M2.8. Parabole de sûreté. 1. Choix de l`angle de tir. On

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M
2.8. Parabole de sûreté.
1.
Choix de l’
angle de tir.
On étudie le mouvement du projectile, assimilé à un point, dans le référentiel terrestre supposé ici galiléen.
On admet aussi que ce système est uniquement soumis à son poids.
La seco
nde loi de Newton permet d’écrire dans ces conditions
:
ma mg a g
La projection de cette équation suivant les différents vecteurs de la base cartésiennes et les intégrations
successives (en tenant compte des conditions initiales) permet
t
ent
d’écrire
:
2
0 0
0
0 cos cos (1)
1
sin
sin (2)
2
x x
y y o o
z z o
o
a v
x
a a v v v OM y v t
a g v gt v
z gt v t
L’équation de la trajectoire s’obtient en éliminant le temps des équations
:
(1) permet décrire que
:
cos
o
y
t
v
. En injectant ce résultat dans (2), on obtient
:
2
2 2
1
tan
2 cos
o
y
z g y
v
Si
le projectile atteint le point
M
, les coordonnées
,
M M
y z
de ce point vérifient
:
2
2 2
1
tan
2 cos
M
M M
o
y
z g y
v
Soit
1 1
2 2 2
tan cos 1 tan 1
u u
. En substituant ces expressions dans l’équation de la
trajectoire
:
2
2
2
2 2
2
2 2
1
1 0
2
1 1
0
2 2
M
M M
o
M M
M M
o o
y
z g u y u
v
y y
g u y u g z
v v
Cette équation a pour discriminant
:
2 2
2
2 2
1 1
4
2 2
M M
M M
o o
y y
y g g z
v v
Si
:
0 il n'y a pas de solution réelle, le po
int n'est pas accessible ;
0 le problème a une solution ;
0 le point peut être atteint de deux ma
nières : tir "tendu" ou tir en "cloche".
M
M
Le point
M
est atteint si
0
:
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2 2
2
2 2
2 2 2
2
4 2
2
2 4
2
4 2
2
2
2
1 1
4 0
2 2
2 0
2
2 2
M M
M M
o o
M M
M M
o o
o
M
M M
o M
o
M
M
o
y y
y g g z
v v
g y y
y g z
v v
v
g y
z y
v gy
v
gy
z
g v
On obtient ainsi ce que l’on désigne par «
parabole de sûreté
»
:
Les points
accessibles du plan (
Oyz)
sont situés dans la
zone hachurée
, ceux qui se trouvent au dessus
ne
peuvent être atteints par le projectile pour un angle donné et une vitesse initiale donnée.
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