⇔ 2i b=0 ⇔b=0 . ● z =−z ⇔ a−ib=−a−ib⇔ 2 a=0 ⇔ a=0 Propriété z = a+ ib est un nombre complexe. ● z z=2 ℜ z . z −z=2i ℑ z . ● ● z z=a 2b 2 . Démonstration ● z z=aiba−ib=2 a=2 ℜ z . ● z −z=aib−aib=2 ib=2 i ℑ z . ● z z=aiba−ib=a 2−i 2 b 2=a 2b2 . 8 2) module et argument d'un nombre complexe Définition z =aib est un nombre complexe . On appelle module de z, le nombre réel positif a 2b2 . On note ∣z∣= a 2b2 . Remarques ● Dans le plan complexe, si M a pour affixe z, alors OM =∣z∣ . C'est une conséquence du théorème de Pythagore. ● Si x est un nombre réel, alors le module de x est égal à la valeur absolue de x. ● ∣z∣=0 équivaut à z = 0. ● z z=a 2b 2=∣z∣2 . Définition Dans le plan complexe, z est un nombre complexe non nul de point image M. On appelle argument de z et on note arg(z) toute mesure en radians de l'angle orienté u , OM . Représentation graphique Exemples arg 1=0 ; arg i= 2 ; arg −3= ; arg −i=− 2 ; arg 1i= . 4 Remarques ● Un réel strictement positif a un argument égal à 0 et un réel strictement négatif à un . argument égal à On a donc la propriété suivante : z ∈ℝ⇔ z=0 ou arg z =0 . ● Un imaginaire pur avec une partie imaginaire strictement positive a un argument égal à et un imaginaire pur avec une partie imaginaire strictement négative a 2 − un argument égal à . On a donc la propriété suivante : 2 z ∈i ℝ⇔ z=0 ou arg z = . 2 9 Rappel Dans le plan complexe, un point M distinct de O peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (a ; b) ou par ses coordonnées polaires r , , où r = OM et = u , OM . On a alors a=r cos et b=r sin . Définition z est un nombre complexe non nul. L'écriture z =r cos i sin , avec =arg z , est appelée forme trigonométrique de z . r =∣z∣ et Propriété Deux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont même module et même argument (défini à 2 près). Démonstration C'est une conséquence de l'unicité de l'écriture algébrique et des définitions du module et d'un argument d'un nombre complexe. Propriétés du module Pour tous nombres complexes z et z ', on a : ● ∣z z '∣≤∣z∣∣z '∣ (inégalité triangulaire) ; ● ∣zz '∣=∣z∣×∣z '∣ ; ● Pour tout entier naturel n, ∣z n∣=∣z∣n ; z ' ∣z '∣ = ● Si de plus, z est non nul, on a : . z ∣z∣ ∣∣ Démonstration ● M et M' sont deux points d'affixes respectives z et z'. On considère le point S du plan défini par OS = OM OM ' . Alors OS a pour affixe z + z'. Par conséquent, on a : OS=∣zz '∣ ; OM =∣z∣ et MS =OM '=∣z '∣ . On applique l'inégalité triangulaire au triangle OMS : OS ≤OM MS , c'est-à-dire : ∣z z '∣≤∣z∣∣z '∣ . ● ∣zz '∣= zz '× zz '= z ×z× z ' ×z '=∣z∣×∣z '∣ . ● On effectue une démonstration par récurrence. Soit P(n) la propriété définie pour tout entier naturel n par : ∣z n∣=∣z∣n . P(0) et P(1) sont évidentes. P(2) est vraie d'après le résultat sur le module du produit de deux nombres 10 complexes. Soit n≥2 , on suppose P(n) et on démontre P(n + 1). ∣z n1∣=∣z n ×z∣=∣z n∣×∣z∣ (car P(2) est vraie). Or P(n) est vraie donc ∣z n∣=∣z∣n . D'où ∣z n1∣=∣z n∣×∣z∣=∣z∣n×∣z∣=∣z∣n1 , ce qui est P(n + 1). On a prouvé P(0), P(1), P(2) et pour tout n≥2 , P n⇒ P n1 . Du principe de récurrence, on déduit que pour tout entier naturel n, on a P(n), donc : ∣z n∣=∣z∣n . z' 1 1 1 1 1 1 ∣z '∣ = z ' × =∣z '∣× =∣z '∣× × =∣z '∣× =∣z '∣× = ● . ∣z∣ ∣z∣ z z z z z z z ∣ ∣∣ ∣ ∣∣ Propriétés des arguments Pour tous nombres complexes non nuls z et z', on a : ● arg zz ' =arg z arg z ' [2 ] ; ● Pour tout entier naturel n, arg z n =n×arg z [2 ] ; z' =arg z '−arg z [2] . ● arg z Démonstration ● z =r cosisin et z ' =r ' cos ' isin ' . zz ' =rr ' cos cos ' −sin sin 'isin cos ' sin ' cos zz ' =rr ' cos ' isin ' D'où arg zz ' =arg z arg z ' [2 ] . ● On effectue une démonstration par récurrence. Soit P(n) la propriété définie pour tout entier naturel n par : arg z n =n×arg z [2 ] . P(0) et P(1) sont évidentes. P(2) est vraie d'après le résultat sur l'argument du produit de deux nombres complexes. Soit n≥2 , on suppose P(n) et on démontre P(n + 1). arg z n 1 =arg z n ×z =arg z n arg z [2 ] (car P(2) est vraie). Or P(n) est vraie donc arg z n =n×arg z [2 ] . Par conséquent, on a : n 1 n arg z =arg z arg z [2 ] arg z n 1 =n×arg z arg z [2 ] arg z n 1 =n1×arg z [ 2] Ce qui est P(n + 1). On a prouvé P(0), P(1), P(2) et pour tout n≥2 , P n⇒ P n1 . Du principe de récurrence, on déduit que pour tout entier naturel n, on a P(n), donc : arg z n =n×arg z [2 ] . z' 1 1 =arg z '× =arg z ' arg [2 ] ● arg z z z 1 1 =arg z× =arg 1=0 [2 ] donc Or arg z arg z z 1 arg =−arg z [2 ] z 11 D'où arg z' 1 =arg z 'arg =arg z ' −arg z [2 ] . z z Propriété Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal O ; u , v , on considère les points A et B d'affixes respectives z A et z B . Alors : AB∥=∣z B− z A∣ ● AB=∥ AB =arg z B−z A . ● Si de plus A et B sont distincts, on a : u , Démonstration z B− z A est l'affixe du vecteur résultats. OB− OA , c'est-à-dire le vecteur AB , d'où les deux Conséquence Soient A, B, C et D quatre points deux à deux distincts d'affixes respectives z A , z B , z C et z D . z −z AB , CD =arg D C =arg z D −z C −arg z B− z A . En effet, on a : Alors z B −z A z −z AB , CD = AB , u u , CD = u , CD − u , AB =arg z D−z C −arg z B −z A =arg D C . z B−z A 3) écriture exponentielle Notation On note : cosi sin =e i . Exemples i0 i2 e =e i 1 3 . i −i =1 ; e =e =−1 ; e i 2 =i ; e−i 2 =−i ; e 3 = i 2 2 Propriétés et ' sont deux réels, n est un entier naturel. ● ∣ei ∣=1 et arg e i = [2] . i ' e i ' − i i ' i ' =e ● e e =e ; ; e i =e−i . i e i n in ● e =e (formule de Moivre). i −i i −i e e e −e ● cos = et sin = (formules d'Euler). 2 2i Démonstration Ces résultats découlent immédiatement du fait que e i est un complexe de module 1 et d'argument et des propriétés du module et des arguments. 12 Remarque La formule de Moivre s'écrit également cos i sin n =cos n i sin n . Exemples 1. À l'aide de la formule de Moivre, exprimer cos 3 x et sin 3 x en fonction de cos x et sin x . cos 3 xi sin 3 x=cos xisin x3 =cos x 3 3cos x 2×isin x3 cos x×i sin x 2i sin x 3 =cos 3 x3i cos 2 x sin x−3 cos x sin 2 x−i sin3 x D'où cos 3 x=ℜcos 3 xi sin 3 x =cos 3 x−3 cos x sin 2 x et sin 3 x=ℑcos 3 xi sin 3 x =3 cos2 x sin x−sin3 x . 2. En utilisant les formules d'Euler, linéariser l'expression cos 3 x sin x . e 3 i x e−3i x e i x −e−i x e 4 i x −e 2 i x e−2 i x −e−4 i x 1 cos 3 x sin x= = = sin 4 x−sin 2 x 2 2i 4i 2 Définition z est un nombre complexe non nul. L'écriture appelée forme exponentielle de z . z =r e i avec r =∣z∣ et =arg z est Exemples 4 ; 6 e2 i 3 . 2. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes : 5i ; 44i ; 5 3−i . 1. Écrire sous forme algébrique les nombres complexes : 3 e−i 2 ; −i − − 3 e 2 =3 cos i sin =30−i=−3 i 2 2 2e 6e 2i 3i 3 4 = 2 cos =6 cos 5i=5 e i 2 3i 3 3 2 2 isin = 2 − i =−1i ; 4 4 2 2 2 2 1 3 i sin =6 − i =−33 3 i . 3 3 2 2 ; ∣44 i∣= 4 242= 32=4 2 ; ainsi 44i=4 2 e i 4 ; 2 ∣ 3−i∣= 3 −12= 4=2 ; −i 3−i=2 e 5 2e 5 6 −i 3−i =2 e ; 5 6 de =32 e la −i 5 6 cos= 2 4 2 = ; sin = = d'où 4 2 2 42 2 4 1 3 cos = ; sin =− d'où 2 2 formule . 13 de Moivre, on = ; 4 ; 6 ainsi déduit que = 4) équations du second degré a) cas d'une équation du second degré à coefficients réels Propriété Soit a un réel. ● Si a0 alors l'équation z 2 =a a exactement deux solutions réelles : a et − a . ● Si a=0 alors l'équation z 2 =a a exactement une solution réelle : 0. ● Si a0 alors l'équation z 2 =a a exactement deux solutions imaginaires pures : i −a et −i −a . Démonstration ● Si a0 alors l'équation z 2 =a est équivalente à z− a z a =0 , d'où les deux solutions réelles : a et − a . ● Si a=0 alors l'équation z 2 =a devient z 2 =0 et par conséquent z = 0. ● Si a0 alors l'équation z 2 =a est équivalente à z 2 −a=0 . z 2 −a=0 ⇔ z 2−i 2 ×−a =0 ⇔ z−i −a z i −a =0 . D'où les deux solutions imaginaires pures : i −a et −i −a . Exemple On considère l'équation z 2 =−2 dans ℂ . Alors cette équation a deux solutions : i 2 et −i 2 . 2 Vérification : i 2 =−1×2=−2 . De même pour l'autre solution. Préliminaire Pour tout complexe b c a z bzc=a z z =a a a 2 z, 2 2 b z − 2 2a 4a avec =b2−4 ac . Si 0 ou si =0 , on retrouve les solutions réelles (cf. résolution dans ℝ ). Si 0 alors 4 a2 2 = b z − 2 =a 2a 4a d'où : i − b z − 2a 2a 4 a2 2 i − 2 a i − = 2a 2 2 =a z− −b−i − 2a z− −bi − 2a . Propriété 2 a≠0 ) de discriminant L'équation a z b zc=0 (où a, b, c sont réels et 2 =b −4 ac admet : −b− −b ● si 0 , deux solutions réelles : z 1= et z 2 = ; 2a 2a −b ● si =0 , une solution réelle : z 0 = ; 2a 14 ● si 0 , z2 = deux solutions complexes conjuguées : z 1= −b−i − et 2a −bi − . 2a Exemple Résoudre dans ℂ l'équation z 2 z1=0 . On calcule le discriminant =b2−4 ac . 0 alors =12−4×1×1=1−4=−3 .Comme −1i 3 −1−i 3 et z 2 = . z 1= 2 2 l'équation admet deux solutions : b) racines carrées d'un nombre complexe non nul Soient Z =X iY et z =xiy deux nombres complexes non nuls tels que Z =z 2 . 2 2 2 2 Z =z ⇔ X iY = xiy ⇔ { x − y = X . 2 xy=Y On peut ajouter à ce dernier système d'équations, celle obtenue en considérant les modules : x 2 y 2=∣z∣2=∣Z∣= X 2 Y 2 . 1 x 2= X X 2Y 2 2 2 1 y 2 = − X X 2Y 2 . D'où : Z =z ⇔ 2 2 xy=Y { La troisième équation est utilisée pour les signes de x et y. Les deux racines carrées ainsi obtenues sont opposées l'une de l'autre. Exemple Calculer les racines carrées complexes de 2 – i. 1 2 x = 52 2 2 x − y =2 2 xiy2=2−i ⇔ 2 xy=−1 ⇔ 2 1 . y = 5−2 x 2 y 2 = 5 2 2 xy=−1 { Donc − les racines { carrées complexes de 2 – i sont 1 1 52 i 5−2 . 2 2 : 1 52 −i 1 5−2 et 2 2 c) cas d'une équation du second degré à coefficients complexes Propriété Pour tout complexe z, b c a z bzc=a z z =a a a 2 =b2−4 ac . 15 2 2 b z − 2 2a 4a avec ● Si ≠0 , alors on peut considérer une racine carrée complexe de . Dans −b− −b et z 2= ce cas, l'équation admet deux solutions distinctes : z 1= . 2a 2a b ● Si =0 , l'équation admet une solution double : z =− . 2a Exemple Résoudre dans ℂ l'équation : 1−i z 2−5−i z 10=0 . =5−i2−4×1−i×10=25−10 i−1−4040i=−1630 i . 1 x 2= −1634 2 2 x − y =−16 2 x 2=9 2 xiy =−1630 i⇔ ⇔ y 2 =25 . 2 xy=30 ⇔ 1 2 y = 3416 2 x 2 y 2=34 2 xy=30 2 xy=30 On considère donc =35i comme racine carrée complexe de -16 + 30 i. 5−i35i 5−i−3−5 i On a alors : z 1= et z 2 = . 21−i 21−i 1−3 i 1−3i 1i 42 i 42i 1i = =13 i . = =2−i et z 2 = Ainsi, on a : z 1= 1−i 2 1−i 2 { { { III Polynômes 1) fonctions polynômes Définition Une fonction f définie sur ℝ ou ℂ est appelée fonction polynôme s'il existe un entier naturel n et a 0 , a1 ,... , a n appartenant à ℝ ou ℂ avec a n≠0 tels que : f x =a n x n...a 1 xa 0 . L'entier n est appelé degré de la fonction polynôme f. Par convention, si f est le polynôme nul, son degré est −∞ . a 0 , a1 ,... , a n sont appelés les coefficients de la fonction polynôme f. Remarque Par abus de langage, on parle de polynôme au lieu de fonction polynôme. Exemple f x =4 x 5−3 x 2 2 x7 définit un polynôme de degré 5 dont les coefficients sont : a 5=4, a 4=0, a 3=0, a 2=−3, a 1=2, a 0=7 . Propriété Deux polynômes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coefficients. Démonstration f x =a n x n...a 1 x1a 0 et g x=b n x n...b1 xb 0 . f =g si et seulement si, pour tout x, a n x n...a 1 x 1a 0=b n x n...b1 xb 0 , c'est-à-dire, pour tout réel x, a n−b n x n...a 1−b1 x1 a 0−b 0=0 . 16 Or le polynôme nul a tous ses coefficients égaux à 0 donc pour tout i compris entre 0 et n, on a : a i=bi . 2) division euclidienne de polynômes Propriété (admise) - Définition On considère deux polynômes A et B, tels que B≠0 . Alors il existe un unique couple de polynômes (Q, R) tel que A= BQR avec deg(R) < deg(B). Lorsque le reste R est nul, on dit que B divise A. Exemple Écrire la division euclidienne de 2 X 3 X 1 par 2 X 3 X 1=2 X 22 X 3 X −14 . Dans ce cas, Q=2 X 2 2 X 3 et R=4 . X −1 . 3) racines de polynômes Définition On considère un polynôme P. On note un élément de ℝ ou ℂ . On dit que est une racine (ou un zéro) de P si P =0 . Propriété est une racine de P si et seulement si x− divise P. Démonstration • Si x− divise P, alors P= x−Q , où Q est un polynôme. Donc P =0 . • Si est une racine de P, alors en écrivant la division euclidienne de P par x− , on obtient : P= x−QR , avec deg(R) < 1, c'est-à-dire que R est une constante. En remplaçant x par , on a : P =R=0 . D'où R = 0 et x− divise P. Exemple Rechercher dans ℝ , les racines du polynôme x 3 x−2 . On recherche d'abord une racine évidente : 1 ici. On factorise par x – 1. x 3 x−2= x−1 x 2x2 . On recherche ensuite les racines du polynôme x² + x + 2. =12−4×1×2=−7 . Comme 0 alors il n'y a pas de racine réelle. On en déduit que x 3 x−2 a une seule racine réelle : 1. Définition On considère un polynôme P et k un entier naturel non nul. On note un élément de ℝ ou ℂ . On dit que est une racine de P d'ordre k si x−k divise P et x−k1 ne divise pas P. Exemple 17 Déterminer l'ordre de multiplicité de la racine 1 5 4 3 2 , puis factoriser ce polynôme. P x =x − x −x − x 4 x−2 P 1=1−1−1−14−2=0 . Donc 1 est bien une racine de P. On effectue la division euclidienne de P par les puissances successives de x - 1. P x = x−1 x 4− x 2−2 x 2 . 1 est racine de x 4 −x 22 x2 . P x = x−12 x 3x 2 −2 . 1 est racine de x 3 x 2−2 . P x = x−13 x 22 x2 . 1 n'est pas racine de x 22 x2 . On recherche ensuite les racines du polynôme x² + 2x + 2. =22 −4×1×2=−4 . Comme 0 alors il n'y a pas de racine réelle. On en déduit la factorisation de P : P x = x−13 x 22 x2 . du polynôme Théorème de D'Alembert-Gauss (admis) Tout polynôme non constant de ℂ possède au moins une racine complexe. Remarque Ainsi, les polynômes réels de degré 2 à discriminant négatif possède des racines complexes. Ceci a été vu précédemment dans la partie sur les nombres complexes. IV Fractions rationnelles 1) fonctions rationnelles Définition Pour A et B deux fonctions polynomiales avec B≠0 , A est appelé fonction B rationnelle (on dit aussi fraction rationnelle). Exemple x 2−3 x5 est une fraction rationnelle. x 23 2) partie entière Propriété - Définition On considère A et B deux fonctions polynomiales avec B≠0 . Alors, il existe un unique couple de fonctions polynomiales (E, R) tel que avec deg(R) < deg(B). E est appelé partie entière de la fraction rationnelle A . B R A est appelé partie fractionnaire de la fraction rationnelle . B B Démonstration On effectue la division euclidienne de A par B : A= BQR . 18 A R =E , B B Alors A BQR R = =Q . Il suffit ensuite de noter E le polynôme Q. B B B Exemple x 3x3 . x 2−2 la partie entière est : x ; la partie fractionnaire est : Déterminer la partie entière et la partie fractionnaire de la fraction rationnelle 3 2 x x3= x −2 x 3 x3 . Donc 3 x3 . x 2−2 3) zéros et pôles d'une fraction rationnelle Définition A est dite irréductible lorsque les polynômes A et B n'ont pas de B diviseurs communs autre que les constantes. La fraction rationnelle Exemple Trouver la forme irréductible de la fraction rationnelle On cherche à factoriser le numérateur et le dénominateur. x 2−3 x2= x−1 x−2 et x 2 x−2= x−1 x2 . x 2−3 x2 x−2 = Donc . x 2x−2 x2 Définition On considère une fraction rationnelle x 2−3 x2 . x 2x−2 A sous sa forme irréductible. B 1. Les racines du polynôme A sont appelées zéros de la fraction rationnelle Leur ordre de multiplicité est le même que celui dans le polynôme A. 2. Les racines du polynôme B sont appelées pôles de la fraction rationnelle A . B A . B Leur ordre de multiplicité est le même que celui dans le polynôme B. Remarque A est irréductible alors A et B n'ont pas de racine B commune. Il ne peut donc y avoir de confusion entre zéro et pôle d'une fraction rationnelle. Comme la fraction rationnelle Exemple Déterminer les zéros et les pôles de la fraction rationnelle x3 a un zéro, à savoir 3, et deux pôles, à savoir 1 et -1. 2 x −1 19 x3 . x 2−1 4) exemples de décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples Exemple 1 Décomposer en élément simple dans ℂ la fraction rationnelle Tout d'abord, on recherche les pôles de On a alors : x a b = . x −1 x−1 x1 x . Il s'agit de 1 et -1. x −1 x . x −1 2 2 2 En multipliant chaque membre par x – 1, on obtient : b x−1 x =a . x1 x1 1 =a . 2 On reprend l'égalité de départ et on multiplie chaque membre par x + 1. On obtient : a x1 x = b . x−1 x−1 −1 1 =b , c'est-à-dire : =b . En faisant tendre x vers – 1, on obtient : −2 2 1 1 x 2 2 D'où, . = 2 x −1 x−1 x1 En faisant tendre x vers 1, on obtient alors : Exemple 2 Décomposer en élément simple dans ℂ la fraction rationnelle Tout d'abord, on recherche les pôles de 2 x1 . Il s'agit de i et -i. 2 x 1 2 x1 . x 2 1 2 x1 a b = . 2 x−i x i x 1 En multipliant chaque membre par x – i et en évaluant les expressions obtenues pour x = i, on 2 i1 i =1− . obtient : a= 2i 2 En multipliant chaque membre par x + i et en évaluant les expressions obtenues pour x = -i, on −2 i1 i =1 . obtient : b= −2 i 2 i i 1− 1 2 2 . Ainsi, 2 x1 = xi x 2 1 x−i On a alors : Remarque Dans le cas d'une fraction rationnelle à coefficients réels avec deux pôles complexes conjugués, les deux coefficients correspondants sont aussi deux complexes conjugués. 20 Exemple 3 Décomposer en élément simple dans ℂ la fraction rationnelle Tout d'abord, on recherche les pôles de 2 x−3 . x −2 x1 2 2 x−3 . Il s'agit d'un pôle double : 1. x −2 x1 2 2 x−3 a b = . x −2 x1 x−1 x−12 En multipliant chaque membre par (x-1)² et en évaluant les expressions obtenues pour x = 1, on obtient : -1 = b. a 2 x−3 1 2 x−2 2 = = = On en déduit que : . D'où a = 2. 2 2 2 x−1 x−1 x−1 x−1 x −1 2 x−3 2 1 = − Ainsi, 2 2 . x −2 x1 x−1 x−1 On a alors : 2 Exemple 4 x 4 1 . x 32 x 2 x Tout d'abord, cette fraction rationnelle a une partie entière qu'il faut déterminer. 4 2 x 1 3 x 2 x1 =x−2 . x 32 x 2 x x 32 x 2x 3 x 22 x1 Ensuite, on détermine les pôles de . Il s'agit de 0 (pôle simple) et -1 (pôle double). x 32 x 2 x 3 x 22 x 1 a b c = Alors, on a : . 3 2 x 2 x x x x1 x12 Les méthodes précédentes donnent : a = 1 et c = -2. b 3 x 22 x1 1 2 = − On en déduit que : . 2 x1 x x12 x x 1 b 3 x 22 x1−x 2−2 x−12 x 2 x 22 x 2 = = = 1 . Par conséquent, b = 2. D'où 2 2 x1 x x 1 x x1 x 4 x 1 1 2 2 =x−2 − Ainsi, 3 . 2 x x1 x12 x 2 x x Décomposer en élément simple dans ℂ la fraction rationnelle 21 Table des matières I Fonctions trigonométriques................................................................................................................1 1) cercle trigonométrique.................................................................................................................1 2) valeurs remarquables...................................................................................................................2 3) fonctions sinus, cosinus et tangente.............................................................................................2 4) formules de trigonométrie...........................................................................................................3 5) fonctions trigonométriques réciproques......................................................................................4 II Nombres complexes..........................................................................................................................6 1) notion de nombre complexe........................................................................................................6 2) module et argument d'un nombre complexe................................................................................9 3) écriture exponentielle................................................................................................................12 4) équations du second degré.........................................................................................................14 a) cas d'une équation du second degré à coefficients réels.......................................................14 b) racines carrées d'un nombre complexe non nul....................................................................15 c) cas d'une équation du second degré à coefficients complexes..............................................15 III Polynômes.....................................................................................................................................16 1) fonctions polynômes..................................................................................................................16 2) division euclidienne de polynômes...........................................................................................17 3) racines de polynômes................................................................................................................17 IV Fractions rationnelles....................................................................................................................18 1) fonctions rationnelles.................................................................................................................18 2) partie entière..............................................................................................................................18 3) zéros et pôles d'une fraction rationnelle....................................................................................19 4) exemples de décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples............................20 22