Probabilités I. Vocabulaire

Probabilités
I. Vocabulaire
1°) Expérience aléatoire :
Une expérience est dite aléatoire lorsque son résultat est déterminé par le hasard.
Il ne peut donc pas être prévu à l’avance avec certitude.
Exemples: « Pile ou face » , « lancer de dés » , « tirage au sort »,…
2°)Evénement / Evénement élémentaire
Un événement est une issue ou un ensemble de plusieurs issues à la suite d’une expérience
aléatoire.
Un événement est élémentaire lorsqu’il est composé d’une seule issue.
Exemple : Lors du jet d’un dé. Il y a 6 issues qui sont les 6 événements élémentaires : { 1,2,3,4,5,6}
L’événement A : « Obtenir un chiffre pair » est composé de 3 issues {2,4,6}
L’événement B : « Obtenir un chiffre supérieur ou égal à 3 » est composé de 4 issues {3,4,5,6}
Les événements A et B sont non élémentaires.
3°) Evénements contraires
L’événement contraire d’un événement A est celui que se réalise lorsque A ne se réalise pas.
On le note 𝐴̅.
Exemple :
Dans une urne, il y a 3 boules vertes, 5 boules bleues et 7 boules blanches.
Tirer au hasard une boule dans l’urne et noter sa couleur est une expérience aléatoire.
On note B l’événement « la boule tirée est blanche »".
L’événement contraire 𝐵̅ est « la boule tirée n’est pas blanche "
ce qui équivaut à « la boule tirée est verte ou bleue ».
4°) Evénement impossible/ événement certain
Un événement est dit impossible s’il ne peut pas se produire.
Un événement est dit certain s’il se produit nécessairement.
Exemple :
On jette un dé équilibré à 6 faces.
L’événement « obtenir le chiffre 7 » est un événement impossible.
L’événement « obtenir le chiffre 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 » est un événement certain.
5°) Evénement incompatible
Deux événements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Exemples : Lors du lancer d’un dé, soit I l’´événement «obtenir un nombre impair »
et soit D l’événement « obtenir 2 » .
Les événements I et D sont incompatibles car « obtenir un nombre impair et obtenir 2 » est un
événement impossible.
Deux événements élémentaires sont incompatibles.
II. Notion de probabilité
1°) Définition
Quand une expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois, la fréquence d’apparition d’un
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑′ 𝑢𝑛 é𝑣é𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
événement ( 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑟é𝑝é𝑡𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑙′𝑒𝑥𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑛𝑐𝑒 ) se rapproche d’une valeur particulière qui est la
probabilité de cet événement.
Exemples (Issus d’une simulation par ordinateur http://www.intermaths.info/simu.html):
Au bout de 20 000 « pile ou face » , les fréquences d’apparition des événements élémentaires
se rapprochent de 0,5
Au bout de 20 000 « lancers d’un dé » , les fréquences d’apparition des événements élémentaires
1
se rapprochent de 6
Au bout de 20 000 « lancers de 2 dés » , la fréquence d’apparition de l’événement « obtenir 7 »
6
se rapprochent de 36
2°) Equiprobabilité
Si tous les événements élémentaires d’une expérience aléatoire ont la même probabilité,
on dit que les événements élémentaires sont équiprobables ou qu’il y a équiprobabilité.
Exemples de situations d’équiprobabilité : « Pile ou face » , « lancer de dés »
Exemple de situation de non équiprobabilité : « lancer d’un dé pipé».
3°) Propriété :
« la probabilité d’un événement est une mesure de ses chances de se réaliser. »
 Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est égale au quotient
𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 à 𝒄𝒆𝒕 é𝒗é𝒏𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕
𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
 La probabilité d’un événement est toujours comprise entre 0 et 1
 La probabilité d’un événement certain est égale à 1
 La probabilité d’un événement impossible est égale à 0.
 La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.
 Lorsque deux événements sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre se réalise est égale à la
somme de leur probabilité.
Exemple : P(I ouD) = P(I) + P(D)=
nombre de cas favorables à I+nombre de cas favorables à D 3+1 2
nombre de cas possibles
 La somme des probabilités d’un événement A et de son contraire est 1
par conséquent pour tout événement A : P(𝐴̅ ) =1-P(A).
=
6
=3
4°) Application : On lance 2 dés de couleurs distinctes simultanément
Il y a 36 événements élémentaires et on est en situation d’équiprobabilité.
1
2
3
4
5
6
1
(1 ;1)
(2 ;1)
(3 ;1)
(4 ;1)
(5 ;1)
(6 ;1)
2
(1 ;2)
(2 ;2)
(3 ;2)
(4 ;2)
(5 ;2)
(6 ;2)
3
(1 ;3)
(2 ;3)
(3 ;3)
(4 ;3)
(5 ;3)
(6 ;3)
4
(1 ;4)
(2 ;4)
(3 ;4)
(4 ;4)
(5 ;4)
(6 ;4)
5
(1 ;5)
(2 ;5)
(3 ;5)
(4 ;5)
(5 ;5)
(6 ;5)
6
(1 ;6)
(2 ;6)
(3 ;6)
(4 ;6)
(5 ;6)
(6 ;6)
La probabilité d’obtenir une somme égale à 7 est
𝟔
𝟑𝟔
(Les événement favorables sont en bleu)
La probabilité d’obtenir deux dés de même parité est
𝟏𝟖
𝟑𝟔
(Les événements favorables sont soulignés)
La probabilité de ne pas obtenir un produit égal à 6 est
1-P(« Obtenir un produit égal à 6 » )= 1-
4
36
32
=36
III/ Expériences aléatoires ayant 2 épreuves consécutives et arbre pondéré de probabilités
1°) Représentation des issues avec un arbre pondéré :
Illustration :
On joue à Pile (P) ou Face (F) avec une pièce bien équilibrée. Ensuite, on fait tourner la
roue bien équilibrée ci-dessous et on relève le numéro du secteur qui s'arrête face au
repère.
L’arbre des issues possibles est
Il ya 6 issues : (P ;1) (P ;2) (P ;3) (F ;1) (F ;2) (F ;3)
Chaque issue correspond à une branche complète
L’arbre pondéré des issues possibles est
2°) Propriété (admise)
Dans un arbre pondéré, la probabilité d’une issue est égale au produit des probabilités se
trouvant sur sa branche complète
Exemple :
1 1 1
P(« obtenir Pile puis 1 »)=26=12
1 1 1
P(« obtenir Face puis 2 »)=23=6
IV/ Exercices d’application : P.205 n°20, P.208 n°44, n°45