1 Espaces de Hilbert 2 Opérateurs, spectre et compacité

Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1 Année universitaire 2010-2011
Ayman Moussa
TD no3 – Espaces de Hilbert. Opérateurs.
1 Espaces de Hilbert
Exercice 1.1:
Soit Hun espace de Hilbert.
1. Soit K⊂Hun compact. Démontrer qu’une suite de Kfaiblement convergente (dans H) est
fortement convergente.
2. Vérifier que toute suite faiblement convergente de Hest bornée et donner une estimation de la
borne.
3. Que dire de la suite (hxn, yni)n∈Nsi (xn)n∈Nconverge faiblement vers x∈Het (yn)n∈Nconverge
fortement vers y∈H? Et si les deux suites convergent faiblement ?
4. Vérifier que pour T∈L(H), et toute suite (xn)n∈Nde H, on a
nxn⇀
n→∞ xo=⇒nT(xn)⇀ n→∞ T(x)o.
Exercice 1.2:
Soit Hun espace de Hilbert et (xn)n∈Nune suite bornée de H. Le but de cet exercice est de montrer
que l’on peut extraire une sous-suite faiblement convergente de (xn)n∈N.
1. Supposons que Hsoit séparable. Soit Dune partie dense dénombrable de H. Montrer qu’on peut
extraire de (xn)n∈Nune sous-suite (xnk)k∈Ntelle que pour tout z∈Vect(D), la suite (hxn, zi)n∈N
converge vers un élément ℓ(z)∈K.
Indication : Un seul mot : « diagonale ».
2. Montrer que la convergence du crochet a en fait lieu pour tout z∈H.
3. Montrer que l’application ℓainsi définie est une forme linéaire continue et conclure.
4. Comment faire dans le cas non séparable ?
Exercice 1.3:
Montrer que si T∈L(H) est normal, alors kT2k=kTk2.
Indication : Penser à se ramener au cas auto-adjoint qui se traite plus facilement.
2 Opérateurs, spectre et compacité
Exercice 2.4: Opérateurs compacts
Soient Eun espace de Banach de dimension infinie et Fun espace normé quelconque. On pourra
utiliser un résultat de continuité automatique pour cet exercice.
1. Soit T∈L(E, F ) inversible et continu. Montrer que Tn’est pas compact.
2. On suppose cette fois-ci que pour tout x∈E,kT(x)kF≥CkxkEpour une certaine constante
positive C > 0. Montrer que Tn’est pas compact.
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Exercice 2.5: Spectre continu, pas de valeurs propres
On considère l’opérateur fonctionnel
T:C0([0,1],R)−→ C0([0,1],R)
f7−→ xf.
Déterminer σ(T) et vp(T). Test-il compact ?
Exercice 2.6: Opérateurs diagonaux
Soit p∈[1,∞[. Soit (an)n∈N∈ℓ∞(C), on définit
T:ℓp(C)−→ ℓp(C)
(un)n∈N7−→ (anun)n∈N.
1. Vérifier que Test bien un endomorphisme continu de ℓp(C).
2. Montrer que Test compact si et seulement si lim
n→∞ an= 0.
Exercice 2.7: Shifts
Soit Sle shift à droite sur ℓ2(C), i.e. l’unique opérateur linéaire continu vérifiant S(en) = en+1, où
(en)n∈Nest la base hilbertienne canonique de ℓ2(C) : en:= (0,...0,
n
↓
1,0,0,...).
1. Déterminer l’adjoint de S.
2. Expliquer pourquoi Sn’est pas compact.
3. Déterminer les valeurs propres de Set S∗.
4. Montrer que le spectre de Set de S∗est inclus dans le disque unité fermé.
Indication : On pourra vérifier que la série Pn
Sn
λnconverge dès lors que |λ|>1et en déduire que
S−λIdℓ2(C)est inversible (ou tout simplement invoquer la formule du rayon spectral !).
5. Vérifier que le spectre de S∗contient le disque unité ouvert puis finalement que σ(S) = σ(S∗) = D
(disque unité fermé).
Exercice 2.8:
Soit Hun espace de Hilbert. Montrer que T∈L(H) est compact si et seulement si l’image par T
de toute suite de Econvergeant faiblement vers 0 est une suite convergeant fortement vers 0.
Indication : On pourra utiliser certains résultats obtenus dans les deux premiers exercices de la section 1.
Exercice 2.9: Théorème spectral dans le cas compact auto-adjoint
Dans tout ce qui suit, on fixe un espace de Hilbert séparable Het un opérateur compact T∈L(H)
auto-adjoint : T=T∗. Le but de l’exercice est de démontrer l’existence d’une base hilbertienne (en)n∈N
de Het d’une suite (λn)n∈NRntendant vers 0 telle que T(en) = λnenpour tout n.
1. Vérifier que si λ16=λ2sont deux valeurs propres associés à deux vecteurs propres e1et e2de T,
alors e1et e2sont orthogonaux.
2. Montrer que vp(T)⊂Ren utilisant l’auto-adjonction de T.
3. Soit ε > 0. Montrer que Iε:= {λ∈vp(T) : |λ| ≥ ε}est fini.
Indication : Dans le cas contraire exhiber une suite de vecteurs propres infinie et orthonormée puis
utiliser la compacité prétendue de T.
4. En déduire que vp(T) est au plus dénombrable et que le seul point d’accumulation possible est 0. On
notera donc vp(T) = {λ1,...,λn,...}de sorte que cette suite est soit stationnaire soit convergente
vers 0.
5. On pose F=Vect{Eλ:λ∈vp(T)}, où Eλ:= Ker(T−λIdH) désigne l’espace propre associé à
λ∈vp(T). Montrer que Fest stable par l’opérateur T. L’opérateur induit T|Fest alors clairement
diagonalisable. Montrer que Tstabilise également F⊥.
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6. Supposons maintenant l’existence d’un opérateur auto-adjoint T∈L(H), tel que vp(T) = ∅.
(a) On pose M:= supkxk=1hT(x), xi<∞. Soit alors une suite (xn)n∈Ntelle que kxnk= 1 et
lim
n→∞hT(xn), xni=M. Pourquoi peut-on extraire de (xn)n∈Nune sous-suite (xnk)k∈Nconver-
geant faiblement vers x∈Het telle que (T(xnk))k∈Nconverge fortement vers y∈H?
(b) Montrer qu’alors y=T(x) et kxk ≤ 1.
(c) En déduire que hT(x), xi=Met kxk= 1.
(d) Soit z∈ hxi⊥. Montrer que pour tout t∈R,hT(x+tz), x +tzi ≤ hT(x), xikx+tzk2. En
déduire que Re(hz, T (x)i) = 0.
(e) En déduire que hz, T (x)i= 0 dès lors que z∈ hxi⊥, puis que T(x) et xsont proportionnels et
conclure.
Exercice 2.10:
Soit K∈C0([0,1]2,R). Dans la suite on note E=C0([0,1],R) et H= L2(]0,1[). On considère
l’opérateur à noyau (Kest le noyau de l’opérateur)
TK:E−→ E
f7−→ Z1
0
K(x, y)f(y)dy
1. Montrer en utilisant le théorème d’Ascoli que TKest un endomorphisme compact de E.
2. Nous allons prouver la compacité de TKpar une autre méthode qui s’appliquera dans le cadre
L2(]0,1[).
(a) En utilisant le théorème de Stone-Weirestrass montrer qu’il existe une suite de noyaux de la
forme
Kp(x, y) :=
p
X
k=1
ak(x)bk(y),
où ak, bk∈C0([0,1]), tels que lim
p→∞ Kp=K, la convergence étant uniforme sur le carré [0,1]2.
(b) Montrer que pour tout p∈N, l’opérateur TKpest de rang fini et que la suite (TKp)p∈Nconverge
vers TKdans L(H).
(c) Vérifier que TKs’étend naturellement en un opérateur de L(H). Montrer qu’il est également
compact dans cet espace et calculer son adjoint.
3. Étudions maintenant le cas particulier où K(x, y) = e−|x−y|. On considère dans toute la suite TK
comme opérateur de L(H), i.e.
TK:H−→ H
f7−→ Z1
0
K(x, y)f(y)dy.
(a) Vérifier que TKest auto-adjoint et montrer que kTKk ≤ 1.
(b) Soit f∈Eet g=TK(f). Montrer que g∈C2([0,1]) et que
∀x∈[0,1], g′′(x)−g(x) = −2f(x), g(0) = g′(0), g(1) = −g′(1).
(c) Montrer que TK(E) = {g∈C2([0,1]) : g(0) = g′(0), g(1) = −g′(1)}et TK(H)⊂E.
Indication : Pour la première partie, poser f=−(g′′ −g)/2et raisonner sur h=g−T(f)pour
aboutir à T(f) = g.
(d) Montrer que Im(TK) est dense dans Het en déduire que 0 n’est pas valeur propre de T. Est-ce
que 0 appartient au spectre de T?
Rappel : On rappelle que C∞
0(]0,1[) (fonctions plateaux) est dense dans H.
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(e) Montrer que si f∈Eet g=T(f),
hTK(f), fi=1
2kgk2+kg′k2+|g(1)|2+|g(0)|2,
et en déduire que pour tout f∈H,
hT(f), fi ≥ 1
2kT(f)k2.
(f) Démontrer que σ(TK)⊂[0,1]. L’égalité est-elle possible ?
(g) Pour λ∈]0,1] on pose aλ:= r2−λ
λ. Démontrer que
λ∈σ(TK)⇐⇒ (1 −a2
λ) sin(aλ) + 2aλcos(aλ) = 0,
et en déduire que σ(TK) = {0} ∪ {λn}n∈Navec
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1 + (π/2 + nπ)2< λn<2 1 + (nπ)2.
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