PROBABILITES I) Vocabulaire des probabilités II) Calcul des

Probabilités 1/1
PROBABILITES
I) Vocabulaire des probabilités
Exemple : Lancer un dé est une expérience aléatoire comportant 6 issues ; l’ensemble Ω de toutes les issues est appelé
univers des possibles et est dans cet exemple Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Langage des ensembles Langage des événements Notation Exemples avec le jet d'un dé
A est une partie de Ω A est un événement A ⊂ Ω « obtenir un nombre pair » : A = {2,4,6}
B est un singleton B est un événement
élémentaire « obtenir 5 » : B = {5}
C est égal à Ω C est l’événement certain C = Ω « obtenir un résultat compris entre 1 et 6 »
D est vide l’événement D est
impossible D = ∅ « obtenir 7 »
E est la réunion de A et B E est l’événement A ou B E =A ∪ B « obtenir 2,4,5 ou 6 » : E = {2,4,5,6}
F est l'intersection de A et
G F est l’événement A et G
F =A ∩ G G : « obtenir un multiple de 3 » G = {3,6}
F : « obtenir 6 » F = {6}
A et B sont disjoints A et B sont des
événements incompatibles A ∩ B= ∅
A : « obtenir un nombre pair »
B : « obtenir 5 »
A et H sont
complémentaires A et B sont des événements contraires
H =
A
A : « obtenir un nombre pair »
H : « obtenir un nombre impair »
II) Calcul des probabilités
1) Définition et premières propriétés
La probabilité d'un événement A d'un univers Ω est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le
constituent.
p(Ω) = 1 ; p(∅) = 0 ; Pour tout événement A : 0 ≤ p(A) ≤ 1.
Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité (équiprobabilité), on a :
p(A) = Ω de élémentsd' nombre A de élémentsd' nombre = possibles cas de nombre favorables cas de nombre .
2) Théorèmes
a) Si A et B sont deux événements incompatibles, on a : p( A∪B ) = p(A) + p(B) ;
b) Pour tout événement A, la probabilité de l’événement contraire
A
est : p(
A
) = 1 − p(A).
c) De manière générale, p(AUB) = p(A) + p(B) . p(AVB).
III) Des méthodes
1) Utilisation de schémas, arbres, tableaux : à ne pas négliger...
2) La modélisation de l’expérience aléatoire et de ses issues est indispensable pour mener à bien tout exercice de
probabilités ; notamment pour déterminer le nombre d’issues.
3) Principe multiplicatif :
• On répète n fois une expérience qui comporte p issues : on définit ainsi une nouvelle expérience aléatoire comportant
pn issues (Ex : loto sportif).
• Les procédures de classement ou répétition sans remise :
1er exemple : On tire successivement 2 boules d’une urne qui contient 6 boules indiscernables au toucher ; on a 6
possibilités pour la 1ère, 5 pour la 2ème, ce qui donne 30 issues possibles.
2ème exemple : Le tiercé relatif à une course avec 13 chevaux au départ, il y a 13×12×11 « combinaisons »
possibles.