PROBABILITES

PROBABILITES
Les définitions sont écrites en italiques.
Une expérience aléatoire est une expérience qui peut être répétée dans les mêmes
conditions autant de fois que l'on veut, et dont on peut lister les résultats possibles mais
dont on ne peut pas nécessairement prédire le résultat à l'avance.
Sauf mention contraire, l'expérience aléatoire des exemples sera le lancer d'un dé à 6
faces numérotées de 1 à 6.
Une issue est un résultat possible d'une expérience aléatoire.
Les expériences aléatoires étudiées auront toujours un nombre fini d'issues.
Exemple : « obtenir 3 » est une issue. Il y a 6 issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5, ou 6.
Un événement est un ensemble composé d'une ou plusieurs issues, voire même d'aucune
issue. Un événement élémentaire est composé d'une seule issue.
Dans la suite, on abrégera événement par év.
Exemple : L'év « obtenir un nombre pair » est composé des issues 2, 4 et 6. « obtenir un
nombre pair » n'est pas un év élémentaire. « obtenir 2 » est un év élémentaire.
Un év certain contient toutes les issues possibles. Un év impossible n'en contient aucune.
Exemple: « obtenir un nombre inférieur à 10» est un év certain. « obtenir 7 » est un év
impossible.
Soit A et B deux év. L'év “A et B” se réalise quand A et B se produisent simultanément (en
même temps).
Exemple: Soit A l'év “obtenir un nombre inférieur ou égal à 4”. Soit B l'év “obtenir un
nombre supérieur ou égal à 2”. L'év “A et B” est “obtenir 2, 3 ou 4”.
Deux év qui ne peuvent pas se produire simultanément sont incompatibles .
Exemple: Les év “obtenir 1 ou 2” et “obtenir 5 ou 6” sont incompatibles.
Soit A et B deux év. L'év “A ou B” se produit quand au moins un deux év A ou B se réalise.
Exemple: Soit A l'év “obtenir un nombre inférieur ou égal à 4”. Soit B l'év “obtenir un
nombre supérieur ou égal à 2”. L'év “A ou B” est “obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6”.
En répétant un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation
d'un év se rapproche d'un nombre compris entre 0 et 1 qui est la probabilité de cet év.
Il y a équiprobabilité quand tous les év élémentaires ont la même probabilité.
Exemple: Il y a équiprobabilité lors du lancer d'un dé car la probabilité de n'importe quel év
élémentaire est
1
6
.
Propriété:
Quand il y a équiprobabilité, la probabilité d'un év est
nombre d ' issues favorables
nombres d ' issues possibles
Exemple: La probabilité de l'év “obtenir un nombre pair” est
3
6
car il y a 3 nombres
pairs parmi les 6 issues possibles.
Propriété:
1) La probabilité d'un év certain est égale à 1.
2) La probabilité d'un év impossible est égale à 0.
3) La probabilité d'un év A est la somme des probabilités des év élémentaires composant A.
4) Soit A un év. On a: P(
̄
A
) = 1 – P(A) et P(A) + P(
̄
A
) = 1.
5) La somme des probabilités de tous les év élémentaires est égale à 1.
6) Soit A et B deux év incompatibles. On a: P(“A et B”)=0 et P(“A ou B”)=P(A)+P(B)
Exemple:
1) L'év A “obtenir un nombre supérieur ou égal à 1” est un év certain. Donc P(A)=1.
2) L'év B “obtenir un nombre strictement supérieur à 7” est un év impossible. Donc
P(B)=0.
3) Soit C l'év “obtenir un nombre inférieur ou égal à 2”. C est composé des év élémentaires
“obtenir 1” et “obtenir 2”. Donc P(C)=P(“obtenir 1”)+P(“obtenir 2”)=
1
6
+1
6
=2
6
.
4)
C
est l'év “obtenir un nombre strictement supérieur à 2”. P(
C
) =1-
2
6
=
4
6
5) P(“obtenir 1”)+P(“obtenir 2”)+P(“obtenir 3”)+P(“obtenir 4”)+P(“obtenir 5”)+P(“obtenir
6”)=
1
6
+
1
6
+
1
6
+
1
6
+
1
6
+
1
6
=
6
6
=1