Probabilités I. Vocabulaire
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Probabilités
I. Vocabulaire
1°) Expérience aléatoire :
Une expérience est dite aléatoire lorsque son résultat est déterminé par le hasard.
Il ne peut donc pas être prévu à l’avance avec certitude.
Exemples: « Pile ou face » , « lancer de dés » , « tirage au sort »,…
2°)Evénement / Evénement élémentaire
Un événement est une issue ou un ensemble de plusieurs issues à la suite d’une expérience
aléatoire.
Un événement est élémentaire lorsqu’il est composé d’une seule issue.
Exemple : Lors du jet d’un dé. Il y a 6 issues qui sont les 6 événements élémentaires : { 1,2,3,4,5,6}
L’événement A : « Obtenir un chiffre pair » est composé de 3 issues {2,4,6}
L’événement B : « Obtenir un chiffre supérieur ou égal à 3 » est composé de 4 issues {3,4,5,6}
Les événements A et B sont non élémentaires.
3°) Evénements contraires
L’événement contraire d’un événement A est celui que se réalise lorsque A ne se réalise pas.
On le note .
Exemple :
Dans une urne, il y a 3 boules vertes, 5 boules bleues et 7 boules blanches.
Tirer au hasard une boule dans l’urne et noter sa couleur est une expérience aléatoire.
On note B l’événement « la boule tirée est blanche »".
L’événement contraire est « la boule tirée n’est pas blanche "
ce qui équivaut à « la boule tirée est verte ou bleue ».
4°) Evénement impossible/ événement certain
Un événement est dit impossible s’il ne peut pas se produire.
Un événement est dit certain s’il se produit nécessairement.
Exemple :
On jette un dé équilibré à 6 faces.
L’événement « obtenir le chiffre 7 » est un événement impossible.
L’événement « obtenir le chiffre 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 » est un événement certain.
5°) Evénement incompatible
Deux événements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Exemples : Lors du lancer d’un dé, soit I l’´événement «obtenir un nombre impair »
et soit D l’événement « obtenir 2 » .
Les événements I et D sont incompatibles car « obtenir un nombre impair et obtenir 2 » est un
événement impossible.
Deux événements élémentaires sont incompatibles.
II. Notion de probabilité
1°) Définition
Quand une expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois, la fréquence d’apparition d’un
événement (
) se rapproche d’une valeur particulière qui est la
probabilité de cet événement.
Exemples (Issus d’une simulation par ordinateur http://www.intermaths.info/simu.html):
Au bout de 20 000 « pile ou face » , les fréquences d’apparition des événements élémentaires
se rapprochent de 0,5
Au bout de 20 000 « lancers d’un dé » , les fréquences d’apparition des événements élémentaires
se rapprochent de
Au bout de 20 000 « lancers de 2 dés » , la fréquence d’apparition de l’événement « obtenir 7 »
se rapprochent de
2°) Equiprobabilité
Si tous les événements élémentaires d’une expérience aléatoire ont la même probabilité,
on dit que les événements élémentaires sont équiprobables ou qu’il y a équiprobabilité.
Exemples de situations d’équiprobabilité : « Pile ou face » , « lancer de dés »
Exemple de situation de non équiprobabilité : « lancer d’un dé pipé».
3°) Propriété :
« la probabilité d’un événement est une mesure de ses chances de se réaliser. »
Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est égale au quotient
La probabilité d’un événement est toujours comprise entre 0 et 1
La probabilité d’un événement certain est égale à 1
La probabilité d’un événement impossible est égale à 0.
La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.
Lorsque deux événements sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre se réalise est égale à la
somme de leur probabilité.
Exemple : P(I ouD) = P(I) + P(D)=
La somme des probabilités d’un événement A et de son contraire est 1
par conséquent pour tout événement A : P( ) =1-P(A).
=
=
4°) Application : On lance 2 dés de couleurs distinctes simultanément
Il y a 36 événements élémentaires et on est en situation d’équiprobabilité.
1
2
3
4
5
6
1
(1 ;1)
(2 ;1)
(3 ;1)
(4 ;1)
(5 ;1)
(6 ;1)
2
(1 ;2)
(2 ;2)
(3 ;2)
(4 ;2)
(5 ;2)
(6 ;2)
3
(1 ;3)
(2 ;3)
(3 ;3)
(4 ;3)
(5 ;3)
(6 ;3)
4
(1 ;4)
(2 ;4)
(3 ;4)
(4 ;4)
(5 ;4)
(6 ;4)
5
(1 ;5)
(2 ;5)
(3 ;5)
(4 ;5)
(5 ;5)
(6 ;5)
6
(1 ;6)
(2 ;6)
(3 ;6)
(4 ;6)
(5 ;6)
(6 ;6)
La probabilité d’obtenir une somme égale à 7 est
(Les événement favorables sont en bleu)
La probabilité d’obtenir deux dés de même parité est
(Les événements favorables sont soulignés)
La probabilité de ne pas obtenir un produit égal à 6 est
1-P(« Obtenir un produit égal à 6 » )= 1-
=
III/ Expériences aléatoires ayant 2 épreuves consécutives et arbre pondéré de probabilités
1°) Représentation des issues avec un arbre pondéré :
Illustration :
On joue à Pile (P) ou Face (F) avec une pièce bien équilibrée. Ensuite, on fait tourner la
roue bien équilibrée ci-dessous et on relève le numéro du secteur qui s'arrête face au
repère.
L’arbre des issues possibles est
Il ya 6 issues : (P ;1) (P ;2) (P ;3) (F ;1) (F ;2) (F ;3)
Chaque issue correspond à une branche complète
L’arbre pondéré des issues possibles est
2°) Propriété (admise)
Dans un arbre pondéré, la probabilité d’une issue est égale au produit des probabilités se
trouvant sur sa branche complète
Exemple :
P(« obtenir Pile puis 1 »)= =
P(« obtenir Face puis 2 »)= =
IV/ Exercices d’application : P.205 n°20, P.208 n°44, n°45
