Mathématiques 1. Fiche n◦1 Mise en route, trigonométrie, complexe

Université de Rouen
L2 SPS
Année 2015-2016
Mathématiques 1. Fiche n◦1
Mise en route, trigonométrie, complexe
Exercice 1. Récurrence.
(a) Montrer par récurrence que 13n−4nest mul-
tiple de 9. [indication 13 =9+4]
(b) Soit u0=1, u1=2 et un+2=2un+un+1. Mon-
trer par récurrence que un=2n.
(c) Montrer par récurrence l’inégalité de Ber-
noulli : pour tout xnon nul et supérieur à −1
∀n≥2, (1+x)n>1+nx.
(d) Montrer par récurrence que pour tout n∈N
n
X
k=1
k=n(n+1)
2,
n
X
k=1
k2=n(n+1)(2n+1)
6.
En déduire la valeur de
n
X
k=1
k(n−k).
(e) Montrer que la somme Sn=1+3+5+···+(2n−
1) des npremiers entiers impairs est égale à
n2.
Exercice 2. Somme et produit.
(a) Comparer P3
k=1(ak+bk) et P3 k=1ak+P3 k=1bk.
(b) Remplacer 3 par ndans la question précé-
dente.
(c) Comparer Pn
k=0aket Pn k=0an−k.
(d) Si q∈Ret q6=1 redémontrer la formule
n
X
k=0
qk=qn+1−1
q−1.
(e) Écrire à l’aide de Qles quantités suivantes
2×4×6×8×···(2n−2)×2n
sin(x)sin(2x)sin(3x)···sin(nx)
a3
pa3
p+1···a3 n−1a3
n(p≤n).
(f) Calculer Qn
k=13 puis Qn k=1a(a∈R).
(g) Comparer
³n
Y
k=1
ak´³ n
Y
k=1
bk´et
n
Y
k=1
(akbk).
(h) Calculer Qn
k=1(cak) en fonction de c,net
Qn
k=1ak.
(i) Calculer Qn
k=2³1−1
k´. On pourra écrire 1−1 k=
k−1
ket extraire le produit des numérateurs et
le produits des dénominateurs.
Exercice 3. Binôme de Newton
(a) Simplifier a=¡12
5¢
¡11
5¢.
(b) Calculer Pn
k=0¡n
k¢,Pn
k=0¡n
k¢(−1)ket Pn
k=0¡n
k¢xk.
(c) Montrer par récurrence, pour n≥2, que
n
X
k=2Ãk
2!=Ãn+1 3!.
(d) Développer (1 +p3)4et (1 −p3)4. En déduire
que A=(1+p3)4+(1−p3)4est un entier.
(e) Calcul de
n
X
k=0
kÃn
k!.
-i- Vérifier que si n≥k≥1 on a k¡n
k¢=n¡n−1 k−1¢
-ii- En déduire que
n
X
k=0
kÃn
k!=n
n
X
k=1Ãn−1
k−1!.
-iii- Utiliser la question (b) et montrer que
n
X
k=0
kÃn
k!=n2n−1.
Exercice 4. Calculer les valeurs de cos π
8, sin π 8ainsi
que cos π
12, sin π 12
Exercice 5. Résoudre les équations
(1) cos(x)=−p2
2
(2) cos(4t)=0
(3) cosx−sin x=1
p2
Exercice 6. Simplifier les expressions suivantes
sin(2x)+sin(4x)+sin(6x)
1+cos(2x)+cos(4x)
sin3x+sinxcos2x
tan3x+t anx
Exercice 7. Exprimer sous forme algébrique (la forme
a+ib) les nombres complexes proposés
(1) (1−i)4, (1+2i)2,i(i+2)(2i+1)2
(2) 1+2i
3+i,1+i 11+2i,1 1+i
(3) (i−1)5
(i+1)4,1+p2−i
1+p2+i
(4) p3−1+i(p3+1)
1−ip3,p3+1+i(p3−1) 1−ip3
Exercice 8. Calculer le module des nombres com-
plexes proposés.
(1) 4+i, 4−i, 1+4i, 1−4i
(2) p2+ip3, 1−ip2, 1
2(1+ip2)
1

2
Exercice 9. Soient zet z0deux nombres complexes de
module 1. On suppose que z+z06= 0. Démontrer que
le nombre 1+zz0
z+z0est un nombre réel
Exercice 10. Déterminer le nombre complexe ztel
que 2z−1
z2est réel.
Exercice 11. Résoudre dans Cl’équation z(1+i)−i¯ z=
1.
Exercice 12. Résoudre dans Cl’équation z+¯ z=1+i.
Exercice 13. Résoudre dans Cle système
(z+4z0=1+ip2
i z +p2z0=1
Exercice 14. Déterminer le module et l’argument des
nombres complexes suivants
3+3i,p3+i, 1+ip3, i−1
−4, p3−i,p2(i−1), ip3−1
Exercice 15. Exprimer sous forme algébrique les
nombres complexes proposés
(1+i)44,¡p3
3+i 6¢18
Exercice 16. Déterminer sous forme algébrique les ra-
cines carrées des nombres complexes proposés
(1) 3+4i,−5+2i
(2) 4i−3, −2−2ip3.
Exercice 17. Résoudre dans Cles équations propo-
sées
(1) z2−2z−4=0
(2) z2−7z+1=0
(3) 2z2+3z+4=0
(4) z2+z+1=0
(5) 4z2+z+4=0
(6) z2+2p3z+12 =0
(7) z2−2p5z−12i=0.
Exercice 18. Résoudre l’équation donnée sachant
qu’elle admet z0donnée (ou vérifiant une propriété)
(1) z3−(1+i)z2+4z−4−4i=0, z0=2i
(2) z3−i z2+(1−i)z−2+2i=0, z0∈R.
Exercice 19. Utiliser les formules de De Moivre
(1) pour exprimer cos(3θ) et sin(3θ) en fonction
de cos(θ) et sin(θ).
(2) pour exprimer cos(4θ) et sin(4θ) en fonction
de cos(θ) et sin(θ)
Exercice 20. Utiliser les formule d’Euler pour linéari-
ser
cos2θsinθ, sin2θcosθ, cos3θ
Exercice 21. Linéariser sin3θ, cos3θsin2θ.
Exercice 22.
(a) Montrer que pour tout z∈Con a
|ℜ(z)|+|ℑ(z)|
p2≤|z|≤|ℜ(z)|+|ℑ(z)|
(b) Résoudre dans Cl’équation (z+i)6=(i−z)6
[on pourra se ramener à la racine 6ème de
l’unité].
(c) Résoudre z+1
z=cos(θ), z4+3z2−4=0.
(d) Résoudre z3=1 puis z6+7z3−8=0.
Exercice 23. Transformation de acosθ+bsinθ.Soient
a,bet θtrois réels. En remarquant que la quantité
acosθ+bsinθest la partie réelle d’un nombre com-
plexe bien choisi montrer qu’il existe Ret ϕ(modulo
2π) uniques tels que
acosθ+bsinθ=Rcos(θ+ϕ).
Application : cos(θ)+p3sin(θ)=?