Université de Rouen L2 SPS Année 2015-2016 Mathématiques 1. Fiche n◦ 1 Mise en route, trigonométrie, complexe (b) Calculer Exercice 1. Récurrence. (a) Montrer par récurrence que 13n − 4n est multiple de 9. [indication 13 = 9 + 4] ¡n ¢ (−1)k k=0 k Pn et ¡n ¢ k x . k=0 k Pn (c) Montrer pour n ≥ 2, que à ! Ãpar récurrence, ! n k X n +1 = . 2 3 k=2 p 4 p 4 3) . En déduire (d) Développer (1 p +4 3) etp(1 − que A = (1 + 3) + (1 − 3)4 est un entier. à ! n X n k . (e) Calcul de k k=0 ¡ ¢ ¡ ¢ -i- Vérifier que si n ≥ k ≥ 1 on a k nk = n n−1 k−1 (b) Soit u 0 = 1, u 1 = 2 et u n+2 = 2u n + u n+1 . Montrer par récurrence que u n = 2n . (c) Montrer par récurrence l’inégalité de Bernoulli : pour tout x non nul et supérieur à −1 (1 + x)n > 1 + nx. ∀n ≥ 2, ¡n ¢ , k=0 k Pn (d) Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N n n X X n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) , k2 = . k= 2 6 k=1 k=1 -ii- En déduire que à ! à ! n n n −1 X X n . k =n k k=0 k=1 k − 1 En déduire la valeur de n X k(n − k). -iii- Utiliser la question (b) et montrer que à ! n X n k = n2n−1 . k k=0 k=1 (e) Montrer que la somme S n = 1+3+5+· · ·+(2n − 1) des n premiers entiers impairs est égale à n2. π π Exercice 4. Calculer les valeurs de cos , sin ainsi 8 8 Exercice 2. Somme et produit. π π P3 P3 P3 que cos , sin (a) Comparer k=1 (a k + b k ) et k=1 a k + k=1 b k . 12 12 Exercice 5. Résoudre les équations (b) Remplacer 3 par n dans la question précép 2 dente. (1) cos(x) = − Pn Pn 2 (c) Comparer k=0 a k et k=0 a n−k . (2) cos(4t ) = 0 (d) Si q ∈ R et q 6= 1 redémontrer la formule 1 (3) cos x − sin x = p n X q n+1 − 1 k 2 q = . q −1 Exercice 6. Simplifier les expressions suivantes k=0 Q sin(2x) + sin(4x) + sin(6x) sin3 x + sin x cos2 x (e) Écrire à l’aide de les quantités suivantes 1 + cos(2x) + cos(4x) tan3 x + t anx 2 × 4 × 6 × 8 × · · · (2n − 2) × 2n sin(x) sin(2x) sin(3x) · · · sin(nx) 3 3 a n3 a p3 a p+1 · · · a n−1 (f ) Calculer Qn 3 puis k=1 (g) Comparer ³Y ´³ Y ´ n n ak bk k=1 (h) Calculer Qn a . k=1 k k=1 Qn k=1 Exercice 7. Exprimer sous forme algébrique (la forme a + i b) les nombres complexes proposés (p ≤ n). (1) (1 − i )4 , (1 + 2i )2 , i (i + 2)(2i + 1)2 1 + 2i 1 + i 1 (2) , , 3 + i 11 + 2i 1 + i p (i − 1)5 1 + 2 − i (3) , p (i + 1)4 1 + 2 + i p p p p 3 − 1 + i ( 3 + 1) 3 + 1 + i ( 3 − 1) , (4) p p 1−i 3 1−i 3 Qn a (a ∈ R). k=1 et n Y (a k b k ). k=1 (ca k ) en fonction de c, n et ³ ´ 1 1 1 − k . On pourra écrire 1 − k = Exercice 8. Calculer le module des nombres comk=2 plexes proposés. k−1 k et extraire le produit des numérateurs et (1) 4 + i , 4 − i , 1 + 4i , 1 − 4i le produits des dénominateurs. p p 1 p p (2) 2 + i 3, 1 − i 2, (1 + i 2) Exercice 3. Binôme de Newton 2 ¡12¢ (i) Calculer Qn 5 (a) Simplifier a = ¡11 ¢. 5 1 2 p Exercice 9. Soient z et z 0 deux nombres complexes de (6) z 2 + 2 3z + 12 = 0 p module 1. On suppose que z + z 0 6= 0. Démontrer que (7) z 2 − 2 5z − 12i = 0. 0 1 + zz est un nombre réel le nombre Exercice 18. Résoudre l’équation donnée sachant z + z0 Exercice 10. Déterminer le nombre complexe z tel qu’elle admet z 0 donnée (ou vérifiant une propriété) 2z − 1 (1) z 3 − (1 + i )z 2 + 4z − 4 − 4i = 0, z 0 = 2i que est réel. 2 z (2) z 3 − i z 2 + (1 − i )z − 2 + 2i = 0, z 0 ∈ R. Exercice 11. Résoudre dans C l’équation z(1+i )−i z̄ = 1. Exercice 19. Utiliser les formules de De Moivre Exercice 12. Résoudre dans C l’équation z + z̄ = 1 + i . (1) pour exprimer cos(3θ) et sin(3θ) en fonction Exercice 13. Résoudre dans C le système de cos(θ) et sin(θ). ( p z + 4z 0 = 1 + i 2 (2) pour exprimer cos(4θ) et sin(4θ) en fonction p i z + 2z 0 = 1 de cos(θ) et sin(θ) Exercice 14. Déterminer le module et l’argument des Exercice 20. Utiliser les formule d’Euler pour linéariser nombres complexes suivants cos2 θ sin θ, sin2 θ cos θ, cos3 θ p p 3 + 3i , 3 + i , 1 + i 3, i − 1 p p p Exercice 21. Linéariser sin3 θ, cos3 θ sin2 θ. −4, 3−i, 2(i − 1), i 3 − 1 Exercice 22. Exercice 15. Exprimer sous forme algébrique les nombres complexes proposés p ¡ 3 i ¢18 44 (1 + i ) , + 3 6 Exercice 16. Déterminer sous forme algébrique les racines carrées des nombres complexes proposés (1) 3 + 4i , −5 + 2i p (2) 4i − 3, −2 − 2i 3. (a) Montrer que pour tout z ∈ C on a |ℜ(z)| + |ℑ(z)| ≤ |z| ≤ |ℜ(z)| + |ℑ(z)| p 2 (b) Résoudre dans C l’équation (z + i )6 = (i − z)6 [on pourra se ramener à la racine 6ème de l’unité]. (c) Résoudre z + 1z = cos(θ), z 4 + 3z 2 − 4 = 0. (d) Résoudre z 3 = 1 puis z 6 + 7z 3 − 8 = 0. Exercice 17. Résoudre dans C les équations propo- Exercice 23. Transformation de a cos θ+b sin θ. Soient a, b et θ trois réels. En remarquant que la quantité sées 2 a cos θ + b sin θ est la partie réelle d’un nombre com(1) z − 2z − 4 = 0 plexe bien choisi montrer qu’il existe R et ϕ (modulo (2) z 2 − 7z + 1 = 0 2π) uniques tels que (3) 2z 2 + 3z + 4 = 0 a cos θ + b sin θ = R cos(θ + ϕ). p (4) z 2 + z + 1 = 0 Application : cos(θ) + 3 sin(θ) =? 2 (5) 4z + z + 4 = 0