www.kholaweb.com M2.8. Parabole de sûreté. 1. Choix de l’angle de tir. om On étudie le mouvement du projectile, assimilé à un point, dans le référentiel terrestre supposé ici galiléen. On admet aussi que ce système est uniquement soumis à son poids. La seconde loi de Newton permet d’écrire dans ces conditions : ma mg a g a 0 x a a y 0 az g b.c La projection de cette équation suivant les différents vecteurs de la base cartésiennes et les intégrations successives (en tenant compte des conditions initiales) permettent d’écrire : x 0 vx 0 v v y vo cos OM y vo t cos (1) 1 vz gt vo sin z gt 2 vot sin 2 (2) (1) permet décrire que : t we L’équation de la trajectoire s’obtient en éliminant le temps des équations : y . En injectant ce résultat dans (2), on obtient : vo cos ola 1 y2 z g 2 y tan 2 vo cos 2 Si le projectile atteint le point M, les coordonnées yM , zM de ce point vérifient : 1 y2 zM g 2 M 2 yM tan 2 vo cos trajectoire : cos 2 1 tan 2 1 u 2 . En substituant ces expressions dans l’équation de la 1 1 kh Soit u tan 1 yM2 zM g 2 1 u 2 yM u 0 2 vo 0 w. 1 y2 1 yM2 2 g 2 u yM u g M2 zM 2 vo 2 vo Cette équation a pour discriminant : ww 1 y2 1 y2 yM2 4 g M2 g M2 zM 2 vo 2 vo Si : 0 il n'y a pas de solution réelle, le point M n'est pas accessible ; 0 le problème a une solution ; 0 le point M peut être atteint de deux manières : tir "tendu" ou tir en "cloche". Le point M est atteint si 0 : 0 g 2 y4 v2 zM yM2 4 M o 2 vo 2 gyM vo2 gyM2 zM 2 2 g 2vo ola we b.c On obtient ainsi ce que l’on désigne par « parabole de sûreté » : om 1 y2 1 y2 yM2 4 g M2 g M2 zM 2 vo 2 vo g 2 y2 y2 yM2 4 M 2 g M2 zM 0 vo vo ww w. kh Les points accessibles du plan (Oyz) sont situés dans la zone hachurée, ceux qui se trouvent au dessus ne peuvent être atteints par le projectile pour un angle donné et une vitesse initiale donnée.